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5 DST G?7" 102 71° 407 515 99 #1

31. Pour obtenir le plus grand commun diviseur entre les quatre nombres 150, 90, 40 et 200, ontrouvers d’abord celui de 150 et 90, qui est 30 ; le nombre cherché est donc déjà un des facteurs de 30; puis on trouvera le plus grand commun diviseur de 80 et 40, qui est 10 ; enfin celui de 10 et 200, qui est 10, c’est le nombre

cherché. Les quatre nombres proposés n’ont donc d’autres diviseurs

communs que 1,2, 5 et 10. Ce procédé s'applique à tant de nombres qu'on voudra.

82. Étant donnés plusieurs nombres, tels que 2, 3, 4, 6,8 et 12, cherchons le plus petit nombre divisible par chacun. West d’abord clair que, puisque 2, 3, 4 et 6 sont contenus exactement dans 8 ou 12, tout nombre divisible par ces deux derniers, le sera nécessairement par les autres, auxquels il est par conséquent inutile d’avoir égard. En composant un nombre qui renferme tous les facteurs de 8 et 12, on est assuré qu'il est divisible par tous les nombres donnés; et si, en outre, il ne contient que les facteurs de 8 et 12, il estle plus petit dividende demandé. Ainsi, on a X 8, ou 24, pour le nombre cherché.

On voit donc que , pour obtenir le plus petit nombre divisible par des quantités données, après avoir supprimé celles qui divisent exactement les autres, on ne s’occupera que de celles-ci, qu’on décomposera en leurs facteurs premiers. Le nombre cherché sera formé du . produit de tous ces facteurs , chacun élevé à la puissance la plus haute qui l’affecte dans ces divers résultats.

De même pour 2, 3, 5, 10, 15, 8, 24, 12 et 6, comme 2, 8, 6, 8 et 12 divisent 24, et que 5 divise 10, on n'aura égard qu’à 10, 5 et 24, ou 2 X 5,8 X 5et 2 X 8; le pue petit dividende cherché est donc 2 X 8 X 5 — 120.

Des Conditions pour qu'un nombre soit divisible par >, Os 5, Fan as

33. On dit qu'un nombre est pair, quand il est divisible par 2. Soit un nombre quelconque, tel que 476 ; on le décompose en dizaines et unités, savoir, 470 + 6 — 47 X 10 + 6 : la première partie 47 X 10 est divisible par 2; il faut donc que la seconde le soit, pour que le nombre proposé soit un multiple de 2, Ainsi, tout nombre terminé par un chiffre pair jouit seul,de la propriété d’être pair, ” ou'divisible par 2.

En décomposant le nombre en deux parties , dont l’une soit formée des 2, 3,... derniers chiffres, on voit de même que , pour qu’il soit divisible par 4, il faut que les deux derniers chiffres fassent un multiple de 4; pour qu’il le soit por: 8, que les trois derniers fassent un multiple de 8, etc.

MATHÉM, PURES. T, 1.

De même, wn nombre n’est multiple de 5 qu'autant qu’il est terminé par O ou 5. Il n’est divisible par 10, que lorsqu'il l’est par 2 et par 8 , c'est-à-dire lorsqu'il est terminé par un zéro. On trouverait aussi les conditions de la divisibilité par 25, 50, etc.

84. Un nombre, tel que 27542, revient à . .. . . . . . . . 2.144.1015.10+ .....: pourtrouver le reste de la division par un autre nombre, tel que 7, divisons 1, 10, 107, 105... par 7. Le reste de 1 est 1, celui de 10 est 3 ; celui de 100 , ou 10?, est le carré de 3 (voy. n° 22), ouplutôt 9 — 7— 2. De même celui de 10%, ou 10° X 10, est 2 X 3, ou 6; celui de 104est 6 X 3 — 18, ou 18 — 14 — 4, etc. En multipliant chaque reste par 38, et ôtant 7, s’il est possible, on aura donc ainsi les restes successifs 1,3, 2,6, 4,5, de la division par 7, des nombres 1, 10, 102, 10%, 104et 105; mais arrivé à 106,le reste. est 5 X 3 — 15, ou plutôt 15 — 14 — 1, Une fois qu’on retrouve le reste 1, c'est une conséquence du calcul même qui conduit à ces résultats consécutifs, qu'on les verra se reproduire périodiquement, en sorte qu'en poussant indéfiniment les divisions par 7 des puissances successives de 10, on retrouvera toujours ces restes dans le même ordre. Les nombres (1, 8, 2, 6, 4, 5) qui se reproduisent continuellement, sont ce qu’on nomme /a Période. Le reste de 106 est le même que celui de 10%, de 104, 160$, 10°, en Ôtant les multiples de 6 compris dans 26, attendu que la période a 6 termes; ce reste est 2. Celui de 10° est le même que pour 10, ou 3.

On pouvait d'avance être assuré de l’existence de cette période; car les restes de ces divisions par 7 étant <° 7, il ne doit au plus y avoir que ces six restes 1, 2, 83, 4, 5, 6, qui viennent seulement dans un ordre différent de celui-ci : on.est certain de ne pas trouver zéro (n° 25), la division ne pouvant être exacte. Il s'ensuit donc qu'on doit, après six divisions au plus, retomber sur l’un des restes obtenus ; alors la période recommence, puisqu'il faut reproduire les mêmes multiplications. Or, si 108 et 10°? donnent le même reste, la différence 10% — 10" ou 1012 (106 — 1) est multiple de 7 (n° 16); et comme 10°? n’a aucun facteur commun avec 7, il faut (n° 25, 4e) que 1061 soit divisible par 7, c’est-à-dire que 106 : 7 donne 1 pour reste, 1er terme de la période. Et puisque tout autre diviseur que 7 qui serait premier avec 10, conduit à la même conséquence, on voit que quelque soit le diviseur premier avee 10 de la suite indéfinie 1, 10, 10°, 10°... les restes successifs formeront toujours une période,

aont les termes seront en nombre moindre que ce diviseur n’a d'unités; la période commence au premier reste un *.

1° Prenons 9 pour diviseur, le reste de 10 + 9 est 1; donc Ja période est le seul chiffre 1 ; c’est-à-dire que toute puissance de 10, divisée par 9, donne le reste 1. On peut en conclure (n° 22) que 20, 200..., divisés par 9, donnent le reste 2; que 30, 300...., donnent 3 ; que 40, 400...., donnent #4, etc. Or, un nombretel que 8753 peut être décompousé en unités, dizaines... , ou 800047005018 ; en divisant par 9, les restes sont 8 + 7 5 EL 3 — 23 ; ainsi le reste de la division d’un nombre par 9 est le même que le reste que donnerait la somme de ses chiffres considérés comme exprimant de simples unités. Rien n’est donc plus aisé que de trouver le reste de la division d'un nombre par 9 : pour 8753, par exemple, ce reste est le même que pour 23, ou 2 + 3 — 5. Sila somme des chiffres est un multiple de 9, le nombre est divisible par 9.

Lorsque deux nombres sont exprimés par les mêmes chiffres, mais dans un ordre différent , ils donnent donc les mêmes restes de la division par 9; leur différence est donc (n° 16) un multiple de 9. Ainsi, 74029 — 9742 — 64287 — 9 X 7143. ‘

2° On verra aisément que ces propriétés appartiennent aussi au nombre 5.

3° Si le diviseur est 7, la période est 1,8, 2, 6, 4 et 5. Soitile dividende 13827842, 25 597 DE en le décomposant en 2 + 40 + 500 1x2 —=

108 28 —- 7000 +... ; les restes de ces nombres, di- 6 ÿ $ Æ 15 visés par 7, sont respectivement les mêmes 6 X 7 — 42 que ceux de la période, répétés, 2, 4,5, 7... dont ph fois; on écrira en sens inverse les nombres de 15 527 542 la période sous les chiffres consécutifs de la 51 251 251 quantité proposée, comme on le voit ci- 55 contre; on multipliera ensuite chaque chiffre 2,5—10| 1.7 — 7 par celui qui est au-dessous. La somme 105 SE : ee 3 h des produits a le même reste de la division T3 Z33

par 7, que le nombre proposé divisé par 7; et comme celui de 105 est 0, l’un et J’autre sont des multiples de 7.

* Quand Ja quotité dés termes de la période d’un diviseur premier n’est pas précisément ce diviseur moins un, elle est partie aliquote de ce nombre. C’est ainsi que, pour 13, la période n'a pas 12 termes, mais seulement 6, et6 divise 12, De même,pour le diviseur

. Observez qu’au lieu d'évaluer les quotients par défaut, on peut les prendre par excès; c’est-à-dire qu'il est indifférent de poser 104 égal à 7 X 1428 —Æ 4, ou à 7 X 14929 — 3. Des nombres 1, 3, 2, 6, 4 et 5, qui forment la période, on peut donc remplacer Îles trois derniers par leur supplément à 7, ou 1, 3 et 2, qui seront les, restes soustraits des multiples de 7, c’est-à-dire les restes négatifs {n° 4). La période est réduite aux trois nombres 1, 3, 2; seulement les produits sont tantôt additifs et tantôt soustractifs. Aïnsi, l'on partagera les nombres en tranches de trois chiffres, et il faudra soustraire des autres les produits donnés par les tranches de rangs pairs. Le calcul se dispose comme on voit ci-dessus, où la barre est placée sur les facteurs dont les produits sont soustractifs. Tei le reste de la division de 13527542 par 7 est le même que celui de 30 — 23 ‘= 7, ouzéro.

4e De même, pour le diviseur 11, après avoir trouvé que la période est 1, 10; on peut remplacer 10 par 11—10, ou 1, dont le produit devra être soustrait, c’est-à-dire que la période est +1, —1.

Donc, si l’on ajoute tous les chiffres de rangs impairs d’un nombre proposé, qu’on en retranche la somme des chiffres de rangs pairs, le reste sera celur de la division de ce nombre par 11. Pour 732931, on a149+8— 18,34 947—12, 18—12, ou 1, est le reste de la division de 732 931 par 11. De même, pour 429 180, on aura OL1+2—3;8+9+4—21,et, comme on ne peut ôter 21 de 3, il faudra ajouter à 3 un multiple suffisant de 11, tel que 22 ;” alors on aura 22 8 — 21 — 4, qui est le reste cherché. 63 613 est un multiple de 11, puisque 3 L6+6—1—3—15— 4—11.

On peut encore opérer ainsi qu'il suit : comme 100 : 11 donne 1 pour reste, 100°, 100%... donnent aussi 1 : on décomposera le nombre proposé, tel que 9387926, en tranches de 2 chiffres à partir Le de la droite, sous la forme 28 X 14 79.100 38. 100? 79 +9. 1005, et divisant chaque partie par 11, le reste sera 58 28 + 79 + 38 + 9, ou lu somme 154 des nombres qui 8 1 composent les tranches de 2 chiffres ; ainsi 9387928 et 154 +4 ‘ont le même reste de la division par 11. En traitant 154 par le

11,la période n'a que 2 termes ; et 2 est facteur de 11—7, ou 10 : enfin pour 37, la période est formée de 3 nombres seulement, et 36 admet le facteur 3 (voy. les Recherches arith. de Gauss, n° 312).

même procédé, on a 55 ou 5 X 11, pour reste, ou plutôt zéro ; le nombre proposé est multiple de 11.

5° Si le diviseur est 37, comme 1000 = 27 X 37 1, les restes de la division de 1, 1000 , 1000°,... sont donc tous l'unité : pour obtenir le reste de la division par 87 d'un nombre pro- des posé, tel que 99 | 732 | 458 | 968 , on opérera donc 458

’ ’ È 491 comme dans l'exemple précédent, mais en formant des a tranchès de trois chiffres; ainsi le reste cherché est le DER

même que pour la somme 2 | 257 de ces tranches, ou plutôt pour 257 2. On reconnait que ce dividende est un multiple de 37.

6° Pour trouver tous les nombres premiers, moindres qu'une limite donnée, on écrira la suite des nombres impairs 8, 5, 7,9, 11... jusqu’à cette limite : puis, partant de 8, on supprimera tous les nombres de 3 en 3 rangs, qui sont tous des multiples de 3 ; partant de 5, on supprimera tous les termes de 5 en 5 (multiple de 5), ete.: on laissera subsister les nombres de départ; et les termes non effacés seront tous les nombres premiers demandés * Voyez la table donnée à la fin de l’Arithmétique.

Preuves des quatre Règles.

35. Comme on peut commettre des erreurs dans un calcul, il est utile de s'assurer de l'exactitude du résultat par une opération qui en est la preuve. Pour qu’elle conduise au but qu’on se propose, elle doit être plus facile à pratiquer que la règle même, car elle serait plus sujette à erreur. Ainsi, quoiqu’on puisse vérifier une multiplication en divisant le produit par l’un des facteurs, et voyant si l’autre facteur vient au quotient, on sent que ce procédé est propre à faire croire que l'erreur serait moins dans la multiplication que dans la division,

1° On vérifie l'addition par l'addition même. Si l’on a fait le calcul en opérant de haut en bas, on le recommencera de bas en haut, ou

* Lorsqu'on divise un nombre impair par 6, le reste ne peut être que 1, 3 ou 5, et si ca nombre n'est pas multiple de 3, ilne peut Fe pour reste que + 1 ou — 1 (équivalent à 5) : ainsi tous les nombres non divisibles par 2, ni 3, sont compris dans la forme6 z+ 1, z étant un entier quelconque. Tous les nombres premiers et leurs multiples, excepté ceux de et 3, sont de eette espèce.

bien on coupera l'addition en plusieurs autres ; ou l’on ajoutera aux divers nombres donnés des quantités qu’on ôtera ensuite.

On peut aussi commencer ce calcul par la colonne de l'ordre le plus élevé. Ainsi, dans l'exemple ci-contre, la à 4 colonne des mille a 6 pour somme ; et comme on en a 469 trouvé 7, 7 — 6, ou 1, qu'on pose sous le 7 , annonce 2.5 qu'on a reporté 1 à cette colonne, et que par conséquent ; d20 celle des centaines a donné, non pas 3, mais 13. Cette colonne ne donne que 11, 13 — 11 — 2est donc la retenue des dizaines, qui ont fourni 25 , etc.; à la colonne des unités, on doit trouver 0 pour différence.

2° La preuve de la soustraction se fait en ajoutant le reste au nombre soustrait; on doit retrouver le plus grand des deux nombres donnés.

3° Pour la multiplication, on échangera le multiplicateur et le multiplicande (n° 11) ; ou bien on multipliera ou on divisera les facteurs par des nombres arbitraires, et le produit aura éprouvé un changement déterminé par ce qu’on a dit n° 13 ; il sera aisé de vérifier si cette condition est remplie.

4° Si l’on multiplie le quotient par le diviseur, et si l’on ajoute le reste, on devra trouver, pour résultat, le dividende (n° 16). Il est aisé de vérifier ainsi toute division. On a encore une autre preuve de cette règle, en multipliant ou divisant le diviseur et le dividende par un même nombre; le quotient doit rester le même (n° 15, 1°).

5° On pourra aussi vérifier la division et la multiplication, en divisant, par un nombre quelconque, les deux facteurs et le produit, puis . voyant si le produit des-restes des facteurs est égal au reste du produit (n° 22); comme les restés sont faciles à trouver pour les diviseurs 9 et 11 (n° 34, 1° et 4°), on les préfère ordinairement pour cet usage. Nous en donnerons ici un exemple. On a trouvé, page 16, que 53 687 X 908 — 48 747 796. Pour vérifier ce calcul, ajoutons tous les chiffres de ces trois nombres et supprimons 9 chaque fois qu'il se rencontre ; les restes seront 2, 8 et 7. Or, 2 X 8 — 16, et 7est le reste de puisque 6 + 1 — 7; donc l'opération n’est pas fautif ; à moins cependant qu'il n’y ait quelque compensation dans les erreurs, ou des chiffres déplacés, ete. |

Si l’on veut prendre 11 pour diviseur, il faut retrancher les chiffres de rangs pairs de ceux de rangs impairs dans les trois nombres

(ne 34, 4); on a 18 — 11 =7 ; 17 — 0 =17, ou 6; 25 — 27 — — 2 ou 9 (supplément de 2 à 11). Pour que la multiplication soit exacte, il faut que 7 X 6, ou 42, divisé par 11, donne le reste 9 ; ce qui a lieu en effet.

En divisant 700 200 031 par 683 679, on a 1024 pour quotient, et 112 735 pour reste {p. 24) : ajoutons les chiffres qui composent ces nombres, pour trouver les restes de leur division par 9 : ces restes sont 4 pour le dividende, 3 pour le diviseur, 7 pour le quotient, et 1 pour le reste; le produit 7 X 3, ou 21, ajouté à un, donne 22, ou 4 : ainsi 4 doit être le reste de la division du dividende par 9 ; ce qui se vérifie. On dispose le calcul de ces deux preuves comme il suit :

Muitde 9 Dividde 4 | Divisr 3 91 + 1 ou 4 16 ou 7 Reste... 1 | Quot. 7

Muitr 8

Prod, 7