CHAPITRE IT
Nature et transformation des Fractions.
36. Mesurer une chose, c’est donner l’idée précise de sa grandeur, en la comparant à celle d’une autre de même espèce, qui est déjà connue, et qu'on prend pour wnilé. Si l’unité est contenue un nombre de fois exact, cette quotité est la mesure ; sinon, on peut prendre une autre unité qui remplisse cette condition ; car sa grandeur est absolument arbitraire et indépendante de la chose qu’on veut mesurer ; en sorte qu'on peut exprimer la grandeur de celle-ci par des nombres très-différents , suivant qu’on prend telle ou telle unité.
Pour acquérir la connaissance préalable de plusieurs grandeurs ou unités de chaque espèce , on divise l’unité primitive en portions égales, dont le nombre soit tel, que l’une des divisions soit contenue exactement dans la chose à mesurer; et c’est cette partie qu’on prend pour nouvelle unité. La mesure est alors ce qu’on appelle une Fraction, c'est-à-dire une ou plusieurs parties de l'unité. Lors-
qu'on dit d’une chose qu'elle est les cinq-septièmes de l'unité, il faut entendre qu'après avoir partagé l'unité en sept parties égales, cinq de ces parties ont formé un assemblage égal à cette chose.
I] suit de là que toute fraction doit être énoncée à l’aide de deux nombres: l’un, qu’on noinme Dénominateuwr, marque en combien de parties l'unité est divisée; l’autre , qui est le VNumérateur, indique combien on prend de ces parties : dans cinq septièmes, 5 est le numérateur, 7 le dénominateur. On écrit ces deux nombres en les séparant d’un trait, le numérateur placé en-dessus, le dénominateur en-dessous, +. Les fractions +, +, +, s’'énoncent une demie, un tiers, un quart. Pour toutes les autres, on lit les deux chiffres, en ajoutant la finale ième au dénominateur; +, - se lisent 5 huitièmes, 7 onzièmes,
37. Pour multiplier + par 7, comme chaque septième pris 7 fois donne l'unité, nos + produisent 5 unités, où + X 7 —5; donc toute fraction multipliée par son dénominateur produit le numérateur.
Il suit de là que > est le quotient de 5 divisé par 7, d’après la définition (n° 5), c’est-à-dire que toute fraction est le quotient de la division du numérateur par le dénominateur ; et c’est pour cette raison qu'on à écrit de même une fraction et une division. Le quotient de 47, divisé par 7, est donc 6 À, puisqu'en multipliant cette quantité par 7, on à 42 HE 5, ou 47. Donc, si au quotient entier d’une division , on ajoute une fraction qui ait le reste pour numérateur, et le diviseur pour dénominateur, on aura le quotient exact. :
72312146 : 8369 donne 8640 pour quotient , et 3986 pour reste; le quotient exact est donc 8640 + 25.
Donc, 1° si le numérateur et le dénominateur sont égaux, la fraction vaut 1; ce qui est d'ailleurs visible de soi-même.
mu].
2° Si le numérateur surpasse le dénominateur, la fraction est plus grande que l'unité ; on l'appelle un Nombre frachonnaire, le mot fraction s'appliquant plus ordinairement aux nombres qui sont<[1. On extrait les entiers contenus dans une fraction, en divisant le numérateur par le dénominateur : 1 ou 37 divisé par 5, est = 7 ++. Il est en effet évident que, notre unité étant partagée en 5 parties, la fraction contient autant d'unités qu’on prend de fois 5 parties, ou autant que 37 contient 5.
Réciproquement, pour convertir les entiers en fractions, il faut les multiplier par le dénominateur : pour réduire 7 en cinquièmes, on
FRACTIONS. 41 multipliera 7 par 5, et on aura 7 —<#; de même 8 +5 = ++; ah Et :
8° Diviser un nombre par 2, 7, 9, 11..., c’est en prendre la moitié, le 7°, lé 9e, le 11°... .
4° Prendre les ; d’un nombre, c'est le couper en 7 parts égales, et prendre cinq ie ce$ parts. Il faudra donc diviser ce nombre par 7, et multiplier le quotient par 5. De ces deux opérations, on peut
faire celle qu’on veut la première (p. 17, 4°). Ainsi, les > de 84 sont
5 fois —— DIX La = OU, der les + de 40 valent SGA sers sept CR EL LE LL:
38. Lorsqu'on augmente le numérateur seul, la fraction croît, parce qu'on prend un plus grand nombre des mêmes parties de l'unité. Si l’on augmente le dénominateur sans changer le numérateur, la fraction diminue ; car l'unité étant divisée en plus de parties, elles sont plus petites, et on en prend un même nombre. Ainsi, on peut, dans certains cas, reconnaitre desuite quelle est la plus grande de deux fractions : 55 +, 454, 15 +
Il est aisé de voir qu’en doublant les deux termes d’une fraction, sa valeur demeure la même; car si l’on double le dénominateur 7 de, chacune des parties sera partagée en deux, puisque l'unité en contiendra 14 au lieu de 7. Pour avoir la même grandeur, il faudra donc prendre deux parties au lieu d’une, 4 au lieu de 2..., enfin, 10 au liea de 5 ; et + sera — ?. En triplant 7 et 5, on aurait de même — À, ete. Donc, la valeur d’une fraction ne change pas lorsqu'on en multiplie, et par conséquent lorsqu'on en divise les deux termes
A 3 : 3 par un même nombre: === 5—= = = À
mA té: 1 2 16 oo? :20 14
Nous conclurons de là que, 1° pour amener les fractions + et & à être affectées d’un même dénominateur, multiplions les deux termes 5 et 7 de la première par 4, et les deux termes 5 et 4 de la
seconde par 7, nous aurons a Te re ss RE J ou — et ; il est clair que ce calcul, qui ne change pas la valeur des fractions, leur donne le même dénominateur 4 X 7 — 7 X 4. Donc, on réduira deux fractions au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacune par le dénominateur de l’autre fraction. Il est donc bien facile de distinguer quelle est la plus graisa de deux fractions
données ; par exemple, & << +, puisque + > à.
Le même raisonnement prouve que, si l’on a plus de deux fractions, en multipliant les deux termes de chacune par le produit des dénominateurs de toutes les autres, on les réduira au même cp dx teur, qui sera le produit de tous ces dénominateurs. Soient ?, + et +; on multipliera les deux termes de + par 4 X 7 —26,ceux de > mar 3 X 4—12,enfin ceux de + par 8 K 7 —=921 ; il viendra 5, #, et ds donc£ > + ><
La réduction au même nnmérateur se fait aussi facilement, et pourrait également servir à distinguer quelle est la plus grande de plusieurs fractions.
2° On amène aisément toute fraction à recevoir pour dénominateur un nombre donné, qui est un multiple exact de son dénominateur actuel. Ainsi, -- peut prendre 60 pour dénoiminateur : car 60 — 5 fois 12 ; et en multipliant les deux termes par 8 ona ZT —#,
Lorsque les dénominateurs ne sont pas premiers entre eux, la réduction au même dénominateur peut donc beaucoup se simplifier. Pour <et+,on voit de suite qu'en multipliant par 2 les deux termes de +, on a +, qui a même dénominateur que +. De même, < et à, deviennent + et ©. Pour Z et £, on multipliera 7 et 12 par 2, puis 8 et 8, par 3. et il vilnidta et +. En général, on cherchera (n° 32) le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs proposés, et on pourra faire servir ce nombre de dénominateur commun. Par exemple, soient L Li + + 8 + Après avoir trouvé que 24 est le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4, 6, 6 et 12, on diviséra 24 par ces divers nombres, et l’on aura pour quétientss 4.0 0 nr in 20 8 64 va Multipliant les deux termes d2 chaque fraction par lé quotient qui lui correspond OPATRAN EN TORRENT IN PRET NT re
La réduction au même dénominateur est ainsi faite sous la forme la moins composée.
3° Toute fraction dont les deux termes contiennent le même facteur, prend une expression plus simple par ia suppression de ce facteur, etelle conserve la même valeur. Si l’on amène la fraction à ne plus avoir de diviseur commun à ses deux termes, il séra désormais impossible de lui faire prendre une forme plus simple; car si 7 et 11 étant premiers entre eux, on admettait par exemple, que Z
pût être réduit à la valeur moins composée + , on aurait, en rédui-
sant au même dénominateur = Le £ +. ea ou7X4=3X 11.
Ce qui est absurde (n° 25, 4°), puisque 3 X 11 devrait être divisible par 7. |
Ainsi, pour réduire une fraction à une valeur égale plus simple et irréductible, il suffit de supprimer tous les facteurs communs à ses deux termes.
Pour cela, on décompose ces nombres en leurs facteurs premiers (n° 27), et on ne laisse subsister que ceux qui ne sont pas communs. Îlest plus simple de chercher le plus grand commun diviseur des deux termes (n° 23), et de diviser ces termes par ce diviseur. Ainsi, pour-=?, , on a trouvé (p. 27) que 47 est le plus grand commun diviseur de 799 et 2961 : divisant ces nombres par 47, on a pour la plus simple expression de =. Nous avons même indiqué (n° 30) un procédé facile pour déduire les termes cherchés de la série des quotients qui conduisent au commun diviseur. Voici le calcul pour les deux fractions = et £-, qu'on réduit à et les plus grands communs diviseurs étant 27 et 59 (7. n° 80).
5429 joie 2e 15548154 ,97 1062 jus 413 Horse 3111511112 1 11 TA 197. 55 28 5 3 9 1 14 411.147 à nt ;
Une fraction peut se mettre sous une infinité de formes , et, sans changer de valeur, on peut l’exprimer par des nombres très-différents ; mais il est plus aisé de se faire une idée juste de sa grandeur, lorsqu'elle est mise sous la forme la plus simple.
4° Lorsque deux fractions sont égales, la fraction qu’on forme avec la somme ou la différence des nan qure et celle des dénominateurs, leur esl encore égale. En effet, — Ÿ, car ces fractions équivalent à - ; les numérateurs sont des multiplesde 7, et les dénominateurs, les mêmes multiples de 11 : or, il est clair que 35 14 est également un multiple de 7, et que 55 + 22 est le même multiple de 11; donc # — +.
La soustraction réitérée, terme à terme, simplifie de plus en plus la fraction composée, sans changer de valeur : si l’une est irréductible, les termes de l’autre fraction sont les produits des deux termes
de la première par un mème facteur *.
* Cheérchons les nombres x et y qu'on peut ajouter ou ôter aux deux termes d'une
ax
fraction 7 ‘ans en changer la valeur, ou — . En réduisant au même dénomina-
b by
Addition, Soustraction, Multiplication et Division.
39. Rien n'est plus.aisé que d’ajouter ou de soustraire des fractions qui ont même dénominateur; on ajoute ou l'on retranche les numérateurs, et le dénominateur reste le même.
7 2 9 RE . 5 + + DUR D es SE 7a OU & 72 1a 53 OU 3; x'a ra 12 x 2 12°
13 TT ra Si les dénominateurs ne sont pas les mêmes, on commencera à ramener les fractions à cet état (n° 38, 1° et 2°). Ainsi, to ou bio ei aroits 5 + + i valent Ê HE Lou HR = 2 + à.
Pour : 3 +3 + DEL HE 3 on trouvera 120 pour le plus simple dénominateur (n° 32) : les numérateurs deviendront 60 80 — 72 + 84 + 56 — 100 — 45 — 80 — 50 ou 327 : ainsi, le résultat cherché est HT ou2 EL. Lorsque les fractions sont accompagnées d’entiers, on opère séparément sur les unes et sur les autres. Pour ajouter 8 ? avec
4 $, on prend ? H 3 — £ ou 1 L+;
é SFR ; 1 de on pose + eton retient 1, qui, ajouté avec 3 Fe A ét DR k 3 et 4, donne, pour la somme cherchée, L| 9 rt due 10 è Es 6. . . . e ô + 4° } 0 — ee. 0 . r} De même pour ajouter 11 L?, 4 L2, Ne din à 2+ 4, Let 3 ++, on trouve #° ou 34 = Eire
pour somme des fractions ; on pose À, et 2 on prend 8 11 L 42 E3 — 93; donc la somme est 23 LT.
Pour ôter 1 + + de 3 HF, on ôte + de :, et 1 de 8; on a pour reste 2 + +. De 13 += si l’on veut ôter 7 ?, comme on ne peut Ôter + de +, onajoute 1 à =, et on cherche
3 — +: 0n trouve ?; puis on ajoute de RÉ ER Se 1 même 1 au nombre 7 à soustraire (p.10), —1+...1|— 7 ? etonditi3 — 8 —5; ainsi 5 + À est la "ho ris bte 5 +
différence cherchée.., 40. Multiplier + par 3; c'est ajouter 3 fois +, ou? 2? 2; ce qui
PETER at teur, il vient ay = bx, et divisant par by, nié donc, les nombres qu'on peut ajouter y
ou ôter aux deux termes d'une fraction, sans en changer La valeur, doivent {ormer une fraction égale à la proposée. On voit que æ ne peut être = y qu'autant que a = b ; c'est-à-dire qu’on ne peut ajouter ou ôter le même nombre aux deux termes d'une fraction que lorsqu'elle est = 1.
se réduit à répéter 8 fois le numérateur 2 ; £ KX 8 —£, Pour multiplier une fraction par un entier, il faut multiplier le numérateur par l’entier ; on pourrait aussi diviser le dénominateur, s'il était un mul-
tiple de l’entier; car ? X 2 donne ee 2 commun aux deux termes, on a ?; l'opération s’est réduite à diviser par 2 le dénominateur de 5. On trouve, de même, = X 86——X 2—922; NX 12—=
Réciproquement , pour diviser une fraction par un entier, il faut multiplier le dénominateur , ou diviser le numérateur par cet entier. Car, si le numérateur est un multiple du diviseur, comme pour + : 5, le quotient est visiblement +, puisque, si l’on multiplie +
par le diviseur 5, on retrouve le dividende. Mais si le numérateur n'est pas un multiple du diviseur, comme. pour ? : 5, on peut aisé-
, en supprimant le facteur
ment le rendre divisible par 5, en multipliant les deux termes
par5;ona RS , la division par 5 donne donc + , calcul qui a X 5 | consisté à multiplier le dénominateur 7 par 8.
41. Venons-en aux cas où le multiplicateur et le diviseur sont fractionnaires ; prenons, par exemple, 8 X 2. D'après la définition (n° 3) de Ja multiplication, on veut donc répéter le multiplicande 3, autant de fois que l'indique le nombre d'unités du multiplicateur © ; mais puisque ce dernier facteur n'est que les + de l'unité, il est clair qu'on ne veut ici prendre que les + de ce que
donnerait 1 fois 3, savoir les + de 3. Donc , en général, multiplier
» par +, c’est prendre les? du multiplicande *,
Nous avons vu (n° 37, 4°) que, pour prendre les = de 8, il faut multiplier 2 par 8 et diviser par 5: + X3—5—38 X + De même, multiplier + par ?, c’est prendre les + de #; il faut donc former
* Ces considérations équivalent à donner, avec M. Cauchy, cette définition de la multiplication : multiplier À par B, c’est opérer sur le nombre À, précisément comme on opère sur l'unité pour obtenir le nombre B. Ainsi, 5 est l'unité ajoutée cinq fois ; donc, pour multiplier 3 par 5, il faut aussiajouter 3 cinq fois. ? est l’unité divisée en 7 parties égales, dont on prend l’une cinq fois ; de même, pour multiplier 3 par ÿ, il faut diviser 3 en 7 parties égales, et répéter 5 fois le résultat +; le produit est +, ou, ce qui revient au même, les & du nombre 3. C'est ce que M. Lacroix exprime en disant que le produit est composé avec le multiplicande comme le multiplicateur l'est avec l'unité. Mais cette énonciation manque de clarté, parce que le mot composé doit y être pris avec une signification active ou passive, selon que le multiplicateur est un nombre entier ou une fraction.
7 parts dansla grandeur ?, eten prendre b, ou multiplier ? par 5 et diviser le résultat par 7 : la première de ces opérations donne *#, et la seconde =.
Donc, 1° pour multiplier deux fractions, il faut multiplier terme à terme, c’est-à-dire, diviser le produit des numérateurs par celui des dénominateurs. |
2° Le produit est plus petit que le multiplicande, quand le multiplicateur est une fraction moindre que 1.
3° On peut intervertir Pordre des facteurs, comme dans la multiplication des nombres entiers (n° 11).
4o Lorsqu'il y a des facteurs communs, il convient de les supprimer avant d'effectuer les multiplications ; par exemple, pour avoir les 2 des À des ? des + de l'unité, c'est ce qu’on nomme une Fraction de fraction, il faut effectuer le produit ? X 5 X + X +, ou XP 2 - Ê : . = — = en supprimant les facteurs 3, 4 et 5.
5° Le carré, le cube, et en général toute puissance d’une fraction se forme en élevant les deux termes à celte puissance : par exemple, le carré de À est =X £—+;le cube est + X 5—<#,etc.; donc, si/a fraction proposée est rédioctifles la puissance Pest pareillement (n° 26).
6° Pour maltiplier 5348 par —, on pourrait multiplier 5348 par 13, et diviser le pro- Multé . . 5348
duit par 16; mais comme le multiplicande est 17° 0674 un nombre assez fort , il est plus court de dé- x .. . 1337 composer + en parties aliquotes, c'est-à-dire re + 834; en fractions qui, réduites, aient 1 au numé- Produit... 4345 + rateur, savoir :
D=HHÉHESITITE On prendra donc d’abord la moitié de 5348, - 356 puis le quart, qui est la moitié du résultat 23 À qu'on vient de trouver, puis le seizième 20 . . .. 1068 (quart du produit précédent). Bo... 7120 On voit ci-contre le produit de ge: par 5 à PÈRE + : 23 À ; où l'on a décomposé £ en ?our,ets 310% 40 P ss9ts B4B4 =
ou EC Pour divise multipliez les deux termes de ? par 5 X 7,
2NENT B'NC7
Gr D|w >|
Lee:
; or, pour diviser
nIl
B . L 2 . LI par %, il suflit de supprimer ici le facteur ? ce qui donne pour tient ee À CRT RE t multiplier le dividend quotien 4 X 8 br? j ré ainsi , 2 fau mulhpler le dividende
par la fraction diviseur renversée.
Bi XII Li =iX eh
Le quotient est d’ailleurs plus grand que le dividende, quand le diviseur est moindre que l'unité.
Si les fractions renferment des facteurs communs, il ne faut pas
attendre que la multiplication soit effectuée pour les supprimer.
5 : + est la même chose que 2 : 4 — ï, ou +; st 2.9 7. 197 19 + Fe 2 PET: 19 X IQ 13 APE ac
42. Lorsqu'il y a des entiers be" aux ET , on les convertit en nombres fractionnaires (n° 37, 2°). Ainsi,
