DÉCIMALES

server le produit en totalité, il faudrait encore le reculer d’un rang à droite, et que le produit 4, se trouvant dans la colonne des cinquièmes décimales, devrait ensuite être négligé. Le facteur 1 des millièmes exige qu'on supprime un second chiffre du multiplicande, on n'a donc pas égard au 3, et le multiplicande est 15734 : pour le 1 suivant, il est de même 1573, Le facteur 7 donne 1101;

le 9, 141.

Pour plus d’exactitude, il est convenable d'ajouter au produit du premier chiffre les dizaines contenues dans le produit du chiffre négligé à droite. Par exemple, pour le facteur 7, le multiplicande est réduit à 157; mais à 7 X 7 on doit ajouter 2, provenant du produit supprimé de 7 par 3. De même 9 X 15 est accru de 6, qui est la retenue du produit 9 X 7. Dans notre exemple , le produit demandé est 5068,306 , ainsi qu’on peut s’en assurer en exécutant la multiplication en totalité, et réduisant le résultat aux seuls millièmes.

Voici un autre exemple où l’on a multiplié deux nombres de sept chiffres décimaux, et où l’on n’a voulu conserver que sept décimales au produit.

51,9750581 produit par 3

8,6621764 . . . . . . 5 augmenté de 4

HAITI sien du dés bips de ie 1 346487 . . . . . . Rédhete 2,1: Tail 138594 .. . . = | PATENT 2 LE ee pe PET te MN 9 of À: APR NAE Pie sac tar A Four cs

Lorsque les facteurs ne sont qu’approchés, cette règle est surtout utile; car le procédé général aurait l'inconvénient d’allonger le calcul pour donner au produit plus de chiffres qu'il ne faut, attendu qu'on n'y doit conserver au plus que des parties décimales de même ordre que dans les deux facteurs *.

La dernière décimale qu’on obtient par ce procédé est un peu

* Lorsqu'on multiplie deux nombres & et b, qui ne sont qu’approchés, les erreurs étant æet y, le vrai produit est

(a+ x) (b+ y) = ab+ bx + ay + xy;

| négligeons x7 qui est une fort petite quantité. L'erreur du produit ab est donc bx + ay,

et s'affaiblit quand l’un des facteurs est approché par défaut et l'autre par excès; ca: 4*

52 NOMBRES FRACTFIONNAIRES.

fautive, à cause de la retenue qui provient des colonnes négligées. On remédie à cet inconvénient en calculant une figure décimale, outre celles qu'on veut conserver, sauf à la négliger ensuite.

47. Pour diviser des quantités accompagnées de chiffres décimaux , on en complète le nombre ( par des zéros) pour qu’elles en aient autant l’une que l’autre, et l’on supprime la virgule; par là le quotient reste le même, puisque le dividende et le diviseur sont multipliés par la même puissance de 10 (n° 15, 1°). Soit 8,447 à diviser par 8,22; j'écris 3,220, et j'ai 8447 à diviser par 3220, le quotient est 2, et le reste 2007. Aïnsi,

8,447 AUOT RE, 8,22 = #2 —- 3990 ? de même 49,1 49,100 49100 6952

Cette règle se simplifie * lorsque le diviseur n’a pas de fractions,

æ et y ayant des signes contraires, la somme bx +- ay devient une différence. Il convient donc de choisir des facteurs a et b qui soient dans ce cas.

Mais s’il en est autrement, ou si l’on ignore dans quel sens chaque nombre est approché, le terme ay, le plus influent de l’erreur, s’affaiblit quand y décroît, c'est-à-dire quand & est très-approché. Ainsi erreur du produit ab est d'autant moindre que le plus peti£ facteur b est plus approché.

En général æ et y sont toujours + dans une multiplication de deux fractions décimales, parce qu’il faut supposer qu’on a supprimé la virgule pour rendre entiers les facteurs a et b, et que si la première décimale négligée est au moins 5, on a dû augmentez de 1 le chiffre des unités. Faisons donc x = y = %, la limite de l'erreur est + (a + b) : ainsi il sera facile, dans chaque cas particulier, de distinguer les chiffres du produit ab qui sont certains, de ceux qui ne le sont pas. Par exemple, 53, 71 X 1,02 = 54,7842 ; si les facteurs nesont qu’approchés, en supprimant la virgule, leur demi-somme ayant4 figures, les 4 derniers chiffres peuvent être fautifs ; les 4 décimales du produit n'étaient done pas utiles à trouver, puisqu'on est incertain s'ils sont exacts. De là résulte qu’il est avantageux de simplifier le calcul de la multiplication, pourvu qu’on n’altère que ces chiffres défectueux, qu’on serait d'ailleurs obligé de rejeter ensuite. Dans l'exemple eité p. 51, la demi-somme des facteurs a 9 chiffres, et le produit complet 14 décimales; il n’y a donc” que les 5 premières décimales dont on soit sûr : on n’en doit chercher que 6 (ou 7 au plus), et en négliger ensuite une. Le produit est 61,377269.

* La division éprouve une simplification analogue à celle de

la multiplication : parexemple, 320,31768 àdiviser par 93,4525, pr 934525 si l'on ne veut que 4 chiffres décimaux, après avoir trouvé les 25791 8 84276

deux premiers chiffres 3,4 à l'ordinaire, on supprimera le der- 7101 3

: ne PE a : 559 7 nier chiffre 5 du diviseur ; de là le’quotient partiel 2,et l’on aura à multiplier 93452 par 2, et à soustraire de 257918 ; il restera 71013. On supprimera de nouveau un chiffre au diviseur, et l’on aura le quotient 7 et le reste 5597, etc. On aura soin, chaque fois qu’on négligera un chiffre, d'accroître le produit suivant des dizaines que donnerait ce même chiffre. Du reste, les derniers chiffres du quotient sont défectueux. Tout cela s'explique facilement,