APPROXIMATIONS

= 2,815, Dove

lus de décimales dans le dividende que dans le diviseur, on est P ;

ramené à ce dernier cas , en déplaçant la virgule d'autant de rangs des deux parts, de manière que le diviseur devienne un nombre

entier ; 8,447 : 0,09 — 844,7 : 9 — 93,8 +

car on peut diviser à part les entiers ;

Des Approximations et des Périodes.

48. L'erreur que l’on commet en negligeant le dernier chiffre d’une fraction décimale, est d'autant moindre que cette fraction à plus de figures. Ainsi, lorsqu'on prend 0,4, au lien de 0,43, on fait une erreur de 3 centièmes ; elle n’est que de 3 millièmes quand on pose 0,04, au lieu de 0,043. Lorsqu'on se contente de deux ou trois décimales, et qu’on néglige les autres, c’est qu’on suppose qu’il n’en résulte que des erreurs trop petites pour mériter qu’on y ait égard; il est rare qu’on emploie plus de six ou sept figures décimales.

Le résultat d’un calcul étant 4,837123, on peut prendre 4,8 ou 4,83, ou 4,837... pour valeur de cette quantité’; et comme elle est > 4,8 et 7 4,9, on voit que ces deux expressions sont approchées à moins de —, l’une par sh. l’autre par excès. De même, 4,83 et 4,84 le sont à moins de ——, et même on préférera 4,84, attendu que le chiffre suivant est 7, et que 4,84 approche plus que 4,83. En général, si le premier des chiffres qu’on supprime est 5 ou plus, on-doit augmenter d’une unité le dernier chiffre conservé.

49. Il arrive souvent que le résultat d’un calcul est une fraction irréductible compliquée ; on se contente alors d’une approximation dont le degré dépend de la nature de la question. Ainsi, au lieu de #7, supposons qu’on demande uneautre fraction plus simple, et quien diffère de moins de +. Il est clair que si l’on connaissait deux fractions, telles que ? et ©, dont le dénominateur füt 8, et dont les numérateurs ne différassent De de 1, elles rempliraient l'une et l'autre la condition exigée, si était compris entre elles ; il s’agit de trouver ces numérateurs 5 et 6. Multipliant ces trois fractions par 8, celles qu’on cherche seront réduites à leurs numérateurs inconnus dont 1 est la différence, et la proposée, qui devient 8 X 42 ou <=, sera encore comprise entre ces numérateurs : mais, en extrayant les entiers, on trouve que + est entre 5 et 6 ; ce sont donc

les numérateurs FE effet, on vérifie DASTRENE que +

da que de ->—, bien Ed que +. De là cette

règle * :

Multipliez la fraction proposée par le dénominateur donné ; l’entier approché du produit (par Ge où par QU est le numérateur demandé. Pour approcher de # à moins de —, on multiplie par 11, et on a 7 —6 ou7 en ur: snAEt : site —< et Z sont les frac- Dans nee Pour ppRogRes de + à moins de +,0n a D —y $ or ? à moins de <estentre + et 1; House 4 = et5 sont te ANT Ha

ie

Appliquons cette règle aux fractions trie Proposons-nous d ARPrUReS de 7 à moins de —; et multiplions À par 10, il viendra , qui est Pt » et6; donc 0,5 et 0,6 sont les fractions de- PAU TAUS Pour A ANA moins de 0,01 , il faut multiplier par 100, et on a“, entre 57 et 58 ; donc, 0,87 et 0,58 ne diffèrent pas

de 0,01 de > “En général, does le numérateur par le dénomina-

teur, et PES au reste de chaque division un zéro, jusqu'à ce que vous ayez obtenu au quotient un chiffre de l’ordre de l’approximation demandée.

Ainsi soumis à cette méthode d'approximation, donne 8,5 ou 8,57, ou 8,571, ou 8 Phise suivant qu’on veut que la valeur soit approchée à moins de =, —,——.... De même, “2172, après avoir donné le quotient entier 407, en continuant la division à l’aide d’un zéro placé après chaque reste, donne 407,389...

50. Lorsque, après avoir ajouté un nombre suffisant de zéros, la division amène le reste zéro, la fraction est exprimée exactement en décimales. On a exactement + = 0,5, 5? = 0,75, + — 0,625, = — 0,65. Il est aisé de prévoir dans quel cas cela arrivera; car la division ne pouvant s'effectuer qu'après avoir multiplié le numérateur par 10, 100, 1000... il faut, si la fraction est irréductible, que cette puissance de 10 soit divisible par le dénominateur (n° 25, 4°), ce qui suppose qu'il n’a d’autres diviseurs premiers que 2 et 5, et

que le plus haut exposant de 2 et 5 est la puissance de 10 qu’on em-

à a DAT de do : À :

* Pour approcher d’une fraction 5 À mois de -; il faut déterminer x par la condi-

a : ; multipliant tout par q, il faut que x € DL + 1; c'est-à-

dire queles numérateurs inconnus de nos fractions sont les quotients entiers æ el x 4-1; par défaut et par excès, de ag divisé par 8.

PÉRIODES. 55 ploie *. Donc, pour qu'une fraction irréductible puisse être convertie exactement en décimales, il est nécessaire et il suffit que le dénominateur ne contienne que des puissances de 2 et de 5 , quel que soit d’ailleurs le numérateur ; le nombre de fiqures décimales est égal à la plus haute puissance de 2 et de 5. Si ce dénominateur est 2 X 5 ou 200, ilya3 figures ; par exemple, 47 — 0,735.

51. Dans tout autre cas, une fraction ne peut être exprimée en décimales que par approximation ; mais, comme les restes des divisions successives sont nécessairement moindres que le diviseur, et que le nombre de ces restes est indéfini, on ne tarde pas à retrouver l’un d’entre eux. On a alors une seconde fois le même dividende, qui conduit au quotient et au reste subséquent qu’on a obtenus alors, et ainsi de suite. On retrouve donc au quotient périodiquement les mêmes chiffres dans le même ordre ; et puisque cette période s’établit lorsqu'on retrouve le mème reste, et que ces restes sont moindres que le dénominateur, la quotité de restes différents qu’on peut trouver est au plus ce diviseur moins un; donc /a période est composée de moins de chiffres que le dénominateur n'a d’unités. Nous indiquerons à l’avenir la période, en la plaçant entre deux crochets.

Par exemple, + = 0,666... — 0, [6]; $—0, 272727. . .. —=0,[27]; = 0,[342]... 7; — 0,[571428]... 5 — 0, 83333... = 0,8[3]; = — 0, 58 [3]... : la période est tantôt de 1, tantôt de 2, de 3... chiffres; là elle commence dès la virgule ; ici elle ne prend qu’un, deux... rangs au delà.

52. 52 le dénominateur n’a ni 2, ni 5 pour facteur, la période commencera dès la virqule. Car en réduisant + en fraction décimale, supposons que les restes 5 et 2, donnant les dividendes 50 et 20, aient pu conduire à deux restes égaux ; la différence 50-20 serait divisible par 7 (p. 18), ce qui est impossible, puisque les restes 5 et 2 sont <° 7, et que 7 n’a 2, ni 5 pour facteurs. Ainsi deux restes inégaux 5 et 2 ne peuvent donner le même reste, et si l’on obtient deux restes égaux , les restes précédents l’étaient eux-mêmes; et ainsi en remontant jusqu’au 1°° reste 8 **,

* La forme générale des fractions réductibles exactement en décimales est ROC En) le

nombre des figures est le plus grand des deux exposants #7 et » ; et si l’un surpasse l'autre de k, la partie décimale est a X 54, ou a X 24, selon quemest > ou Ln; si m=n, la partie décimale est a.

** Pour réduire une fraction 7 en décimales, il faut ajouter un zéro près de chaque

LA

Mais si le dénominateur de la fraction a pour facteurs des puissances de 2 et de 5, avec d’autres nombres, la période est précédée d’auwtant de chiffres qu'ily a d'unités dans l’exposant le plus élevé de 2 et de 5. Car soit proposée la fraction , comme 140 — %.5.7, si l’on multiplie par 100, ona