X = TT

cette période commence dès la virgule : donc , en divisant par 100,

deux figures. | |

Supposons qu'une fraction, telle que + = 0,[714285|, ait à sa période le plus grand nombre possible de chiffres, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans son dénominateur moins 1. On a dû obtenir dans les divisions successives tous les restes 1, 2, 3.... jusqu’à 6, mais dans un autre ordre : si donc on veut réduire À en décimales, il est inutile de recommencer le calcul ; il suffit de le reprendre à l’endroit où l’on a obtenu le reste 3 , et de faire commencer la période au terme qu’on a déduit de 2, qui est 4; on a de suite + — [428571]. On voit qu’on a seulement rejeté à la fin les deux premiers chiffres 71 de la première période. De même, + = 0,[052631578947368421], et pour — on rejettera les trois

premiers chiffres 0,52 à la fin, et l’on aura [631...21052]. C'est ce

qui se voit aisément , en commençant le calcul pour +, puisqu'on trouve que les premiers chiffres sont 63...

= 0,59[285714], dont la partie périodique est précédée de

reste : admettons que 10 D et 10 D’ soient deux dividendes partiels conduisant au même reste r ; les quotients étant g et g',ona

10 D=bq+7r, 10D'=bq +r, d’où, retranchant, 10 (D — D') = b(q—q').

Or, si à n'a pour facteur ni 2 ni 5, 10 et b sont premiers entre eux; g —q'est € 10, puisque chaque quotient partiel n’a qu'un chiffre ; le second membre ne peut donc être un multiple de 10, ce qui démontre que cette équation ne peut subsister que par q — g' = 0 ; d’où D = D': c'est-à-dire que le même 7 ne se reproduit qu’autant que le dividende partiel est lui-même revenu ; donc g fait partie de la période , puisqu'elle s'annonce au retour de l'un des restes déjà obtenus. Et comme le reste D doit aussi provenir d'un divi-, dende qui a déjà été employé, il s'ensuit qu'il faut remonter au premier dividende æ, pour trouver l’origine de la période, laquelle commence par conséquent dès la virgule.

PÉRIODES. Ce On peut faire la même chose lorsque la fraction proposée n’a pas autant de chiffres que d’unités dans le dénominateur moins 1 *, pourvu que le numérateur de la deuxième fraction #1 un des restes phtenus pour la première. Ainsi +—0,[037]; pour+ on a 0,[370]; pour + on à 0, [703]; parce que 10 est le premier Are et 19 le lotième dans la division de 1 par 27. Pour =, il suffit de doubler les quotients et les restes : ainsi, + —0, (074); + — 0, (740); à ou plutôt = = 0,(407). On APRES de même, en multipliant Le 5, + = 0 (185), = 0,(851); À — 0,(518).

Voici diverses périodes dans le cas où le numérateur est 1 ; on y a inscrit, pour chaque chiffre de la période, le reste qui l’a donné, afin d’en pouvoir tirer les périodes, quand le numérateur n'est pas 1.

Reste. . . . . 152645 1 10