RS

Restes. . . . 1: 10 15 14.4 6 9 ,5° 16 7. 2. 5 15-11 8 ,12; Z—0,[0 2 7] = 0,[0 2 4 8 9].

Restes. .. . 1 10 26 1, 410 418, :164 157

Réduisons en décimales une fraction dont le numérateur soit 1, et supposons qu'on obtienne un reste égal au dénominateur moins un ; par exemple, —, après trois divisions, donne le quotient 0,076 et le reste 12. Pour continuer l'opération , il faut réduire en décimales me ou Lo es k = 1 — 4 x il faut donc retrancher de 1 la partie ,076 déjà obtenue au quotient, c’est-à-dire prendre les compléments de tous ses chiffres à 9, savoir, 923 ; en sorte que — —0,[076923]. La période est alors accomplie; car puisque 10? divisé par 13 a donné le reste 12, en ajoutant 1, 109 1 doit

* On remarque que, lorsque le diviseur est un nombre premier, si la période n’a pas autant de chiffres que ce nombre a d'unités moins 1, du moins elle en a une quotité,

qui est facteur (partie aliquote) de cette différence. Ainsi a n’a que 6 chiffres à la ED

période ; mais 6 est facteur de 13 — 1 (voy. la note page 35, et lArith. compl, de M. Berthevin.)

donner le reste 13, ou plutôt réro ET — entier : multi-

pliant par 10% — #, on trouve que — entier, c’est-à-dire

106 | que ee donne le reste 1 ; la période a donc 6 termes.

Ce qu’on vient de dire s'applique toujours au cas où la période est composée d'autant de chiffres qu’il y a d'unités dans le dénominateur moins un, car on est sûr d'obtenir (dans un ordre différent) tous les restes 1,2, 3, 4,.... et par conséquent le dénominateur moins un : le nombre des divisions qui donnent la période est réduit à moitié. Ainsi, pour +, neuf divisions donnent le quotient 0,052631576 et le reste 18 ; prenant donc les compléments à 9, on joint à la suite le nombre 9473868421, et on à . . . . 7 — 0, [052631578947368421]. Pour = on a 0,0136 et le reste 72, donc >; — 0, [01369863].

Le procédé suivant permet de prolonger rapidement la partie décimale obtenue, par quelques divisions initiales. Pour — on trouve 0,05263 avec le reste 8, et il reste à développer + ou 3 X —; on multipliera donc par 3 le quotient trouvé et on écrira ce produit à la suite ; savoir 15789 ; alors le reste est 9, et il faut multiplier par 9 le quotient total, ou plutôt par 3 le produit précédent, et ainsi de suite. On donne au calcul la disposition suivante :

Chaque produit par 8 ajoute cinq figures au résultat , et quand ce produit a 6 chiffres, le 6° s’ajoute aux unités du produit précédent. On trouve de même |

77 —= 0,0140845 avec le reste 5 produit par 5. . . .. 0704225 3521125 1 7605625 8 8028125.