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Dans ce genre d'opérations tout se réduit à décarapaser chaque fraction en ses aliquotes , comme n° ny Ainsi 19 sous ou À de livre, se décompose en £—+,5—+,et#—#+; il faudrait dant. pour 19 sous, prendre la +, le = et le : + de Mantidé multiplicateur, considéré comme des livres. On pourrait aussi prendre = =+, Z A et deux fois + =. De même, pour ? on prendrai=#;i—2etz

On voit des que, pour TOM Lie une fraction complexe, antèl l'avoir exprimée en fractions à deux termes, il faut décomposer son numérateur en parties qui divisent le dénominateur ; les fractions composantes seront donc réduites à d’autres dont le numérateur est 1. Par exemple, pour 10 pouces , ou = de pied, on coupera 10 en 6 —- 2 +- 2, ce qui fera, en réduisant, 2, + et 2; ou bien en AR 2, qui font :, 5et+; ou en 6 H 3 1, qui donnent og Ct 77 ClC..

Observons que si le multiplicateur n’a qu'un seul chiffre, il est plus simple d'opé- Liv. One. Gros. Grains. rer comme pour l'addition. Dans l'exemple ÿ Aiiol c3 À ci-contre, On dira : 7 fois 18 grains —126 91 6 5 54 grains = 1 gros 54 grains. On pose 54 et on : retient 1. Passant au produit de # gros par 7, on a 4 X 7L1 — 29 gros, ou 8 onces 5 gros ; on pose 5 gros et l’on retient 8 onces, etc.

Pour multiplier 14 s, par 483, il faut prendre les 2 ou La 3 de … 1483 livres ; on a <= ou 338,1, ou enfin 838 lv. 2 s. Cet exemple prouve que, pour mi bien un nombre pair de sous, il faut en prendre la moitié, faire le produit de cette moitié, en metiantaurang

des sous le double des unités de ce produit. Pour 18 s. X 56, comme B6X9 = 504, on a 50 liv. 8 s.; 80 pièces de 126, font 8 X6=— 48 liv, 2e cas, Cherchons la valeur de 36 marcs 6 onces 4 gros d'argent à 51 Liv. 15 s. 5 den. le mare. On répétera d’abord B1 liv. 16 s. 5 den. 36 fois; et ensuite autant de fois que 6 onces 4 gros sont contenus dans le marc : le multiplicateær est abstrait et cesse de représenter des marcs. Ainsi, on ne multipliera d’abord 51 liv. 158, 5 den. que par 36, ainsi qu’on le voit. ci-contre, d’après la règle exposée ci-dessus, Il reste ensuite à multiplier par la fraction 6 onces 4 gros ; en prenant d'abord pour # onces la moitié du multiplieande total 51 liv. 15 s. 5 den., parce que 4 onces équivaut à =, ou BI 156 6% la moitié d’un marc; pour 2 onces, J'en le

on prend ensuite la moitié de ce AUDE produit, etc. Pour 144. ..95 Ls Il arrive souvent que, pour faci- the b 51 10 liter les calculs, on fait un faux 1 «105 LS produit : par exemple, si l’on avait HUE" k 3 ; eu 14 s. au lieu de 15 s., il aurait #..:28 17, 8; LE AE 2°...12 18 10:

aliu de même AXE ® proauit de her... 3 4. gui 1s., qu'on auraif effacé après avoir T7 1908 16. 82! trouvé le produit des 5 den. L Voici deux autres exemples :

12# 185 8% 321 155 8ù 42° 5P 4po 94 3? {1r 241F 401 15 Où 185. 27 165 F AyErs AS p° . pr. de 1P | (+ EF. pr. de 15. pl PA p' 4 s 5 Ta ED DA 0° 14 . 4n 9 LALRS 4, . O0 14 RER SONT N SOER EP ee Ut 9 4ù nerve er dp. n 6 9: 364 14 82 dpo O0 14 4+ 554 13 11:

58. Puisque le quotient, multiplié par le diviseur, produit le dividende, la division doit offrir aussi deux cas, suivant que le quotient ou le diviseur représente le multiplicateur, et doit être considéré comme abstrait,

1er cas. Si le diviseur est le multiplicateur, le quotient est le multiplicande et doit être de la même espèce d’unités que le dividende, qui représente le produit. |

Lorsque le diviseur n’est pas complexe, on opère tour à tour sur chaque espèce d'unités du dividende, en commençant par la plus grande. Ainsi, pour diviser 234 liv. 15 s. 7 den. par 4; on prendra le quart de 234 liv., qui est 58 liv., avec le reste 2 liv., qu’on réduira en sous pour les joindre aux 155. du dividende, 40 + 15—55, dont le quart est 13 s. avec le reste 3 s. ou 36 den.; 364-7— 43 den., dont le quart est 10 ©? den., le quo- AUS e tient est donc 58 liv. 13 s. 10 © den. 254-

Un ouvrier a reçu 151 liv. 145. 5009 6 den. pour 42 jours de travail; #

pour savoir ce qu'il gagnait chaque En jour, on divisera 181 Liv. 14 s. — 6 den. par le nombre abstrait 42. 6 On voit ci-contre le détail du 126 calcul. ,

Quand le diviseur n’a qu’un seul chiffre, comme dans le premier exemple , au lieu de suivre tous les détails de ce type de calcul, il n’est besoin d’écrire que le quotient , attendu que la mémoire suffit pour retracer les restes successifs. C’est ainsi qu’on en a usé (p. 20), et même dans les exemples de multiplications complexes, Jorsqu’il a fallu prendre la moitié , le tiers, le quart. . . .

Si le diviseur est complexe , mais qu’on doive encore le regarder comme abstrait,-il faut d’abord faire disparaître les fractions qui l'affectent : pour cela, on multipliera le dividende et le diviseur par le nombre qui exprime combien la plus petite espèce d'unités de celui-ci est contenue dans la plus grande. Cette opération n’altérera pas le quotient (n° 15, 1°); et comme chaque espèce d'unités du diviseur produira des unités entières, il sera rendu entier. Aïnsi, 42 toises 5 pieds 4 pouces ont coûté 554 liv. 13 s. 11 den. +; on demande le prix de la toise? IL faut diviser ce dernier nombre par le premier , considéré comme nombre abstrait. Comme 4 pouces, ou + de pied, est contenu 18 fois dans la toise, on doit multiplier les deux nombres proposés par 18. La question devient : 772 toises ont coûté 9984 liv. 10 s. 8 den. ; quel est le prix de la toise? La division de 9984 liv. 10 s. 8 den. par le nombre abstrait 772 donne pour quotient 12 liv. 16 s..8 den.

ES

De même, pour diviser 806 liv. 0 s. 10 den. par 17 à, il faut multiplier par 3, et l’on a 2418 liv. 2 s. 6 den. à diviser par B3. Si le diviseur est 3* 7° 4e, on multipliera par 16, parce que 4 gros ou la moitié de l’once, est contenu 16 fois dans le marc.

2e cas. Si le diviseur est le multiplicande, il doit être de la même espèce que le dividende ; le quotient est abstrait, et indique combien de fois l’un contient l’autre. On fera disparaitre les fractions du dividende et du diviseur, ainsi qu'il vient d’être dit, puis on les regardera l’un et l’autre comme des nombres abstraits : en effet, 12 liv. contiennent 3 liv. autant de fois que 12 contient 8.

Par exemple, pour diviser 364 liv. 145.3 den. -Z par 37 liv. 15 s. 8 den., on multipliera ces deux nombres par 20 X 12 K 18 ou 4320, parce que le dix-huitième de denier est contenu 4320 fois dans la livre. Il faudra donc diviser 1 575 565 par 163 224, ce qui donne 9 22. Pour faire la preuve par la multiplication, p. 67, il faut évaluer la fraction EE en parties de la toise, comme on va le dire.

Combien de fois 143 liv. 17 s. 6 den. contient-il 11 liv, ? Il faut multiplier par 40, et diviser entre eux les produits 5755 et 440 ; on trouve 13 fois et-Z. |

59. Les fractions à deux termes, les décimales et les complexes sont les trois sortes de fractions en usage. Nous savons déjà convertir les deux premières l'une en l’autre (p. 54 et 59) ; voyons à les changer en la troisième, et réciproquement.

On réduit une fraction en nombre complexe, en divisant le numérateur par le dénominateur, Ainsi, pour avoir les © dela livre, on divisera 5 livres par 7, et l'on aura 14 sous 3 deniers #.

Réciproquement, pour convertir un nombre complexe en fraction à deux termes, il faut le réduire à sa plus petite espèce. Ainsi , 14 s. 3 den. ? vaut 171 den. , ou 22° de den. : comme la livre vaut 240 den., on divisera par 240, et l'on aura 2 ou ? de liv.

Pour évaluer en sous et deniers la fraction 0,715 liv., il faut multiplier par 20, et l’on a 14,3 s. ; de mème, multipliant 0,3 s. par 12, on a 3,6 den.; donc Of, 715 = 14 8 3h, 6.

On réduit une fraction complexe en décimales, en la convertissant d’abord en fraction à deux termes, puis celle-ci en déci-

males (n° 50).