CHAPITRE III. | PUISSANCES ET RACINES, Formation des Puissances
60. En multipliant un nombre par lui-même, 1 2, 3, fois successives, on en obtient les puissances 2, 8, 4,.,.,.comme on le voit dans letableau ci-contre.
îre " 128 256 512 | 5 Or 27 81 243 729 2187 6561 19683 | 4! 46 64 256 102% 4096 16384 65556 262144 | 5 25 | 125 625 3125 156925 78125 390625 1953125 VOT60 1 210 | "1290 7716 46656 279936 | 1679616 | 10077696
Le carré (n° 41, 8°) de £ esti Xi ; le cube est. , .. Lorsqu'on veut former une puissance élevée, on peut éviter de passer successivement du carré au cube, du cube à la quatrième : puissance... Soit demandé 8"; comme il s’agit de rendre 8 onze fois facteur, je décompose 11en3 4-4; il vient3"=3 X31X 34. On voit done qu’il faut décomposer la puissance proposée en d’autres dont elle soit la somme, et multiplier ces résultats entre eux ; en sorte que, dans la multiplication, les exposants s'ajoutent. Ici, 85 = 927, 34 — 81; en multipliant, on à 37 — 2187 ; multipliant de nouveau
par 81, on trouve 84 = 177 147.
Observez que 34 X 34 n’est autre chose que le carré de 34, ou. 812 — 6561 ; ainsi, multipliant (34), ou 6561 par 85 = 927, on . obtient de même 3". La puissance 12 est 34 X 34 X 84— Je cube | de 84 ou (34); on trouve 3 = 81% — 531 441; divisant par 8, il vient 3% — 177 147. En général, décomposez la puissance proposée en deux facteurs, formez la puissance indiquée par l’un, et élevez le résultat à la puissance marquée par Pautre ; ou autrément, pour. élever à une puissance, mullipliez l’exposant par le degré de la puissance (voy. n° 124), Par exemple, pour 5"7, faisons + X 5%, Or,
RACINES CARREES. 71
18 —9 X 8 X 8; 58 — 5233 : on fera donc le carré de 5, on l’élèvera au cube, puis le résultat encore au cube, et l’on aura la dix-huitième puissance ; après quoi on divisera par 5 pour avoir la dix-septième. Voici le calcul : 5° = 25, 25= 56 — 15 625, dont le eube est 5%= 38 814697 265625 ; enfin 517 — 762939453125. On remarquera avec quelle rapidité les puissances croissent, La soixante-quatrième de 2 est 18 446744 073 709 551 616.
Extraction des Racines carrées.
61. Le carré d’un nombre de 2 chiffres, tel que 35, se forme par la multiplication de 35 par 35, opération qui exige quatre produits partiels ; 1° 5 X 5, ou le carré des unités ; 2° 30 X 5, ou le produit des dizaines par les unités ; 3° une seeonde fois 30 X5; 4° 80X30, ou le carré des dizaines. Donc le cârré d’un nombre de 2 chiffres est formé du carré des dizaines, deux fois le produit des dizaines par les unis, plus enfin le carré des unités. Ainsi,
Pour multiplier 7 H 5 par 7 + 5, on multiplie 7 et 5 d'abord par 7, puis par 5, et l’on ajoute; ce qui donne 7° 7 X 5 d'une part, et7 X 5-E 5 dél’autre. Donc 1% est — 49 +25 +2 X 38 — 144. Donc, pouffaire le carré de 7 4 5, il ne suffit pas de carrer 7 et 5, il faut encore ajouter le double du produit de 7 par 5: Le carré d’un nombre composé de deux parties se forme des carrés de chacune, augmentés du double de leur produit (voy. n° 97; 1°).
62. Les carrés de 10, 100, 1000... sont 100, 10000, 1 000 000 ou 1 suivi de deux fois autant de zéros qu'il y en a à la racine : ainsi, tout nombre d’un seul chiffre, ou compris entre 1 et 10, a son carré entre let 100, c’est-à-dire composé de 1 ou 2 chiffres : de même, tout nombre de 2 chiffres en a 8 ou 4 à son carré, etc. En général, lecarré a le double, ou le double moins À, des chiffres de la racine (p: 16.)
: Procédons au calcul de Pextraction des racines carrées. Gelles des nombres de 1 ou 2 chiffres sont compris dans les tables n° 14 et 60 : quant aux autres, il faut distinguer deux cas.
1e cas. Si le nombre proposé, tel que 784, à 3 au 4 chiffres , sa racine en a deux; et 784 est composé du carré des dizaines dé la racine , de celui des unités, et du double du produit des dizaines par les unités. Or, la première de ces parties se forme en ajoutant deux zéros au carré du chiffre des dizaines (n° 13, 8) ; d’où il suit
que ce carré n'entre dans l'addition de ces trois parties qu’au rang des centaines. En séparant les deux chiffres 8 4, on voit que 7 contientle carré du chiffre des dizaines, considérées comme des unités simples, et en outre les centaines produites par les autres parties du carré.
On prendra la racine du plus grand carré 4 contenu dans 7, elle sera le chiffre des dizaines cherché : car 7 étant compris entre les carrés de 2 et de 8, le nombre proposé 784 l’est entre 20* et 307; ainsi, la racine estentre 20 ét 30, et l’on a 2 pour le chiffre des dizaines.
En retranchant 4 de 7, le reste 3 est la retenue ; ainsi 384 est composé du carré des unités, plus du double des dizaines multiplié par les unités.
On forme le produit du double des dizaines par ls unités, en multipliant le double du chiffre des dizaines par les unités, et mettant un zéro à droite. Ainsi, dans l'addition , ce produit est compris au rang des dizaines, et contenu par conséquent dans 38, en séparant de 384 le chiffre 4 des unités : 88 contient en outre les dizaines produites par le carré des unités, et celles qui proviennent de ce que 784 peut n'être pas un carré exact. Si ces dizaines étaient eonnues, en les tant de 38, le reste serait le double produit dont il est ici question ; donc, en le divisant par 4, double du chiffre des dizaines, le quotient serait les unités. Divisons donc 30 par 4, le dividende sera plus grand que celui qu'on doit employer, et le LT pourra être trop grand; mais il sera facile de le rectifier.
Car si le quotient © , ou 9 en nombre
entier , représente en nes les unités, en LS as af plaçant 9 à côté du double 4 du chiffre 584 4 % des dizaines , 49 sera le double des dizai- 0 41 584 nes ajouté aux unités; et 49 X 9 sera le : ns nn mn en double du produit des dizaines parles uni- 27.3 5 52
tés, plus le carré des unités. Or, 49 K 9 ae 102
— 441 © 384; donc 9 est trop grand. 31 À
On éprouvera le chiffre 8 de la même ma- Fes nière ; et, comme 48 X 8— 884; qui,re- | 7 2 0 tranché du reste, donne 0, on voit que 784 Fa LEE #C est le carré exact de 28. On a mis ici le 21 de type.du calcul, ainsi que celui de / 2735 8 21
qui est 52, avec le reste 31, de sorte que 52 est la racine du plus ernd carré contenu dans 2785, c'est-à-dire celle de 2735 — 81 ; 2704. On trouve ainsi p/ 121 = 11.
