RACINES CARRÉES

2° cas. On raisonnera de même si le carré a plus de quatre chiffres ; car alors, bien que la racine en ait plus de deux, on peut encore la regarder comme composée de dizaines et d'unités ;- par exemple, 523 a 52 dizaines et 3 unités.

Ainsi, pour 273529 , on verra, par la

même raison, que le carré des dizaines, ‘FS A: SE considérées comme simples unités, est con- 204 ie US tenu dans 2735 (en séparant les deux chif- : g sd: 204 3129 fres à droite, 29), et que la racine du plus 0

grand carré contenu dans 2735 donne les

dizaines. On atrouvé ci-dessus 52 pour cette racine, et31 pour reste; de sorte que descendant 29 à côté de 31, 3129 est le double produit des dizaines 52 par les unités inconnues, plus le carré de ces unités ; supprimant le chiffre 9, on divisera 312 par 104, double des dizaines 52 ; on aura le quotient 3, qui est les unités de la racine, ou un nombre plus grand,

Enfin , plaçant ce quotient à droite de 104, et multipliant 1043 par 3, on retranchera le produit 3129 du reste 3129; ainsi 523 est exactement la racine cherchée.

Ce raisonnement s'applique à tout nombre; on voit qu'il faut le partager en tranches de deux chiffres, en commençant par la droite, ce qui ne laissera qu’un seul chiffre dans la dernière tranche, lorsque le nombre des chiffres sera impair. Chaque tranche donne un chiffre à la racine, en opérant sur chacune comme il vient d’être dit. Il est donc bien facile de juger à priori du nombre de chiffres de la racine d'un nombre donné. Quand cette racine n’est pas exacte, le calcul conduit à un reste; nous” allons montrer l'usage de ce resto pour approcher de la racine. |

Observez aussi qu'il est inutile d’écrire les divers produits à soustraire, et qu’on peut, comme pour la division (p. 23) faire à la fois chaque multiplication et la soustraction.

1111.08.88.89 | 33 333 54.00.0000 | 7548 2 1.1 TT RX REX o 0.0 NT ur 189 sn ses 710.0 HE

Mai i à 3 5 12440.0 1464X4

PE 189 1989 * | Reste.6896 | TPPXE

On peut aussi s’exercer sur les exemples suivants : / 7 283 291 — 2698, reste 4087; et p/ 3179 089 — 1783.

63. On appelle Commensurables ou Rationnels les nombres qui ont une commune mesure avec l'unité: tel est =, parce que le cinquième de l'unité est contenu cinq fois dans 1, et deux fois dans £: Mais, fout nombre entier, qui n’est pas le carré exact d’un entier, ne saurait l'être non plus d’un nombre fractionnaire , et par conséquent sa racine est incommensurable avec l’unité. Car s’il y avait une com-= muüune mesurée, contenue, par exemple, cinq fois dans l'unité et treize fois dans W/ 7, en sorte que (36) la racine de 7 fût représentée exactement par -=—|}/ 7 ; en élevant au carré ün aurait 22 — 7; ce qui ést absurde, ces deux fractions étant irréductibles (n° 41, 5°).

Puisqu’en divisant l’anité en parties égales, on ne peut jamais prenidre celles-ci assez petites pour que l'une d'elles soit contenue exactement dans |/ 7, et qu'aucune fraction ne peut être la valeur juste de y/7, si l’on veut la mesure exaûte, il faut prendre une autre unité (36) ; à moins qu’on ne se contente d’une approximation, en rendant les parties de l'unité assez petites pour que la différence entre y 7 et un certain nombre de ces parties puisse être négligée comme de peu d'importance. Par exemple, si l'unité contient 100 parties, ét qu'on trouve que 2 unités 64 de ces parties sont <{ J/ 7; tandis que 65 surpassent p/ 7, c'est-à-dire que 7 soit entre les carrés de 2,64 et 2,65, on dit que V7 est entre ces nombres, et qu’on à celte racine à moins de un centième. C’est ce qui explique ce paradoxe, qu’on peut approcher autant qu’on veut de y 7, quoique 7 n'existe pas numériquement.

Si l’on veut népliger les quantités moindres que le cinquième de l’unité, il faudra donc trouver combien V/7 contient de ces cinquièmes, c’est-à-dire chercher deux fractions, telles que et # ayant 5 pour dénominäteur, dont les numérateurs ne diffèrent que de 1, et qui comprennent 7 entre élles , ou plutôt 7 entre leurs carrés. Pour obtenir ces numérateurs 13 et 14, concevons les carrés de nos fractions et celui de y/ 7 multipliés par 25; 25 X 7 sera compris entre les carrés des numérateurs inconnus , et par conséquent V4 (25 X 7)ou V4 175 sera compris entre ces numérateurs. Or, y/ 175 tombe entre 13 et 14: donc ‘3 et “# sont les fractions