RACINES CARRÉES
chérchées, ou les valeurs approchées dé V4 7, à moins de +, l’une par défaut, l’autre par excès *. |
De même, pour avoir (3 +) à moins dé +, on multipliera 3 > par 112 ou 121 ; on aura 449 ?, dont il faudra extraire la racine en nombre entier : elle est 21, en sorte que W/ 3 À est comprise entre #, et 22 où 2. Observez qu'on supprime dans 449 > non-seulement la fraction ?, mais même toute la partie de 449 qui excède le catré de 21, Pour extraire la racine d’un nombre avec une approximation déterminée, on le multiplie par le carré du dénominateur donné , et l’on extrait en nombre entier la racine du produit : elle est le numérateur cherché.
64, Si l'on veut approcher à l’aide des décimales, c'est-à-dire à moins de 0,1, 0,01...., il faut multiplier le nombre par le carré de 10, de 100...., ce qui revient à reculer la virgule vers la droite d'autant de fois deux rangs qu'on veut obtenir de décimales, en ajoutant un nombre convenable de zéros, si cela est nécessaire, 0,3 à moins de 0,01 est 24/3000, en réculant la virgule de quatre rangs, ou -— X 54 — 0,54. De même, V/ 5,7, à moins de =,
est / 57000, on 2,38.
Au lieu de placer une longue süite
de zéros après le nombre proposé, EE 1,926 Ed 22.1 77 on peut se contenter d’adjoindre ces 5 20.0 $ 54ÿ dE vi 5 90. | zéros par couple, aprés chaque reste. 9 31 90.0 nn 1694 4 etc, né
C’est ce qu'on observera dans les cal:
culs ci-contre de y/321 et / 2. On voit que pour avoir üne décimale, on » 1,41421556
sé contetite de placer une tranche de 10.0 24 deux zéros près du premier reste, RON. seuil
Pour une deuxième décimale, on place 60 40.0 28289
de même deux zéros après le second + ae Le
reste , etc... On marque de suite la * L'unité étant divisée en g parties égales, pour connaître le plus grand nombre x de
ces parties contenu dans V N, c'est-à-dire pour obtenir une fraction n approchée de J/N q ”
à moins d’un ge de l’unité, il faut déterminer +, de sorte qu'on ait J <VN< rurale $ q (War) ; > or, V°x = r. V°ñz pe TE | ; done, & € J/ (Ng°) L'#-4- 1j é’est-à-dite dé x est
Je plus grand entiér contehu dans J/ (Ng*).
place de la virgule dans la racine, et l’on pousse le calcul de l’approximation jusqu’au degré nécessaire, en mettant deux zéros après chaque reste successif.
La racine d’un produit est le produit des racines des facteurs : ainsi de 144= 9 X 16, ontire W/144— 9 X/16—8%X 4 — 12. Cette règle , qui est fondée sur ce qu’on a dit (n° 60), peut servir à simplifier les extractions des racines :
V8=V QXHh—92VY 2—92X1,4142.,. — 2,82842712.
65. La racine d’une fraction s’obtient en extrayant la racine de chacun de ses de termes. Geo ie de la manière dont on forme
o er. EC — 3 le carré (n° 41, y i—: nt T
La racine est Fate hui les deux termes ne sont pas des carrés exacts. os par exemple, > pouvait être une autre
fraction, telle que + ; il en résulterait + = ==
L1 Tai
:, Ce qui est impossible (n° 38, 4°). On ne peut donc avoir la racine qu'en approchant à un degré donné par la nature de la question ; on procède alors comme il a été dit (n° 63). Par exemple, |/ ? à moins de = se trouve en multipliant + par 121 = 11°,etl'onap/ + =4y 815; et ne prenant la racine de 81 qu'à moins d’une unité, on a W/ À comprise entre -- et # |
TE
Observez que F: > peut bien être pris — <> Puisque , si l’on
multiplie cette expression par elle-même, on trouve + pour produit. Mais outre que cette double extraction exigerait deux valeurs approchées, le degré d’approximation du résultat serait incertain. Il arrive souvent quece degré n’est déterminé qu’à la fin du calcul; cette partie de l'opération doit donc être dirigée de manière à permettre une approximation illimitée. Pour cela, on multiplie les deux termes de la LReupA pa son dénominateur, afin de rendre celui-ci un carré ; ? devient —, en multipliant haut et bas par 7, ety/i—7; y 21; on poussera J/ 21 jusqu’au degré exigé. Par exemple, si y” 21 est prise — 4,582, c’est-à-dire à moins de 0,001, le septième esty/ À? — 0,654, valeur qui ne diffère pas d’un septmillième. | | Si l'on eût demandé p/ + à moins de; , le calcul eût de même conduit à 7 W 21, entre + et à.
Pour y (3 ?), on écrira y +
{ 2 Hd or y 162
