RACINES CUBIQUES

66, Les équations suivantes se démontrent en élevant tout au carré :

RUE rep = NA Le 77 ra Vs XV 41=V EXD=/#:

ViiVi=VixpVi=pi=ina

Ainsi, on peut intervertir l'ordre des facteurs irrationnels, et multiplier par le même facteur les deux termes d’une fraction irrationnelle.

Nous terminerons par plusieurs remarques.

1° On doit toujours préparer les nombres de manière à ne soumettre que des entiers au calcul de l'extraction.

2° Le nombre des décimales d’un carré est toujours pair et double de celui de la racine : on doit ajouter des zéros ou supprimer des décimales , pour que cette condition soit remplie dans tous les cas.

3° Chaque tranche ne devant donner qu’un seul chiffre, on ne

peut mettre à la fois plus de 9 à la racine.

t 4e Le carré d'un entier, tel que 18, étant donné, pour avoir celui du nombre suivant 19 , comme 19 — 18 + 1, le carré est 18: 2 X 18-LI1(n° 61); on ajoutera donc 37 à 324, carré de 18, et l’on aura 361 — 19°. En général, quand on a le carré d’un entier, en ajoutant un, plus le double de ce nombre, on a le carré de l’entier suivant. Il suit de là que dans l'extraction de racines carrées, chaque reste doit être moindre que le double de la racine qui s'y rapporte; car si l’on trouvait un reste plus grand que ce double, il faudrait mettre une unité de plus à cette racine.

5° La preuve de l’extraction se fait par l'élévation de la racine au carré; il faut qu'en multipliant la racine par elle-même , et y ajoutant le reste, on retrouve le nombre proposé; ce reste doit d'ailleurs être moindre que deux fois la racine. On pent aussi appliquer ici la preuve par 9, par 11,... exposées n° 35, 5°,

Extraction des Racines cubiques.

67. Avant d'extraire la racine cubique , il convient d'analyser la loi suivant laquelle se forme le cube, qui est le produit d’un nombre

par son carré. En imaginant ce nombre décomposé en deux parties, on a vu (n° 61) que le carré est composé du carré de la première, du carré de la seconde, et du double de leur produit : c'est le système de ces trois quantités qu’il faut multiplier par les deux parties du nombre donné. Or, en les multipliant d’abord par Ja première, on obtient

(+6) = 742 X 7 X 5 + 5 78 | 40 Le Cube de la 1re partie. . . . . 73 20 2 fois le carré de la 1re x la 2e, 2 X71X5 50 La îre X le carré de la 2e. 1% 10 De même,en multipliant les trois par- = ties du carré par la 2e du nombre donné , il vient :

4e Le carré de la 4re X la 2%. ., .. 73,5 90 9 fois le carré de la 2e X la 2e... 2 X 7 x 5? 8o Enfin le cube de la 2e, . . . .. 53

en réunissant ces six résultats, 753 X7:X 5 +8 X 7 X 5745 on voit quele cube de tout nom-

bre formé de deux parties, se compose de quatre parties, savoir :, 1° le cube de la première ; 2 trois fois le carré de la première multiplié par la seconde ; 8° trois fois le carré de la seconde multiplié par la première ; 4° le cube de la seconde. |

Concluons de là que le cube de tout nombre composé de dizaines et d'unités est formé du cube des dizaines, trois fois le carré des dizaines multiplié par les unités, trois fois le carré des unités par les dizaines, enfin le cube des unités.

68. Le cube de 10, 100, 1000... est formé de l’unité suivie de trois fois autant de zéros ; ainsi un nombre de deux chiffres, c’est-àdire entre 10 et 100 , a son cube entre 1000 et 1 000 006; il est donc composé de quatre, cinq ou six chiffres. En général le cube d’un nombre a le triple de chiffres de sa racine, ou le triple moins 1, ou moins 2.

Les racines des nombres <7 1000, n’ayant qu’un chiffre, le tableau (p. 70) les a fait connaître. Nous partagerons l'extraction des autres nombres en deux cas.

1er cas. Si la racine n’a que deux chiffres, comme l’est celle de 21 952, je remarque que le cube des dizaines cherchées se forme en cubant le chiffre des dizaines, et plaçant trois zéros à droite

RACINES CUBIQUES. 79 (p. 14). Done en séparant les trois chiffres 952 du nombre proposé, 91 contient le cube du chiffre des dizaines considérées comme des unités simples, et en outre les mille qui proviennent des autres parties. Le plus grand cube contenu dans 21 est 8, dont la racine est 2; c'est le chiffre des dizaines : car puisque 21 est compris entre les cubes de 2 et de 3, 21952 l’est entre les cubes de 20 et de 80. Otons 23 ou 8 de 21, il reste 13952, qui représente les trois autres parties du cube : or, le produit de trois fois le carré des dizaines par les unités se forme en multipliant par les unités le triple du carré de 2, c’est-à-dire 12, et plaçant en outre deux zéros à droite : ainsi, séparant les deux chiffres 52, le nombre 139 contiendra douze fois les unités , et les centaines produites par les deux autres parties du cube. En divisant 139 par 12, le quotient sera donc les unités, ou un nombre plus grand ; et comme ce chiffre ne peut excéder 9, on prendra 9 pour le quotient de == Il s’agit de vérifier si 9 ent CR grand que les unités. Pour cela, sous 1200, qui est le triple du carré des dizaines, plaçons le triple du produit-des dizaines par 9, ou 3.20 .9—540; puis

le carré de 9 ou 81, et multiplions la

somme 1821 par 9. Si 9 est le chiffre 21952 28 “Racine.

des unités , le produit devra être égal au reste, puisqu'on forme ainsi les trois parties que ce reste contient. Ce pro- 0 71821 1744 duit excède 13932, d’où il suit que les ARR A lus 2

". 16589 135952 unités sont 79. On essayera donc 8 ; et comme en faisant la même épreuve , on trouve précisément 139592, on reconnait que 28 est la racine cubique exacte de 219892, Ce raisonnement est analogue à celui qu’on a fait pour la division et la racme carrée (n° 18, 62); on tirera facilement la règle qu'il faut suivre dans ces sortes de calculs.

2° cas. Si la racine à plus de deux chiffres, comme pour le nombre 12 305 472 001, on raisonnera comme précédemment (n° 62, 2e), On verra qu’il faut, 1° couper le nombre en tranches de trois chiffres, à partir de la dite:

2° Extraire la racine cubique de la dernière tranche 12, qui est 2; c'est le chiffre des mille de la racine : retranchant ‘de 12 le cube 8 des mille, il reste 4.

3° Descendre à côté de ce reste 4 la tranche suivante 305, dont on séparera deux chiffres 05; ; ef diviser 43 par "12, triple du carré du

chiffre obtenu. Le quotient 3 doit être éprouvé comme on vient de le | dire. On reconnaît qu'il y a 3 centaines, le reste est 138.

4° Descendre près de ce reste la tranche 472, dont on séparera de même 72, et diviser 1384 par 1587, triple du carré de 23 ; on posera à la racine le quotient 0.

5° Descendre près du reste la tranche O01, et diviser 1384720 par 158700.

Et ainsi desuite. Voici le type du calcul: