Racine
4 3.05 DER TRE 12 15 870 0 "4167 l 18 . 55 20 1 38 4.72 9 64 À A8 A 72 OUT 22. Ve es 197 402112 wre 15 925 n
Reste... 11069889 —je7 127 408 112
69. On démontrera comme au n° 63, que, 1° lorsqu'un nombre entier, tel que 3, n’a point de racine cubique entière, il n’en a pas non plus de fractionnaire; mais on peut approcher indéfiniment
de cette racine. Pour obtenir W/ 3 à moins de +, on multipliera 3 par le cube de #, et l'on aura 8 XX 64, ou 192 , dont la racine cu-
bique est 5 en nombre entier : donc + est le nombre demandé,
et V4 8 tombe entre + et ?. De même, pour / (3 5) à moins UE 7 ona8> X 11° — 1948 5 7, la racine cubique est 17 ; done #2 est approché de V4 (3 >) à moins de.
2° Pour approcher à l’aide des décimales, on reculera la virgule d’autant de fois trois rangs à droite qu’on veut de chiffres décimaux : on ajoutera pour cela un nombre convenable de ZÉTOS, si cela est néces-
: 5 saire, Ainsi, pour avoir 0, 3 à moins de ——, on prendra 300 000 qui est 67, d’où y/0,3 20/57:
De même, y 5,7 à moins de = se trouve en prenant 8700, qui est 16, et l’on a 1,8.
Enfin, //3,2178 à moins de + est — — // 3217 7156: 3° Si le nombre proposé est entier, on se contentera de placer, :
près de chaque reste, une tranche de trois zéros, jusqu’à ce qu’on ait obtenu le nombre de chiffres décimaux qu’on désire *,
* Le calcul devient très-iong lorsque la racine est un grand nombre : mais on peut en
RACINES CUBIQUES, 81 Voici le calcul pour / 477 :
etc.
On trouve /2 — 1,289921, /3 — 1,449249.
4° La racine cubique d’une fraction se trouve en prenant celle
de chacun de ses deux termes : }/ + — 5. Mais si ces termes ne sont pas l’un et l’autre des cubes exacts, on prouve, comme n° 65, que la racine est incommensurable, et qu’on n’en peut avoir qu’une
valeur approchée. Si le degré d’approximation est donné d’avance, on opérera comme il vient d'être dit 1°;
/: à moins de ‘est: { X 27) = = (10 2),
valeur comprise entre + et 1, qui sont les résultats demandés. Mais si latiéstiation A demeurer arbitraire, on rendra le dénominateur un cube exact, et l’on approchera de la racine du
numérateur. Pour 5, on prendra > / D a 1 ea HA
— : X 6,2573—0,8939. De même, p/(17 À) ou W/£2 est : / 477 = + X 7,81339 — 2,6044638 …….
Nous ne dirons rien ici sur l'extraction des racines quatrièmes, cinquièmes..…, pour lesquelles on trouverait des méthodes analo-
abréger la partie la plus pénible, qui est la recherche des diviseurs destinés à donner pour quotients les chiffres consécutifs de cette racine : appliquons le procédé à la racine de 477. Supposons qu’on ait déjà trouvé la partie 7,8 de cette racine, et qu'on veuille pousser l’approximation plus loin : il faudra faire 3 X 782; mais on a déjà formé la quantité (3a? + 3ab +- b?) b, en faisant a — 7 dizaines, b — 8 unités, et l’on veut trouver 3a'2 — 3 (a+ b}2 — 3 (a? + 2ab +-b?), quantité qui surpasse 3a? + 3ab +- &? de 3ab + 2b?, Ainsi, à 16444 qui représente le rer trinome, il faut ajouter 3ab, ou 168 dizai- " nes, et 262 ou deux fois 64. Ce calcul est indiqué ci-après. Une fois le diviseur trouvé, on obtient aisément le chiffre des centièmes et le reste, puis le diviseur subséquent par le même procédé, etc. |
477 7,8 343 147 16444 1340 00 169 116400 Si610 1315 52 64 ..2 fois, 128 24 480,00 16444 X 8 18252 = 3 X 78:
MATHÉM, PURES, T, 1, 6
gues aux précédentes; mais nous ferons observer que, d’après ce qu’on a dit, n° 60, lorsque le degré de la racine est le produit de plusieurs facteurs, elle pent se décomroseren racines successives de degrés moindres. Ainsi de 12 — 2 X 2 X 3, on conclut que la racine douzième revient à deux racines carrées et une racine cu-
bique. Pour V 244 140 625, on prendra d’abord la racine cubique qui est 625, puis V4 625 qui est 25, enfin y 25 — 5, qui est la racine douzième cherchée. L’extraction des racines est une opération très-pénible, mais qui sera bientôt rendue facile, par les belles propriétés des logarithmes (n° 67).
