IV. Ontrouve que(a’+-b?) (c? Æ d°) = ac? + be? L ad + bd

ajoutant et retranchant 2abcd, le produit revient à (ac Æ bd) + (ad & bc } :

. L4 \ e. È . , propriélé curieuse qui prouve que le produit est -décomposable de

MULTIPLICATION. 119 deux manières en deux carrés. Ainsi (7? - 22) (10: + 4) — 6148, nombre qui équivaut à (70 + 8? (28 + 20)’; donc 6148 est décomposable en 78 —- 8? et 62? —L 487.

V. Ilest facile d'obtenir la forme du produit dé » facteurs binomes (x —- a) (x <- b) (x +-c)..….; en effet, pour deux ou trois facteurs, on obtient les produits

2 ax + ab a + ax + abx + abc + br + ba + acx + cz — bex Or,il suit du procédé même de la multiplication , que, 1° Les divers termes du produit ne peuvent éprouver de réduction entre eux ; en sorte que les lettres a, b, c.... n’ont ni coefficients numériques, ni exposants.

2° Le premier terme est le produit de tous les premiers termes, et le dernier est le produit de tous lesseconds termes des facteurs : entre ces extrêmes, les exposants de x vont en décroissant d’une unité de terme en terme, et le produit a, en général, la forme

g" L Ag LE Bye Czm—3 .... + abcd.

3° Tous les termes doivent être composés du même nombre » de facteurs, en sorte que le coeflicient À de x”—* ne doit pas contenir les lettres a, b, c...., multipliées entre elles ; que celui B de æ"—2 doit être formé de produits 2 à 2 de ces lettres, ou ab, ac, bc.

4° Si la lettre a entre d’une manière quelconque dans l’un des coefficients 4, B...., toutes les autres lettres b,c.... doivent y entrer de la même manière, pnisque le produit ne doit pas changer en mettant a pour b et b pour a, etc.; donc

A est la somme de tous les seconds termes des binomes ; B estcelle de tous leurs produits différents 2 à 2 ;

C celle de leurs produits différents 3 à 3, etc.

Le dernier terme est le produit de tous les seconds termes.

On ne doit pas négliger les simplifications lorsqu'elles sont possibles. Ainsi, pour (4ab — 2ac) (Gab — 3ac), on voit que le premier facteur équivaut à 2a (2b — c), et le second à 3a (2b — c): le produit est donc 64° (2b — c} ou 6a° (4h? — 4bc + 0°).

Il y a quelquefois de l'avantage à décomposer les produits en » facteurs (la division nous apprendra bientôt à faire ces sortes de

décompositions) : ainsi, pour 3y°z —- 3yz° +- py, + pz, on reconnaît que les deux premiers termes équivalent à 3yz(y 2), et les deux autres à p(y + z); donc on a (3yz + p) X (y +2).

De la Division.

98. Soit a le dividende, #2 le diviseur, q le quotient et r le reste, r étant € m, toute division donne l'équ. (n° 16)

a — mq + r.

Pour diviser un monome par un autre, comme on peut ; sans changer le quotient, diviser par un même nombre le dividende et le diviseur (n°s 15 et 13), on supprimera les lettres communes à ces deux monomes , on soustraira les exposants qui affectent les mêmes lettres, enfin on divisera les coefficients entre eux. On voit d’ailleurs que cette règle est l’inverse de celle dela multiplication (n° 96).

12ab?c 15a°b° Se 61:04 nt aies RAT he Tai = 240ÿ

b° disparaît dans le troisième exemple, parce que les deux termes ont b? pour facteur commun.

Sabc 4ac°de ace?

Sabe ? 6bde * 2bd°” on ne peut pousser le calcul plus loin, et il restera à diviser ace’ par 2bd°, quand on connaîtra les valeurs numériques de a, b, c, d,e. Soit proposé de diviser

20ab5 4a$ — 25ab$ — 4b5 par 2b$ EL 2a$ — 5ab°. |

Le quotient, multiplié par le diviseur, devra reproduire le dividende : si l’on connaissait un terme du produit 20ab° + Lai — … qui résultàt sans réduction de la multiplication d’un terme donné du diviseur par un terme du quotient, une simple division donnerait celui-ci. Or, on sait que les termes où une lettre quelconque, telle que a, a le plus haut exposant dans les deux facteurs, donnent au produit un terme qui ne se réduît avec aucun autre, puisque cette même lettre « y porte également le plus haut exposant, Les termes 4a5 d’une part, et 2a? de l’autre étant dans ce cas, haf est,

le produit exact du terine 2a par le terme du quotient où @& est

4 La! | affecté du plus haut exposant ; ainsi ce terme est; ou 2a. Si lon 20°

multiplie tout le diviseur par 24%, et qu'on retranche da dividende, lereste sera le produit du diviseur par les autres parties du quotient. On est donc conduit à diviser ce reste par le diviseur, afin d'obtenir cesparties, ce qui exige qu'on reproduise le même raisonnement, et qu'on divise encore par 2a° le terme du reste où la lettre a porte le plus haut exposant. ;

Pour éviter l'embarras de démèêler parmi les termes du dividende, celui où & porte le plus haut exposant, ainsi que dans les restes successifs, il est convenable d'ordonner le dividende et le diviseur ; c’est-à-dire de placer, comme on le voit ici, au premier rang , le terme où a porte le plus haut exposant ; au second rang, le terme où a porte l'exposantimmédiatement moindre, etainside suite.

4a$ — 925a°?b4 + 20ab5 — 4b$ 9a3 — 5ab? +- 2b° — Aa + 10ab? — 4a$b3 : 243 ae 5ab? — 2b3 er reste . . +- 10a4b? — 925a?b4 — 4a3b35 + 20ab5 — 406$ — 10a4b? + 95a2b4 — 10ab5 de reste". , / .. /. — “#%a°D3 4104b5 — 4D6

+ 4a3b3 — 10ab° + 4b$ OR Net, Ne CURE 0 À

On voit qu'après avoir divisé 4af par 2a°, on a muultiplié tout le diviseur par le quotient partiel 24°, et retranché le produit du dividende, ce qui a donné un premier reste. On a divisé de nouveau par 2a* le terme 104ib?, où la lettre a porte, dansle reste, le plus fort exposant, ce qui donne'+- 5ab° pour second terme du quotient. On à ensuite multiplié le diviseur par ce terme + 5ab°; on a retranché du premier reste, ce qui a donné un second reste. Enfin, — a°b5 : 2aÿ — — 2h à complété le quotient parce qu'on n’a plus trouvé de reste. :

Lorsqu'on est conduit, comme ci-dessus, à diviser des termes qui ont pour signes, l’un —, l’autre —, on donne au quotient le signe —, afin que, dans la multiplication , on reptoduise le premier terme du dividende avec son signe. Si les termes à diviser eussent été négatifs l’un et l’autre, le quotient aurait eu le signe +. Il faut prendre ceci simplement comme un fait de calcul, sans chercher à expliquer ce que peut signifier la division de deux termes qui ne sont pas positifs ensemble ; en effet, il ne s'agit icique de

trouver un système de termes qui, multiplié par le diviseur , d’après les règles connues, reproduise le dividende.

Concluons de là que, pour diviser deux polynomes, on les ordonnera par rapport à une même lettre; on divisera le premier terme du dividende par le premier du diviseur, et l’on aura un terme du quotient; on multipliera ce terme par le diviseur, et on retranchera du dividende : puis l’on traitera le reste de la même manière. On pratiquera , pour les divisions partielles, la règle des signes de la multiplication. Enfin, on poussera l'opération jusqu'à ce que la lettre suivant laquelle on a ordonné, ait dans le reste un exposant moindre que dans le diviseur.

Il est bien entendu qu’on pourrait ordonner par rapport à b, ou toute autre lettre commune aux deux facteurs, et même dire du plus petit exposant d’une lettre tont ce que nous avons dit du plus grand,