Nous inettrons ici deux autres exemples de division
6ah + 4a3b — 9a?b? — 3ab3 + 92b4 Dati 000 -— D
Te IE: 3 2 ER 2 AE AP AU RE 5 |.
6a Gab + 3a°b? 3a? — ab — 2b?
4er reste. . . — %a3b — 6a?b? — 3ab3 -x- 2h + 2a°b 3-2a?b? —: ab3 2eréste;s, Le 0, AG D" Mt F0"
+ 4a°b? + 4ab3 — 2b4 Degree. pue) (9e ee
as —bp5 (= — b a HE ä ns D NON PAU ah + ab + a°b? + ab + b* ‘4er reste. ab — b5 — ab + a3b?
2e reste . = 2°. ab? — b° n A ab? + a°b3 3e reste. . . LC] [2 . . . ab er b5 — a°b3 + ab 4e reste. . a . . . abi ST b° e — abñ + b5 DO PORIE Du TT LUS te à 2 0
En suivant avec attention la marche de la dernière division , on voit que si l’on divise a" — bm par a — b, les exposants de a doivent diminuer, et ceux de b croître d'une unité dans chaque reste et dans chaque quotient; les restes sont donc des binomes dont le 1°" terme est successivement 4”-1b, a”-2h.... Lorsqu'on arrive au reste ab"? — b", la division par (a — b) donne le quotient …
exact b"—*, en sorte que a” — b" est divisible sans reste par (&—b), et l'on a
am ah 4 ab nn, bn, Sib= 1, = at a 2hani tu al.
Au reste , il est facile de prouver la vérité de ces équations en multipliant les seconds membres par les dénominateurs a — b, a — 1, parce qu'on reproduit sdentiquement les numérateurs
Quand on divise a par 1 — x, l'opération n'a pas de fin, et l'on
trouve ce quotient indéfini
Ti — = at o ta tet..).
On peut donc regarder le 1° membre comme la somme des termes du 2°; cette fraction est la somme d'une progression par quotient, qui s'étend à l'infini, dont a est le 1er terme et x la raison. Si l’on a, par exemple, == 2°=+75°....savoir, a=—2etz —",1—1—"À
Que na 7 3?
on trouve 2 : = ou 3, pour la somme de cette suite prolongée à l’infini. De même, +
(1 + = cuits 2...) $,parcequea —+,æ7—;:
‘a e: 2 Enfin, 5 (1 — dos dre tu faisant a — *, La fraction décimale périodique 0,[ 54 ] revient à 5 54 — 54 100 EME à 0e oi NUE (=)... ]=<,
en faisant a— +, 7 —
FE
ss. En général, si pest la période composée de n chiffres, cette fraction est, comme n° 53,
1 ss : nn Le D F Le re 10” EP ET 7
Faisons a = 1 et x — À; il vient — 2 = 1 LiLS LR... On ne conçoit pas d’abord comment, en ajoutant des termes sans cesse croissants et positifs, on pourra trouver — 2 pour somme. Mais en poussant la division de a par 1 — x, jusqu'à 4 termes seulement, on a le reste ax#, en sorte que le quotient exact est a (i+etr+et
1 — x présentant la somme de tous les autres termes Juan l'infini. Mais cette fraction devient — =, en faisant a = 1 etxr —*; ainsi , lors-
j cette dernière fraction re-
qu’on n’a égard qu'aux premiers termes, ceux qu’on néglige forment une somme négative plus grande que la partie qu'on prend : les deux parties réunies sont ici 1 H- ?E ? L 2 — £, qui se réduit au 1er membre — 2.
Ce paradoxe vient donc de ce qu'on ne peut regarder les » premiers termes comme une partie plus ou moins grande de la Somme,
n 1 — x le nombre n des termes conservés s'accroît ; il faut donc que x < 1.
On dit qu'une série est convergente quand les termes vont ainsi en décroissant de plus en plus (voy. n° 618).
qu'autant que va sans cesse en diminuant, à mesure que
100. On rencontre une difficulté de laquelle il est bon d'être prévenu : lorsqu'il y a plusieurs termes où la lettre suivant laquelle on a ordonné porte le nième exposant, quel est celui qui doit être écrit le premier, et que devient alors la démonstration que nous avons donnée? Avec une légère attention, on verra qu'il suffit de mettre dans les termes dont il s’agit, la lettre avec son exposant en facteur commun, et, entre des parenthèses, la quantité qu’elle multiplie. On doit regarder alors cet assemblage eomme ne formant . qu'un seul terme. Si l’on a, par exemple, 4a4b° — hañbc + ac, on écrira a4 (4b° — 4bc ES ce), qu'on regardera comme n'étant qu'un seul terme. |
Un exemple fera voir plus clairement la marche qu'on doit suivre.
(4b2—1bc+c?)ai—( b2+2bc+c2)a?b?+{ b+c)2abi— 16 (2b—c)a?—(b+c)ab+-b3 —(4b2— 4bc+c°)ah+(2b —C)(b+4-€) ab — —(2b—c) a2b3 dE 2b—c)a?+(b+-c)ab —bà
(20 —c)(b+c)aib—(5h2+ bc+-c2)a2b?+{( b+-c)2ab4—b6 —(2b —c)(b+-chaib+( b2+-2bc-+-c2)a2b? —-{ b+-c) ab
—(2b—c it Bay b+-c) ab4—bt +(20—0c ab? —( b+c) ab'+h6 Ô
Des Fractions et Communs Diviseurs.
107. Tout ce qui a été dit (pages 39, 40) sur les fractions numériques, doit se dire aussi des algébriques. Ainsi
Gniluux | gd sit | "APT 5 désigne que l'unité est partagée en b parties, et qu'on en
. a LA LÀ prend a ; en sorte que le produit 5 X best le nnmérateur a {n° 37) ;
| , a 2° Quel que soit, on a MTS (n° 38) ; .4 c au Dos 4 | a “Em 3 5 dm” loc ARS © MMS me cu er A nn
Le signe + s'énonce plus ou moins ; il indique qu'on doit prendre le signe supérieur dans les deux membres, ou, si lon veut, l'inférieur dans l'un et l'autre.
(4 ac a a a C ac
PORT ST pos RO AA NNENTE b
( Gite =) ( m+?) CROP AC er (nos 40, 41) :
C q cq d
M res por 4 pl 2 A a ,C ad FRERE 7e TP ROMAIN AN 7: IP RE
( a se ) , ( m +?) __q (ac + b) (nos 41, 42). Q q c (mq + p) |
102. Cherchons le plus grand commun diviseur D de deux polynomes 4 et B : on nomme ainsi une expression qui divise exactement ces polynomes, et telle, que les deux quotients n’admettent plus aucun diviseur commun,
I. Si 4 et 3 sont divisibles par D, ils sont de la forme 4 —Dx, B = Dy; or, en divisant 4 par B, et désignant le quotient par q et le reste par #, on a l'équation
R A= Bj +R, d'où Dr = Dy +R = y+,
en divisant l'équation par D : ainsi À doit aussi être divisible par D, et de la forme R — Dz, ce qui donne x — yq +- 3. Tous les diviseurs communs à À et B le sont aussidu reste R de la division de À par B.
Maintenant supposons que D soit le plus grand diviseur commun de 4 et B, c'est-à-dire que x et y n’aient aucun facteur commun, H s’ensuit que y et z n’en auront pas non plus ; car s'ils en avaient un, On prouveraitde même que ce facteur diviserait x, et que xetyne seraient pas premiers entre eux. Donc le plus grand commun diviseur de À et B, est aussi celui de B et du reste R de leur division. C’est cc
qu'onavu n° 23.
II, Si l’on multiplie ou divise À par une quantité qui soit première avec B, le plus grand commun diviseur demeurera le même. Car soient A et B dela forme 4 = Dx, B —Dy, x et y étant premiers entre eux; ilest visible que Dsera encore le plus grand diviseur commun, si l’on supprime #,.ou y, Ou seulement quelqu'un de leurs facteurs, comme | aussi si l’on multiplie À par une quantité 3 qui soit première avec B.
IT. Si un polynome À , ordonné par rapport à à , est divisible par une quantité F indépendante de a, les coefficients de chaque puissance de cette lettre a doivent en particulier être divisibles par F. En effet, soit Ma” + Haï +....,le quotient de À divisé par 7, on a donc A = FMa" + FHat +....;0r F'ne contenant pas &, il ne peut s’opérer de réduction d’un terme à l’autre. Donc chaque coefhcient conserve le facteur F.
Voici l'usage de ces théorèmes. Si, par la méthode que nous allons exposer, on cherche le plus grand commun diviseur entre deux quelconques des coefficients de 4, puis entre ce diviseur et quelque autre coefficient de 4, et ainsi de suite pour tous les coefficients, il est clair que si 4 à un facteur F indépendant de a, comme il devra l'être de chaque terme en particulier, on obtiendra ainsi ce diviseur commun F indépendant de a, et l'on aura 4 — F4’, 4’ étant un polynome connu, qui n’admettra plus de facteur sans a. Le même calcul mettra en évidence dans B Île facteur F’ indépendant de a, s'il en existe un, et l’on aura B— F"B;. |
Or, le plus grand diviseur Æ, entre F'et F", est le facteur indépendant de a, qui est commun entre 4 et B : c'est-à-dire que si le plus grand commun diviseur cherché entre 4 et B, est le produit OK de deux facteurs, l’un Q contenant a, l’autre À sans a, on sera parvenu à connaître ce dernier, et il ne restera plus qu'à trouver Q, qui ne peut être divisible par un facteur indépendant de a. Une fois X connu, on aura donc F= Ka, F= KB, d'où A=KA'ax, B— KB'B; Ôtant le facteur X, © sera le plus grand commun diviseur entre A'xet B'B, ou plutôt entre 4° et B”, puisqu'on peut supprimer | a et B(IT).
Concluons de là, qu'après avoir trouvé les facteurs F et F’ indépendants de a, où communs à tous les termes, l’un de 4, l’autre de B, on supprimera ces facteurs, ce quirendra les polynomes plus simples, tels que 4’ et B”°; mais on mettra à part le facteur X, commun à F'et F”’; on cherchera le plus grand commun diviseur
