FACTEURS COMMUNS
Q entre 4’ et B', et on le multipliera par X ; XQ sera celui qu’on demande.
Procédons maintenant à la recherche du facteur Q dépendant de a. |
Comme le quotient q de 4’ divisé par B” doit nécessairement être entier, il ne suffit pas ici de procéder comme on l’a fait sur les nombres. Après avoir ordonné les polynomes, ils deviendront
AS IMPR OROPETE Be EN CNT A EE N:
On divisera le premier terme Ma” par le premier Va” ; or, si N contient quelque facteur « qui ne divise pas F7, le quotient n’est pas entier. Pour éviter cette difliculté, comme on admet qu’on a délivré B" de tous les facteurs communs indépendants de 4, « n’est pas diviseur de 2”, et l’on a le droit de multiplier 4’ en totalité par & : alors M deviendra Ma, divisible par ÆV. Ainsi, les deux premiers termes seront toujours réduits à l’état convenable pour que la division soit possible , parce qu'on aura Ôté de AV, ou introduit dans Y, les facteurs qui s'opposaient à la division exacte. On aura soin de faire une semblable opération sur chacune des divisions subséquentes qu’exige le théorème, afin de rendre tous les quotients entiers.
Soient, par exemple, les polynomes
8Ga’cd — 120abcd —- 100b°cd, et 36aŸc — Ga’bc — IJOab°c.
Le commun diviseur entre 120abcd et 100b°cd est 20bcd'; entre 20bcd et 36æcd, 1 est 4cd, On obtient de même 6ac pour facteur commun de tous les termes du second polynome. Supprimant ces facteurs, les proposés se réduisent à
Oa? — 30ab + 25h, et Ga — ab — 15h.
Mais comme 4cd et 6ac ont 2c pour diviseur, on réservera 2c pour multiplier le commun diviseur entre les polynomes réduits : 2e est le facteur indépendant de a. Voici la fin du calcul :
9a? — 50ab + 25b2 Ga? — ab — 15h? 3a — 5b comm. divis. 18a%=—" 6000 "+ 508? }je quot. 5 2a + 50
Reste — 57ab + 95b2 2e reste 9Jab — 15b2 ou — 19b(3a — 5b) 0
On voit que la division de 9a° par 64? ne pouvant se faire exacte-
128 CALÇCULS ALGÉBRIQUES.
ment , il a fallu multiplier la totalité du dividende par 2 ; après quoi le quotient 3 a conduit au reste — 57ab + 95b°, et la question est réduite à trouver le plus grand facteur commun entre ce binome et le diviseur; il faut donc réitérer les calculs de préparation sur l'un et l’autre. Or, on trouve que le binome a — 19h pour facteur, qu'il faut supprimer; et, comme la division par (3a — 5b) réussit, le plus grand diviseur commun cherché est 2c (3a — 5b) ou Gac — 10bc.
Soit proposé de réduire à sa plus simple expression la fraction Gaÿ — Ga? y + 2ay° — 2y°
12a° — 15ay + 8yÿ | 2 et 3 pour facteurs qu'on peut ôter sans changer le plus grand facteur commun des deux termes : le diviseur sera réduit à Aa — Bay + y, et le premier terme du dividende à 3a*. Pour rendre la division exacte, il faudra multiplier par 4, c’est-à-dire doubler le numérateur ; ainsi, il faut chercher le plus grand commun -diviseur de 1243 — 12a°y + 4ay® — hf et ka — bay + y.
Une première division donne le quotient $a et le reste 8a°y + ay — 4y3. Pour rendre de nouveau la division possible, on multipliera ce reste par À ; on pourra aussi supprimer le facteur y; et le dividende deviendra 124? + 4ay — 16y°.
Une seconde division conduit au reste 19ay — 19y°, qui doit être pris pour diviseur de ka — 5ay — y. On supprimera les facteurs 19 et y dans ce diviseur, qui devient a — y, et qui divise exactement; « — y est donc le plus grand commun divi-
: ces polynomes ont respectivement
î ; “énea/rtt6a dy?
seur cherché. La fraction proposée se réduit à (Gatnsage 124 — 5y Voici le calcul :
1243 — 12a2y + 4472 — 47} 4€ — 50 + Y? 19ay — 19r° + Say +047 — AN À 55 Ha Li a — y comm.divis, 12a + 4ay — 167? 7 Chr -2 Ag "# 19ay tu 1972? ROUTE Che AL AR Ld
En cherchant le plus grand diviseur des deux termes , qui est 24? + 2ab — b?, on verra de même que la fraction |
Lah — ab? Æ Lab — bi 2e — 2ab + Gak — ab — Jah — 3ab$ — 2bi 80 -—Na eu
5ha°h — 24b°
ab LE S3ab — abs + 6h? le facteur com-
Pour la fraction
