CHAPITRE IT

Premier Degré à une seule inconnue.

104. Le degré d’une équation est marqué par la plus haute, puissance de l'inconnue qu’elle renferme : #, y, 3, « + «+. + désigneront les inconnues ; a, b, c ,....les données. Ainsi, ax + b —= cx est du premier degré; ax° + dx = c est du second; a L qx° = r est du troisième, etc. |

Pour résoudre un problème proposé, il faut d’abord exprimer, par une équation, les conditions qui lient les données aux incon+ nues : cette traduction du problème en langage algébrique une fois faite, il faut résoudre l'équation , c’est-à-dire dégager l'inconnue de tout ce qui l’affecte, et l’amener à la forme x = 4; A est la valeur cherchée.

Par exemple, un père a 4 fois l’âge de son fils, la somme des deux âges est 45 ans : quel est l'âge de chacun? Soit x l'âge du fils, 4x sera celui du père; ainsi, z + 4x doit faire 45 ans, d’où 5% —45, Telle est l'équation qui, dans notre problème, exprime la liaison de l’inconnue aux quantités données 5 et 45. Il faut maintenant résoudre cette équation, ce qui se fait en divisant le produit 45 par B; le quotient 9 est l’autre facteur (n° 5); x = 9 donne 9 ans pour l’âge « du fils, et 36 ans pour celui du père.

On voit ici bien distinctement les deux difficultés qu'offre tout problème : 1° poser l’équation, 2° la résoudre. Nous traiterons ces deux sujets, en commençant par le second.

105. L'inconnue ne peut être engagée dans une équation du. premier degré, que par addition, soustraction, multiplication et division. Voici les règles qu'il faut pratiquer pour la dégager:

I. Si l’inconnue a quelques coefficients fractionnaires , multipliez toute l’équation par le nombre qui serait dénominateur commun (n° 38, 1° et 2°). Cette opération, sans altérer l'équation, fera disparaître les diviseurs. Cela revient à réduire tout au même dénominateur, puis à le supprimer. Soit, par exemple, d

2 PE + cure LEUR LE NE D: Ron éeane ES | Lx + 5x 20 — 57 = i« = % 8.

A UNE SEULE INCONNUE, e 151

En multipliant tout par 12, cette équation devient 8x + 6x — 240 — 97 — 9x — » — 96, qui se réduit à 12x — 240 — 8x — 96.

IL, On réunira tous les termes inconnus dans l’un des membres, et les quantités connues dans l’autre, en donnant un signe contraire aux termes qui changent de membre; c'est ce qu'on appelle transposer. Ainsi , notre exemple deviendra 12%—8x—240—96, ou 4x — 144. On voit en effet qu’en effaçant 240 du premier membre 12x — 240, ce qui le réduit à 12r, on l'augmente de 240; pour ne point troubler l'égalité, il faut donc ajouter 240 au second membre. Pareillement , en supprimant 8x, on diminue de 8x le second membre; il faut donc aussi retrancher 8x du premier.

IT. L’équation, d’après ces deux règles, sera amenée à la forme

ax = b ; bestle produit de a multiplié par # (n° 5) ; en divisant b b

par a, le quotient donnera donc x ; ainsi, x = —. a

Donc, pour dégager l’inconnue de son coefficient, il faut diviser toute l’équation par ce coefficient.

FT de 144 C'est ainsi que l'équ. 4x — 144, donne x — We 36; ce nombre résout l’équ. que nous nous étions proposée ci-dessus, c’est-àdire que les deux membres seront égaux, si l’on met partout 36

pour x: c’est ce qu’on vérifie aisément, car on à 24 + 16 — 20 — 6 — 27 + 3 — 8 — 16.

IV, Une équation du premier degré n’admet qu’une solution ; car on

peut toujours la mettre sous la forme (n° 107) ax +- b = cx + d: or, si æ pouvait avoir deux valeurs # et B, on aurait les équations

ax + b = ca + d, ab + b = cB + d,

ét retranchant, on trouverait a (4 — B) = © (a — B), équ. quire-

| wient à (a — €) (« — B)== 0, et ne peut être satisfaite à moins qu’on

| aita= B, puisque a etc sont donnés et inégaux.

Voici plusieurs exemples de ces diverses règles : 9*

152 ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ 1° ns + = om —= px + = — n; supprimant la fraction

cz ax — commune aux deux membres, on a 5 Lm= pr + n;rul-

tipliant tout par b, il vient ax - bm —= bpx — bn; transposant bm et bpx, on a ax — bpxr — bn — bm, ou æ (a — bp) —=b(n — m); en divisant par «a — bp, il vient enfin Las, D pe ” (n m) a — bp

20 x — 90 + 5x 5x — 82; transposant, on trouve

S xx — ix — 90 — 82, qui se réduit à $r — ir — 8;

multipliant l'équation par 15, on obtient 187 — 10r = 8 X 15, ou 8x — 8 . 15, et enfin x — 15.

80 ?æ+9— x — 10 donne 9410 = 5x —; x, et multipliant ke. 91. il vient 19 KX 21 — 7x — 67, d'où x — 19. 21 — 399.

4° Enfin, ré équation £x — 40 — ?x — 60 — 1x donne . . . 2x—ÿix+75ax—100; on BR 0 X 4 X 5, ou 180, et l’on obtient 40x — 45x + 252x — 180 X 100, ou 247 x — 18000 : donc, z == 72,8745.

106. Venons-en maintenant à la principale difficulté, qui consiste à poser le problème en équ. Pour cela, on examinera attentivement. l'état de la question pour en bien comprendre le sens ; et donnant, au hasard, une valeur à l’inconnue, on soumettra ce nombre à tous les calculs nécessaires pour s'assurer s’il convient ou non.On connaïtra ainsi la suite des opérations numériques qu'il faut faire subir au nombre cherché, lorsqu'il est trouvé, pour vérifier s’il convient en effet au problème. Enfin on fera, à l’aide des signes algébriques, sur æ représentant l'inconnue, toutes ces mêmes opérations, et l'équ. sera posée. |

I. Soit, par exemple, demandé quelle était la dette d’un homme qui, après en avoir acquitté la moitié une première fois, le tiers une seconde, le douzième une autre fois, se trouve ne plus devoir que 630 fr.

Supposons que cet homme devait 1200 fr.; la moitié est 600; Je tiers, 400 ; le douzième, 100 : il a donc payé 1100 fr. ; mais il redoit encore 630 ; donc il devait en tout 1100 -L 630, ou 1730 fr., et non pas 1200 fr. comme on l'a supposé. Ainsi, cette hypothèse

est fausse ; mais il en résulte une suite de calculs qu’on pratiquera aisément sur +, et qui donnera

Le reste n'a plus de difficulté; en multipliant par 12, a12v = 6% + 4x x 7860 — 11% + 7560 ; d’où x — 7860 fr. ; c'est le nombre cherché, ainsi qu’on peut s'en assurer.

Notre règle, pour poser un problème en équation, consiste done à faire subir à x toutes les opérations qu'on fera sur le nombre cherché, lorsque après l'avoir trouvé, on voudra vérifier s’il répond en effet à la question.

La valeur arbitraire attribuée à l’inconnue ne sert qe mettre ces calculs en évidence, et l’usage apprend bientôt à s'en passer. Voici divers autres problèmes:

II. Quel est le nombre dont le tiers et le quart ajoutés ensemble font 63? Soit x ce nombre, = en sera le tiers, 2x le quart;

donc, + x + ir = — ST 5 ape 63; cette équation se réduit à

73 = 12.63, d'où x = ET = 12.9 — 108.

Remarquons que, pour obtenir le nombre dont le cinquième et

le sixième ajoutés forment 22 , il faut recommencer de nouveau “ 4 e. » ’ LL . T T à poser l'équation, puis la résoudre; on a ainsi — + = — 22;

5 6 d’où 11r— 30.22 et x — 30.2 — 60.

Si donc on veut résoudre à la fois ces deux problèmes, et tous ceux qui n’en diffèrent que par des valeurs numériques, il faut remplacer ces nombres par des signes 4, b, c.... propres à représenter toutes valeurs, puis résoudre cette question : Quel est le nombre qui, divisé par a etb, donne s pour somme des quotients? On trouve abs

Cette expression n’est pas, à proprement parler, la valeur de l'inconnue dans nos problèmes; mais elle offre le tableau des calculs qui les résolvent tous. On donne le nom de formule à cette expression. Cette formule montre qu'on a Finconnue en multipliant les

T T “ —+—=s, d’où z — a b

trois nombres que renferme la question, et divisant ce produit abs par la somme a +- b des deux diviseurs; où plutôt notre formule n’est qu'une manière abrégée d'écrire cet énoncé. L’algèbre n’est donc qu’une langue destinée à exprimer les raisonnements, et qu'il faut savoir lire et écrire.

Tel est l'avantage qu'offre cette formule, que l’algébriste le plus expert, et l'arithméticien le moins intelligent, peuvent maintenant résoudre l’un et-l’autre le problème. Mais ce dernier n'y parviendra qu’en s’abandonnant à une routine aveugle ; d’ailleurs les diverses questions exigent des formules différentes, et l'algébriste a seul le secret de les obtenir. On voit par là pourquoi quelques personnes calculent souvent avec une facilité surprenante sans comprendre ce qu’elles font, quoiqu’elles sachent trouver exactement les résultats.

IIT. La sonme des âges de deux frères est 57 ans, l'aîné a 7 ans de plus que l’autre : on demande l’âge de chacun. Soit x l'âge du plus jeune, # + 7 est celui de l'ainé; il faut donc que x ajouté à æ + 7 donne 57; d'où 2x +7 = 87 et x — 25 : le plus jeune a 25 ans, l’aîiné 382 ans.

En examinant l’énoncé de cette question #il sera facile de reconnaître qu’elle renferme des circonstances inutiles : elle se réduit, visiblement à la recherche de deux nombres dont la somme est 57 et la différence 7. En général , il convient de dépouiller les questions de tout appareil étranger, qui ne peut qu’obscurcir les idées, et faire perdre la liaison des quantités. C’est un tact particulier qu'on doit à l'exercice ; ni maîtres, ni livres, ne peuvent donner la sagacité nécessaire pour démèêler, dans l’énoncé, ce qui est indispensable ou inutile. (

Pour généraliser le problème précédent ; cherchons les deux nombres qui ont s pour somme, et A pour différence. Soit x le plus petit; æ us d'est le plus grand; donc, ajoutant x + (x EL d) —s; d'où 2r = s — d, etæ — ?(s — d). C’est le plus petit des nombres cherchés; le plus grand estx d,ou<(s—d)+d—21(s- d).Done,

T—=$(s—d), v+d=+(s + d) sont les nombres qui répondent à la question. On prendra la moitié de la somme, et la moitié de la différence données; on aura le plus grand en ajoutant ces deux moitiés, et le plus petit en les retranchant l’une de l’autre.

Une maison composée de deux étages a 15 mètres de haut : le

premier est plus élevé que le second de 1 mètre ; on demande la hauteur de chaque étage. 7 ; et = sont les moitiés des nombres donnés : ainsi, 7 + — +, ou 8 mètres, est la hauteur du premier étage; 7 = — =, ou 7 mètres, est celle du second.

IV. Partager un nombre « en deux parties qui soient entre elles comme #” est à n ? x étant l’une des parties, pour avoir l’autre, on

; nr 4 ; pose la proportion m : n :!:æ : —; la somme de ces parties m

ma mn * Pour partager a en trois parties qui soient entre elles :° # ! …n : p,

: nx z æ étant l’une , — et 1° seront les deux autres : done | mi m

4 nv à étant a, on a x + — — a; d'où x — mn

ma

mn Fr

nr T = LES, d'où x — mn

2 + (voyez la règle de société, n° 79).

V. Un père a 40 ans, son fils en a 12 ; on demande dans quel temps le père aura le triple de l’âge du fils. Dans x années, le père aura 40 + x ans, et le fils 12 + x;or, 40 Æ x doit être le triple de 12 x ; ainsi,

40 E x — 36 EL 3»; d'où x = 2.

mn

VI. Plusieurs associés, que je nommerai 4, B, C....., font un bénéfice ; et conformément à leurs conventions, 4 prend sur la masse commune 10 louis, et le 6° du reste; B prend à son tour 20 louis, et le 6° du reste; C en prend 30, et le 6° du reste, ainsi de suite jusqu’au dernier, qui prend ce qui reste. Le partage fait, chacun a une somme égale ; on demande la masse, le nombre

des associés et la part de chacun.

Quoiqu'il y ait ici trois inconnues, un peu d'attention fait reconnaître que si la masse x était trouvée, en effectuant le partage, on aurait bientôt les deux autres ; ainsi, le problème peut être traité

comme s'il n'y avait qu'une inconnue r.

Puisque 4 prend 10 louis, il reste 3 — 10, dont le 6° est . TE : ;

PE 50 sa part est donc 10 A ou us

æ + 50 5x — 170 ans

B prend 20 ; le reste est x — , dont

l5z — 170 5x — 170 le 6e est ——; la part de B est donc 20 + SG

: + 2e Puisque ces deux parts doivent être égales, on à

ER LEE à ou Gr 4800 5x 550 ; d'où r=—250.

æ + 50 ou 50 ; divisant 250 par 50,on trouve 5 pour le nombre des associés.

VII. Avec un nombre a de cartes, on forme b tas, composés chacun de c points : la première des cartes de chaque tas est comptée pour 11 points, si elle est un as; 10 si elle est une figure ou un dix... etc. Les autres cartes du même tas ne valent qu’un point. Ces tas formés, on vous remet d cartes qui restent, et l’on demande la somme x des points formés par les seules cartes qui commencent chacun des tas.

Le nombre des points de chaque tas, multiplié par celui des tas, ou bc, est le nombre total des points ; si de ce nombre on retranche les cartes qui ne comptent que pour un point, lereste sera = x. Or, le nombre de ces cartes est a — d — le nombre b des cartes qui comptent pour plus d’un point. Ainsi, += bc — (a — d — b), ou x = b(c+-1)+Ld— a.

Si l’on a 82 cartes, qu'on fasse trois tas de 12 points, on aura x = d+47. ;

VIII. Lorsqu'on a obtenu une formule qui exprime en lettres l'inconnue d'un problème, en regardant à son tour cette inconnue comme donnée, et quelqu’une des données comme inconnue, il suffit de résoudre la même équation par rapport à cette dernière, pour obtenir la solution du nouveau problème auquel ce changement d'inconnue donne lieu. En général, dans toute équation, on peut prendre pour inconnue celle qu’on veut des lettres qui y entrent. Il n’est donc plus nécessaire de distinguer les éléments d’un problème en données et inconnues : on exprime par une équation la relation de ces diverses quantités, et l’on regarde ensuite comme inconnue celle de ces lettres qu’on juge à propos. Gette remarque tend à faciliter la résolution des problèmes où l’inconnue est engagée d'une manière embarrassante. Voici un exemple assez compliqué auquel ces considérations peuvent s'appliquer :

La mévinique enseione que les temps #, # , des oscillations de