OU

La masse étant formée de 250 louis, la part de chacun est

deux pendules sontcomme les racines carrées de leurs longueurs £, #, comptées du point de suspension au centre d’oscillation , ou ET: V1 ‘ V/l'; connaissant trois de ces quantités, on tire la 4° de l'équation l’#= #?, Mais un pendule fait d'autant plus de vibrations qu’il va plus vite; les nombres » et »’ d’oscillations faites dans la même durée quelconque, par les deux pendules / et /', sont donc en raison inverse des temps de chacune, # : #’!! n°: n; donc

NN. VE. VAR ny ll'=ny li.

Or, l'expérience apprend qu’à Paris, dans le vide, le pendule à secondes (celui qui bat 60 coups par minute, ou 86400 coups par 24 heures moyennes), a pour longueur

l — 0,9938267 mètres, log / — 1,9973106, Li ou ! — 36,713285 pouces, log / — 1,5646232.

il est donc bien facile d'évaluer la quotité n’ d’oscillations faites dans un temps donné par un pendule connu , ou réciproquement de trouver la longueur /’ d’un pendule, connaissant le nombre n’ de ses vibrations dans une durée déterminée. Car le second membre de notre équation est connu , et il ne s’agit que de trouver l’un des nombres /’ ou n’. Le calcul des log. facilite l'opération.

Par exemple, quelle est la longueur d'un pendule qui bat 100 000 oscillations en 24

re log À — 4,9365137 heures ? On a l'équation ! = —-, où double — 9,8750274 £ log /— 1,9973106

n — 86400, n'— 100 000 ; le calcul ci-çontre 10 donne/’en mètres; c’est lalongueurdupendule log / — 1,8703380 qui batles secondes,quand on divisele jour en l'— 0",7418875

dix heures, l'heure en 100’, la minute en 100”.

IX. 4 et Bse sont mis au jeu chacun avecunesommie égale : la perte de À est 12 fr. ; celle de B, 57 fr.; par la, B n’a plus que le quart de ce quireste à 4#.Combienchacun avait-ilavant le jeu? Réponse, 72fr.

X. Si l'on doublait le nombre de mes écus, dit un homme, j'en donnerais 8; on accomplit ce souhait trois fois consécutives, et il ne lui reste rien : combien cet homine ayait-il d'écus? Réponse, 7.

XI. Quel est le nombre qui, divisé par a et b, donne deux quo-

abd b — a

XL. Trouver un nombre dont le produit de ses 2 parties égales

tients qui ont d pour différence? On trouve x =

soit le même que celui de ses » — 1 parties égales (le produit des 3tiers égal, par exemple, à celui des 4 quarts). On a | m lyrte

A PRÉ Le ae

XIIT, Un chasseur promet à un autre de lui donner b fr. toutes les fois qu’il manquera une pièce de gibier, pourvu que celui-ci donne c fr. chaque fois qu’il l’atteindra. Après # coups de fusil, ou les deux chasseurs ne se doivent rien , ou le premier doit d au second , ou le contraire a lieu : on demande une formule propre à ces trois cas, et qui fasse connaitre le nombre + de coups manqués.

Le gain est c fois le nombre n — x des coups heureux, la perte est

b fois +; d’où bx — cn — x) =E d.

on + d b + c signe supérieur dans le 2°, et l'inférieur dans le 3e.

XIV. Une fontaine emplit un réservoir en un nombre d'heures désigné par h ; une autre peut le remplir en k’ heures ; on demande combien ces fontaines mettraient de temps en coulant ensemble ?

hh’ ; Réponse, x — OCR On résoudra facilement le problème pour plus de deux fontaines, même en admettant que le réservoir se vide.

(voy. IV, p. 89).

On trouve + — ; d'est nul dans le 1 cas; on prend le

Remarques sur les Equations du premier degré.

107. Les formules algébriques ne peuvent offrir d'idée nette à l'esprit qu’autant qu’elles représentent une suite de calculs numériques dont l'exécution est possible. Ainsi, la quantité isolée b — a ne peut signifier qu'une chose absurde lorsque a est > b. Il convient donc de reprendre les calculs précédents, parce qu’ils offrent quelquefois cette difficulté.

Toute équation du premier degré peut être ramenée à avoir ses signes tous positifs, telle que *

ax + b= cz + d se us corps up

* On changera les termes négatifs de membre, ce qui sera toujours possible, puisque rien n'empêche d’ajouter aux deux membres une même quantité. On ne pourrait pas la soustraire dans tous les cas, puisqu'il faudrait que les deux membres fussent plus grands que celte quantité soustractive.

dE main ia A das PE do où

Retranchons ex + b de part et d'autre, il viendra ax —cx=d—b, d’où | TT 9, a — CC.

. Cela posé, il se présente trois cas : 1° ou d > beta >c; 2° ou l’une de ces conditions a seule lieu; 3° ou enfin b 5 detce > a. Dans le premier cas, la valeur (2) résout le problème ; dans les deux derniers, on ne sait plus quel sens on doit attacher à la valeur de x, et c'est ce qu'il faut examiner.

= Dans le deuxième cas, l’une des soustractions d — b, a — 0, est impossible : soit, par exemple, b © d'eta © c;il est clair que la proposée (1) est absurde, puisque les deux termes ax et b du premier membre sont respectivement plus grands que ceux ex et d du second. Ainsi, lorsque cette difficulté se présentera, on sera assuré que le problème est absurde, puisque l’équ. n’en est que la traduction fidèle en langage algébrique.

Le troisième cas a lieu lorsque b © detc © a; alors on a deux soustractions impossibles : mais nous avons Ôté cx + b des deux membres de l'équation (1) afin de la résoudre, ce qui était manifestement impossible, puisque chacun est <[ ex + b. Ce calcul étant vicieux, nous Ôôterons ax - d de part et d'autre, et il viendra

bd = cx — ax, d'où Pi qe ol Re REPAS

Cette valeur, comparée à (2), n’en diffère que parce que lessignes sont changés hautet bas; elle ne présente plus d’obseurité, On voit donc que lorsque ce troisième cas se rencontre , il annonce qu’au lieu de passer tous les termes inconnus dans le premier membre, il aurait fallu les mettre dans le second : et il n’est pas nécessaire, pour rectifier cette erreur, de recommencer les calculs ; il suffit de changer les signes haut et bas.

Un des principaux avantages qu’on se propose en algèbre , est d'obtenir des formules propres à tous les cas d’une même question, quels que soient les nombres qu’elle renferme (p. 133 et 134). Or,

nous remplirons ici ce but en convenant de pratiquer sur les quantités négatives isolées les mêmes calculs que si elles étaient accompagnées d’autres grandeurs. Par exemple, si lon avait m + d — b, et b> d,

140 ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ on écrirait »m— (b — d); lorsque » n'existera pas, nous convenons d'écrire encore d — b=—= — (b — d), quand b sera >> d. b—d

La valeur de x, dans le second cas, devient x —— à a — C

et nous dirons que foute solution négative dénote une absurdité. Pareillement , pour diviser le polynome — 4 3a’b° —L etc.,

par — a —b? Letc., on divisera d’abord le premier terme — a# par — a°, et l'on sait {n° 98) que le quotient a? a le signe +. Nous

en dirons autant de ces quantités isolées — a4, — a? ; de sorte que

(Da)

dans le troisième cas, la valeur (2) de x aura la forme É — (c— a

£ —— Le comme elle doit être (3).

qui se réduit à

108. Cette convention , qui n’entraine aucun inconvénient, réunit donc tous les cas dans la formule (2). Mais on ne doit pas ou-

Sent RS sont que

blier que les quantités négatives isolées — 4,

des êtres de convention; des symboles, qui n'ont aucune existence par eux-mêmes, et qu’on ne les emploie comme s'ils en avaient une, que parce qu'on est assuré de remplir un but important, sans qu’il en puisse résulter d’inconvénient, En effet, de deux choses l'une : ou le résultat aura le signe —;, et l’on en conclura que le problème est absurde, le — n'étant qu'un symbole qui annonce cette absurdité ; ou le résultat aura le signe +, et il est prouvé qu'alors il est ce qu'il doit être, quoique provenu de la division de deux quantités négatives. Concluons de là que :

1° On a le droit de changer tous les signes d’une équation , et de la multiplier par une quantité négative. En effet, si l’on est dans le premier de nos trois cas, l'équation deviendra, il est vrai, absurde d’exacte qu'elle était ; mais la division des quantités négatives rétablira les choses dans leur état primitif. Dans le deuxième cas; l’absurdité du problème sera encore manifestée par une valeur négative; et enfin, s’il s’agit du troisième, le changement de signes aura rectifié le vice du calcul. |

2° Lorsque l'équation sera absurde, on pourra encore tirer parti de la solution négative obtenue dans le deuxième cas ; car, mettant — x pour x, l’équ. proposée devient — ax +- b=— — cx + d,

pis

, valeur égale à (2), mais positive. Si donc on mo- Cr EE

difie la question , de manière que cette équation lui convienne, ce second problème, qui aura avec le premier une ressemblance marquée, ne sera pas absurde, et, au signe près, il aura même solution. |

Présentons, par exemple, le problème V comme il suit : Un père a 42 ans, son fils en a 12 ; dans combien d’anneés l'âge du fils sera-t-il le quart de celui du père ? On a 424 x = 4(12+-7x), d’où r——2; ainsi, ce problème est absurde. Mais si l’on met — + pour x, l’équ. devient 42 — x — 4 (12 — x), et les conditions qui y correspondent changent le problème en celui-ci : Un père a 42 ans, son fils en à 12, combien d'années se sont écoulées depuis l'époque où l'âge du fils était le quart de celui du père ? On a x — 2.

Quel est le nombre x qui, divisé par a, donne s pour somme du dividende >, du diviseur a, et du quotient ?

On a a + x + = 8, d’où æ — Por a> s, æ est

négatif, et la question est absurde; ce qui était d’ailleurs visible d'avance: par exemple, a = 11, s —5; donnent x = — 5 :, Mais changeant x en — x dans l’équ., on trouve 11—x——x—=5; de sorte que x — B< est le nombre qui, joint au 11° de 5+, et retranche de 11, donne B pour reste. Sous cet énoncé, le problème a cessé d'être absurde.

Quel est le nombre dont le tiers et le cinquième ajoutés, diminués de 7, donnent ce même nombre? On ai x 5 x—7—x; d'où

— — 15, La question est absurde ; mais remplaçant # par — x dans l’équ. (ou plutôt — 7 par 4-7), on verra que 15 est le nombre dont le tiers et le cinquième ajoutés à 7, forment 15.

109. L’équation (2) présente encore deux singularités. Si d — b

ax + b= ax + d, d'où b= d; ainsi, tant que b est différent de d, le problème est absurde, et n’est plus de nature à être modifié

; mais la proposée devient dans ce cas

a=—=0,0na z —

, A : m comme ci-dessus. En faisant décroitre », la fraction -— augmente ;

pourn—=2À?, ——,-—, les résultats deviennent 2, 100, 1000 fois plus grands. La limite est l'infini, qui répond à n — 0; on voit donc que le problème est absurde quand lu solution est infinie; ce qu'on désigne par le signe x — ©.

142 EQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ ax + b = ax +- b; les deux membres sont égaux quel que soit æ, qui est absolument arbitraire. Ainsi, /e problème est indéterminé, ow

Premier Degré à plusieurs inconnues.

110. Lorsqu'on a un nombre égal d’inconnues et d'équations, pour obtenir les valeurs de ces inconnues, on peut opérer de trois manières.

I. On tirera de chaque équation la valeur d’une inconnue comme si le reste était connu ; on égalera ces valeurs deux à deux, et l’on formera ainsi autant d'équations moins une, qu’on en avait d'abord ; en répétant ce calcul, on éliminera chaque fois une inconnue ; puis, lorsqu'on aura obtenu la valeur de la dernière, on remontera de proche en proche pour avoir celles des autres inconnues.

Ainsi, pour 5x — 3y — 1, 7y — 4x — 13, on tirera

F 8 1 dé la première‘.... 7 = DRE 7y — 18 et de la seconde ....x — ÿ 7 ; à 3 1 TU TOR, : 9 égalant ces valeurs, on a + Ru == 7 —., équation qui ne d

renferme plus qu'uneinconnue y, et d’où l’on tire 1274 —35y—65; puis, 38y — 19y — 65 4; ou 23y — 69; enfin, y — 3 : remontant à la première des valeurs de x, il vient

MUR Les 1754 9 Pareillement, 2x LE 5y — 8z —.8 ; Sr — y + 3 = — 2, 5x — y + 23 = 9, 1e EE Q : ÉLUS B dat Nes = y — 8x —2—= En 2 had

Ghassant les dénominateurs (105, 1), on trouve *

> Le à

2x + y — 3 — 12y — 9x — 6, y — GC — 4 — 9 + y — 6x, ou 7y — llr = 3, y — x = 13;

on en tire 7y = 8. 11x—= 13 + x, d’où x = 1; et remontant aux valeurs de y et z ci-dessus, on trouve enfin

= LT >, ss

IT. La méthode des substitutions consiste à tirer, comme ci-dessus, la valeur de l’une des inconnues ; puis à la substituer dans les autres équ. : on à ainsi une équ. et une inconnue de moins, et l’on réitère le même procédé.

Soient 87 + 2y — 12, 25 + y —5, + y +3z—8;la seconde donne y — 5 — 22: en substituant dans les deux autres, elles deviennent 3x — 43 =2, vz—3, 3e

Celle-ci donne x = 3 — z, ce qui change la précédente en 92 85—4z:—9; d'où :—1, et par suité, à —8 — 5 —9, Y —= 5 — 93 — 8.

III. Le premier procédé, quoique plus simple que les autres, est rarement employé à cause de sa longueur ; le second ne sert guère que quand toutes les inconnues n’entrent pas dans les équ.; venons maintenant à celui qui est le plus usité. Prenons

as de buis dax thy=c. +. (4)

Supposons que a et a’ soient égaux, en soustrayant l’une de ces équ. de l'autre, # disparaîtra ; si a et a’ étaient de signes contraires, il faudrait ajouter les équ. Mais lorsque a et a’ ne sont pas égaux, on tuultipliéra la première par @, la seconde par 4, et notre condition sera remplie, puisque aa’ sera le coefficient commun de x *, On obtiendra done, en retranchant ces produits l’un de l’antre, d'by — aby= ac — ac. De même, éliminons y, en multipliant

* Siaet a! ont un facteur commun, il ne faut prendre pour multiplicateurs respectifs que les facteurs non communs à a et à a', comme pour la réduction au même dénominateur (n° 38, i9et 2°).

144 ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Ja première équation par b’ et la seconde par b, puis retranchant les produits, d’où a’bx — ab'x = bc’ — b'c. Donc enfin on a

bc! — b'c a'e — ac’ DR CET on er