DES PUISSANCES, DES RACINES, ET DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

Des Puissances et Racines des Monomes.

124. La règle (p. 70) simplifie l'élévation aux puissances , en évitant la multiplication réitérée; car soit proposé d'élever a à la puissance » —n + p;onaa"=—a" X a’, de sorte qu'après avoir formé a” et ar, le produit donnera a”. De même, on pourra décom-

DES MONOMES. 167

poser m» en trois parties # L pq, d'où a" = a" X a? X a, comme n° 96, etc...

125. Il suit des règles de la iüttiblicat{on (n° 96), que pour élever un monome à une puissance, il faut multiplier l’exposant de chaque lettre par le degré de la puissance. Ainsi, € dm TR

2h3\ 5 51015 ROUE (is __ 3fa)

On tire encore de là un moyen facile de former certaines puissances des nombres ; car a”, lorsque »m = np, revient à a"? —={(a"}. Si m— np ....,on fera la puissance n de a, la puissance p de a”, la puissance q de a”?

De même, pour l'extraction des racines : ainsi,cummel2=3 .2.2,

on trouvera 831441 en prenant la racine carrée, qui est 729 ; puis celle de 729 qui est 27 ; puis enfin la racine cubique de 27 qui

est 3 — y 531441 (voy. n° 60).

Réciproquement, pour extraire la racine m° d’un monome, on extraira celle de chaque facteur ; cette racine se trouve en divisant

chaque exposant par m. En effet, pour que ab soit p/ ( a$bo ) , il suffit que ab, élevé au cube, reproduise a°b9 ; or, c’est ce qui a lieu d’après la règle qui précède, si l’on a divisé les exposants

par 8.

d : ; + 243a10b5 8a°b 2h4\ == 2 mm À LS mn e V/ (Ha b ) > 2ab 2 VA ( c°dr° ) cd? *

Lorsque le degré de la racine est pair, on doit affecter cette racine du signe +; W/ 9 — +3. Cela vient de ce qu’algébriquement parlant, pour qu'un nombre "” soit racine de 9, il suffit que m° — 9, ce qui a lieu , que m ait le signe - ou — (p. 139). Si le degré de la racine estimpair, le signe de la puissance est le même que celui de la racine :

VMS, HU 4s.

126. Les expressions radicales éprouvent souvent des simplifications,

Ainsi,

V3 —9.)/51=5 . |/16—6. V2; V(Na)=qVN;

V ( —— © J/(cd°) 5 V{Ga2 — 6ab + 50?) — (a — b) V3.

Vaæÿe+sVa—5V5=sVa—2ye,

& Pay —a}/æy + bar — — (1 — a +b) Var ; V75—4/3—=V5; V/75asb2 — 4V/3ab2 = abV/3a; V27a3b — V3a4b3 — a(3 — b?) V3ab.

ii:

127. Nous avons vu ci-dessus que pour extraire la racine d’um produit , il faut extraire celle de chacun des facteurs ; or, cela est vrai même lorsque les extractions ne se peuvent faire exactement :

par exemple, (ab) =y 1 4 /b, puisque le cube de cette dernière quantité se forme visiblement en élevant chaque facteur, ce qui donne ab. En général, de ce que la racine d’une quantité est le rad des racines de chacun de ses facteurs (125), il suit

que Va X by . Donc, pour multiplier ou diviser deux quantités affectées du même Le » A faut faire le produit ou le quotient de ces quantités, et l’affecter de ce radical. Par exemple,

VEXVB—=V48 = 438; IAA

2 LAB UE 3 VB yt X Var = j/ 100aryé ;

11 383 RUE PA U VAI SNS TL VrXV—3 = — pq

Zn 4 D)

a+ y by = a+ b+2Y/ab; (ay D = à + 3 y/ b+ 8ab L by b.

En supprimant le radical, (j/ a"b"} = a"b”.