IMAGINAIRES

128. Comme il n’y a pas de nombre qui, multiplié par lui-même, puisse donner un résultat négatif — », j/ — m représente une opération impossible : c’est ce qui lui a fait donner le nom d’Zmnaginaire ; J/ m est appelée Réelle. Nous aurons par la suite (n° 139, 1°) occasion de remarquer que ces symboles, quoique vides de sens, n’en sont pas moins importants à considérer. Ajouter, multiplier... de semblables symboles, sont des opérations dont il est difficile de se rendre raison ; cependant on convient de faire ces calculs sur les imaginaires, comme si elles étaient de véritables quantités, en les assujettissant aux mêmes règles ; nous en reconnaîtrons l’utilité par la suite, |

La règle n° 127 doit éprouver quelques modifications ; ainsi V/— a XyV/— a, n'étant autre chose que le carré de W— 4, est visiblement — « : or, la règle ci-dessus semblerait donner pour produit / —-a° ou a. Mais observons que / a est + a; l'incertitude du signe, en général, n’a lieu que lorsqu'on ignore si a? provient du carré de — a, ou de celui de — a ; or, c’est ce qui ne peut existerici,et l'ona —a pour produit , à l'exclusion de a.

Concluons de là que / — a XW/—a—— a.

De même, /— a XY —b révient à

V'a.V—1Xÿb.y —1, ou—Y (ab).

On verra que / — a a pour puissances 1°, 2, 3,4 , . . ., 0-0, —a, —al/ <a, La, +ay —a, —ai,etc. . . . .. Celles de —p/ — a sont —a, Lay —a, æ&, — ay — a... Le carré de 1H /— 1 se réduit à 2/— 1. Le cube de

11/23 est 8; Pi = == VV’:

Le produit aLby — 1) X (xta—by —1) est (za) +, quantité Réelle (n° 97, LIT).

129, II suit de la règle (127) que pour élever à une puissance un monome déjà affecté d’un radical , il faut élever à cette puissance chaque facteur sous le radical. Ainsi, le cube de p/ (3a°b) est V4 PEN celui de /2 est /8— 2y/ 2.

Concluons de là que lorsqu'on veut extraire une racine d’un monome déjà affecté d’un radical , il faut, s’il se peut, extraire la racine de la quantité radicale ; ou, dans le cas contraire, multiplier l'indice du radical par le degré de la racine à extraire.

5 9 pm mp Ainsi, la racine cubique de y aÿ est /a, V(V a) =Van, VV \wb4) = ab.

130. On peut donc, sans changer la valeur d’une quantité radicale, multiplier ou diviser par un même nombre les exposants et l’indice du radical, puisque c’est d’une part élever à la puissance, et de l’autre extraire la racine;

V'a — «7, V/ & Le Va, J/ (3ab5) — V/ (Qaib).

“Par là , il devient facile de multiplier et diviser les quantités affectées de radicaux différents ; car il suffit de les réduire à être de même degré : on multipliera pour cela les exposants et l'indice du radical par un même nombre qu’on choisira convenablement, comme pour la réduction des fractions au même dénominateur (38). Par exemple,

Var =VexVr =V{(0b),

m mn

Des Exposants négatifs et fractionnaires.

; se a 131. Nous avons démontré que le quotient de si est a”—*, er

supposant que » soit > n; sans cela, »#—n serait un nombre négatif, tel que — p; et comme on ignore encore le sens qu’on doit attacher à a, on ne pourrait multiplier a? par a" ; ainsi on ne saurait prouver que a* X a”"=" doit reproduire a”.

Mais remarquons que l’expression a? n’a aucun sens par ellemême, puisqu'on ne peut y attacher l’idée propre aux exposants (12).

x € 1 JF.

On est donc le maître de désigner 77 Par 477, ainsi que nous le

ferons dorénavant, D’après cela, dans tous les cas, on pourra dire

EXPOSANTS NÉGATIFS. 171 que — a”—n ; car la chose est démontrée, si »m > n#, et elle a” résulte de notre hypothèse, lorsque » <° n, puisqu'en divisant les deux termes par a”, on a

a” il — = ——— — ar (nm) rt 7, a” a" " a

L'algèbre apprend à trouver des formules qui, par leur généralité, conviennent à toutes les valeurs numériques qu’on peut imposer aux lettres : on doit donc regarder comme un grand avantage de n'avoir pas besoin de distinguer, dans une expression algébrique,

qui renferme des quantités de la forme — , tous les cas qui peuvent a”

résulter des suppositions de »m > ou € n ; on mettra a”? au lieu

nm

(41 4 \ de ——, et la formule sera vraie dans toutes les hypothèses (comme

au n° 108).

Il faut aussi avoir égard au cas de m — n ; alors a”—" devient a°, symbole tout aussi insignifiant par lui-même que a-7. Nous con-

‘ ‘ : a” viendrons donc de faire a° = 1, puisque alors — — 1. L’expresa

sion a° est un symbole équivalent à l'unité.

Ainsi , lorsque nous rencontrerons dans une formule a° et a? ces expressions seront faciles à comprendre, en examinant leur

origine : a° et a? n’ont pu provenir que d’une division dans laquelle on avait »m=—n dans le premier cas, et #7 — m <-p dans le second. D'après cette convention, on peut faire passer un facteur du dénominateur au numérateur, en donnant à son exposant un signe négatif : ainsi

“ 1 1 > (bc)? — opdre Vupral, ?

ab" € # cf MN Te

Voilà donc les puissances nulles et négatives introduites dans le calcul, par une suite de principes qui ne souffrent aucune difficulté, Venons-en aux puissances fractionnaires.

132. La règle donnée pour l'extraction des racines des monomes,

m ñn

prouve que W/ a = a" ; mais il faut pour cela que # soit un multiple de »#, car on tomberait sur un exposant fractionnaire, dont la nature est encore ignorée , et on ne pourrait démontrer qu'en ren-

ñn dant a” m fois facteur, le produit serait a”. On est donc ici dans le

même cas que pour les exposants négatifs, et il est visible que a”

mn n'ayant aucun sens par soi-même, on peut lui faire désigner J/ a” ; par là les formules pourront convenir à tous les cas, que » soit ou non multiple de » ; ce qui est conforme au génie de l'algèbre.

Donc, lorsque nous rencontrerons a” dans une formule, il sera facile d’en avoir une idée nette , en observant que cette expression n’a pu provenir que de ce qu’on a vonlu extraire la racine mn° de a”.

La règle donnée pour faire cette extraction est donc générale dans tous les cas.

Ainsi, V/ (Sa) — (3°, V/ (æ* —y")= (2° —; que

3 ar, 5 b==y/0bt, b = b, cp —= V (cp),

Ve VE = fx cP c— = cd"

138. a, a-?, a” sont les expressions de convention attribuées aux

ER D Le doi Le valeurs 1, et V/ an. Mais 0, — pet 7 ne oivent point ê re re-

gardées ici comme de véritables exposants, dans le sens attaché à cette dénomination , quoique ces quantités occupent la place réservée aux exposants. Ce serait done abuser des termes que de se croire autorisé à dire, sans démonstration , que g” X a" —a”"+", quand » et n ne sont pas tous deux entiers et positifs. Il en est de même de la division, de l'élévation aux puissances et de l'extraction des racines. Démontrons donc que ces symboles suivent les mêmes