ES

Lo FE mm. m " PVP Lo Soit a" Xa"=Va XV a = y atr=a ; ñn

a #2 m m Le LES 20 a” a = a" a = avr — a ob 1 n?p

"\r ; "2 RÉ TRE 4° / ax = V (/a") = ee es a,

Remarquons en outre que ces calculs relatifs à l’exposant fractionnaire permettent de le supposer aussi négatif.

III, Prenons le cas des exposants irrationnels , et soit par ex. a”? X a”3; désignons par zet z’ les valeurs approchées de ces exposants , Ou 3 = 2 +h,z = 34h, het h étant-des

erreurs, qu’on peut diminuer à volonté, en poussant plus loin l’ap- - proximation. Or, si l’on se contente des valeurs approchées 3 et z', le produit ne sera lui-même qu’approché : et en désignant par « l'erreur qui en résultera, erreur qu’on peut rendre aussi petite qu'on voudra, on aura exactement |

a”? X ar3 + a a+ = QE ER — Ga X a+ :

mais plus 4 et #’ seront petits, plus a+” approchera de 1 ; ainsi on peut donner à ce 2° membre la forme a/*+/3— 8, B décroissant indéfiniment avec «, k et k’. Égalant les termes constants (118), on trouve a”? X a/3 — a/?+/3, On prouverait de même que les exposants irrationnels sont soumis aux mêmes règles que les entiers, dans la division et l’extraction : c’est d’ailleurs une conséquence de ce qui vient d’être démontré.

IV. Quant aux exposants imaginaires, d’après leur définition (128), les règles relatives aux quantités réelles s'appliquent à celles qui sont imaginaires lorsqu'on veut les livrer au calcul, quoique celles-ci ne soient que des êtres de raison; ainsi il n’y a lieu à aucune démonstration.

On facilite quelquefois les calculs par ces principes; par exemple, 3 4 2 3

5 7 ee 0 . ’ e. 5 5 7 fi tp. .

pour diviser / ab# par / &bÿ, on écrira a b : a b , et réduisant les exposants au même dénominateur, il vient

az 28 10 15

GE ,36/ 058 35 FRS PRE De ROLE NT7 YO

Les polynomes qui contiennent des exposants négatifs ou fractionnaires sont soumis aux règles ordinaires, et il convient d’acquérir l'exercice de ces calculs. La division suivante indique la marche à observer.

6añ—93a}/ —1—13ab—20+22a—10)/ —1-+6a—2b2 { 2a—5}/—1—5a—1b —6a+15a}/—1+ 9ab ere

ferreste,— 8a2]/—1— 4ab—920+-22a—1bV/ —1-+64—2b2 + 8a}/—1 | +20—12a—1b}/—1

2e reste, — Aab + 10a—10l/—1+6a--2b2 3e reste, 0

Observez que le quotient peut admettre des exposants négatifs pour a, et cependant être exact ; or, si la division se fait exactement , il est clair que la somme des moindres exposants de a dans le quotient et le diviseur doit donner le moindre dans le dividende.

RACINES DES POLYNOMES. 175

Ainsi, retranchez les plus petits exposants de a dans ces deux premiers polynomes, et vous aurez le plus petit dans le quotient , si la division se fait exactement. On est donc assuré qu’on n’est pas dans ce cas, lorsque le quotient est poussé jusqu’à un exposant moindre que cette différence.

Des racines carrées et cubiques des Polynomes.

134. 1° Tout nombre composé de » chiffres est entre 10" et 10";

son carré est donc compris entre 10°» et 10°*?, qui sont les plus petits nombres de 2n — 1 et 2n — 1 chiffres; donc le carré a 2n ou 2n — 1 chiffres, ainsi qu’on l’a dit (62).

2° Soient a et a - 1 deux nombres consécutifs; leurs carrés a* et a —L 2a #2 1 diffèrent entre eux de 2a + 1; ce qui est d’accord avec ce qu’on sait (n° 66, 4°).

Comme 2a -! 1 représente tous les nombres impairs, on voit que tout nombre impair est la différence des carrés de ses deux moitiés inégales et entières ; 17 — 39° — 382, 37 —19° — 18°, etc. Du reste, nous prouverons, en traitant des équ. indéterminées du 2° degré, que lorsqu'un nombre impair n’est pas premier, il y a plusieurs manières de faire cette décomposition. Ainsi,

8° Si 4? est le plus grand carré contenu dans , k et À 1 sont approchés de y/ N à moins d’une unité ; r étant le reste entier que donne #, ou N— Æ—+7r, comme (4 +5} = 4 +kL;,en retranchant ces équ. on a

orsir > 4, ona/N > k+2,et k Æ 1 est plus voisin que # de NW; c’est le contraire quand r <[ k. Ainsi, selon que le reste r est > ou < la racine entière 4, on prendra % + 1 ou 4 pour valeur approchée de M.

4° Lorsqu'on a poussé le calcul de l'extraction jusqu’à connaître plus de la moitié des chiffres de la racine , les autres se trouvent

par une simple division, ce qui abrége surtout les calculs d'ap-

proximation. | En effet, soit NV le nombre dont on cherche la racine à + »,

a étant la partie déjà calculée par le procédé ordinaire, et x celle:

qui est inconnue et doit compléter la racine, V’N — a + x. Bien entendu que pour donner aux chiffres de a leur valeur propre, on a dû ajouter à la droite n zéros, c’est-à-dire autant que x a de chif-

0 ii

fres, autant qu'il reste de tranches de A à descendre près des restes «

| N — œ@ æ? R Arr Us 2 d eme em — = — successifs. V — a° — 2ar + x° donne ns æ + a be

R étant le reste ZV — a? qu'a donné a, près duquel on a descendu tontes les tranches de deux chiffres non encore employées. Cela

posé, æ étant composé de » chiffres, +? en a au plus 2n, tandis que, M

par hypothèse , a en a au moins # + 1, lesquels sont suivis de n ; 2

zéros ; On voit que a sera > +°?, et par conséquent du

< +;0naura

N dE AS (42 , . 1 donc x — A 0 lorsqu'on ne voudra que la partie entière de &

VW; ce qui arrive toujours, puisque dans les approximations, et même pour les racines des fractions, les nombres doivent être préparés de manière à ce que l'extraction ne porte que sur des parties entières (n° 66, 1°).

On divisera donc V — «°, ou le reste de l’opération qui a servi à trouver a, par le double de a; et pour cela, on regardera la partie connue a de la racine comme des unités simples (en omettant les n zéros qui devraient être mis à sa droite), et l’on supprimera aussi » chiffres à la droite de A.

Ainsi, pour W 3.37.67.98.17, les trois 1’ tranches donnent d'abord 183 pour racine, et 278 pour reste : si donc on divise

27898 par 2 fois 185, ou 8366, ou aura 76 pour les deux autres chiffres

de la racine, qui est 18376.

De même, 2 — 1,4142, en ne poussant l’approximation (n° 64) qu'aux 10000: : pour-trouver 4 autres décimales , comme le reste est 3836, on divisera 38360000 par 2 X 14142 ou 28284 : le quotient est 1356 ; donc, etc. On trouve

135. Soit proposé d'extraire la racine de Da — 12a%b HE 34ab? — 20ab3 + 254;

RACINES DES POLYNOMES. 177

représentons ce polynome par X. Nous dirons, pour abréger , que le terme où la lettre a porte le plus haut exposant, est /e plus grand. Soient z le plus grand terme de la racine cherchée, y la somme des autres termes; d’où (n° 97, 1°), X=— (œ + y = 2 + 2ry y; æ est visiblement le plus grand terme du carré X , ainsi +? — 9af, ou æ — 3a* pour 1% terme de la racine, et À = Ja4 + Gay + y. Otant 9a4 des deux membres, il vient

— 12a%b 34 a%b° — 2Oab° + 284 — Gary + y;

y est en général un polynome, aussi bien que 6a°y; or, y n'ayant que des termes où l’exposant de a est moindre que 2, il est clair que le plus grand terme de (6a° + y) X y est le produit de 64? par le plus grand terme de y; ainsi ce dernier sera le quotient de — 12ab, divisé par 64°, double de la racine trouvée. Il en résulte que — 2ab est le 2° terme de la racine.

Pour achever le calcul , faisons 3a? — 2ab, ou x — 2ab — x", et désignons par y les autres termes de la racine. On a X = 2° + 2xy + y?; ôtons x° de part et d'autre; x? se compose de x°, déjà ôté, puis de — 2x X 2ab <-(2ab)°, ou — 2ab(2x — 2ab). Si donc on écrit le 2° terme — 2ab de la racine, à côté de 6’, double du 1*%, et si l’on multiplie par — 2ab, en retranchant le produit du reste ci-dessus, on aura

30a°b° — 20ab3 EL 25b4 — 2r'y L y.

Si y est un polynome, il est aisé de voir que le plus grand terme 30a°b° est celui de 2x'y', c'est-à-dire est le produit du plus grand terme de 27’ par celui de y. Si donc on divise 30a°b°? par 6a?, le quotient 5b° sera le 3° terme de la racine.

Faisons 3a° — 2ub + 5h ou x — 5h — x", et désignons par y” la somme des autrés termes de la racine : on aura X— x —92x'y" + y"; or, pour retrancher x”? de X, comme on a déjà Ôôté +? il faut, du dernier reste 30a°b° — 20ab° L 25b4, ôter encore 2x’.5b2— (5k), ou 5b° (2x +-5b°). On écrira donc 5° à côté du double 64° — hab des deux 1°* termes de la racine, et l’on multipliera par le 3° terme 5}? ; enfin, on retranchera le produit du 2° reste. Comme ce produit et ce reste sont égaux, on a X— x2—0, d'où y’ —0 et x” — y X. Ainsi la racine demandée est 34° — 2ab + 5}.

MATHÉM. PURES, T. I. 12

Voici le type du calcul :

9a — 192a3b + 34a7b2 — 20ab? + 25b4 5a? — 2ab + 5b?

nr 9aù 1er reste, — 12ab + 54a2b2 — 920ab3 + 25b1 (6a* — 2ab) X — 2ab + 12a$b — Aa2b?

2e reste, + 30a2b2 — 20ab + 2551 Ga? — 4ab + 5b2 ge reste he nt 25. À 19 . DORE X 5b2

On voit qu'après avoir ordonné, il faut prendre la racine du 1°r terme, et continuer l’opération comme pour l'extraction numérique (n° 62). Les exemples suivants montrent que la même marche de calculs donne la racine lorsqu'il y a des imaginaires ou des exposants négatifs ou fractionnaires.

Qai—12a5}/—1—92a(2—5}/—2)+-a)/2—2/ 3a2—2a}/ —1+-V/—2

Ler reste, —19a3}/—1—2a2(2—5}/—2)+4a}/2—2 )(6a2—2a}/—1)xX—2ay/—1 —-192a5}/—1+4a2 s. 2) Gr 401/—1-EV/er 20 2e reste 6a?/—2+4a}/2—2 CPAS CON UE OR ai 1 x+ÿ/—2

2 x Dr 4a2—12ab?+9b-+192—18a—1 b°+9a—2 | 2a—53b°+53a-1 — a? ES

wi"

1erreste,—19ab°-+9b-4192—18a—1 b?+9a—2 À (4a—5b*)X—5b : em

+12ab ?—9b 1 ; ï 4a—6b? + 3a—1 2e reste, 12—18a—1b?+9a—2 | X+3a—1 BTOC SU 6 Re ne PTE O æ?— 0? ar ag —, ..s — 7? UE NÉ EN RS À p a EN lee CE US PA PE A (27— 02 1) X — ext cr A era 1 : reste jee $ a ï 24— ar 1—"uhx [42 —(l M ht I 3 ñ X—=ahx CN TEE D RE LT = 2° reste, , —ïaix?

Haha 2—"<a$x 4 —— ax 8 reste, —+afx-4 etc.

Ce dernier exemple montre comment on doit se conduire lorsque l'extraction ne peut se faire exactement, ce qu’on reconnait quand on trouve quelque terme de la racine où a porte un exposant moindre que la moitié de son plus faible exposant dans le carré. Du. reste, on a iei

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 179 136. Le cube de x + y est 2% 4 3 à y L 8 x y E y°{(ne 97, IT),

il sera facile d'appliquer les principes précédents à la recherche de la racine cubique d’un polynome. Nous nous bornerons à l’exemple suivant :

8a6 — 356a4b? + 54a2b1 — 9276 94? — 5b? racine.

—8a$ 19244 — 18a2b? + 9b4 Aer reste, — 3644b2 + 54a2b4 — 27b6 X —5b2 RAR POST EE «1. 0

Après avoir ordonné, cherché la racine 3° du 1er terme 8af, qui est 2a°, et retranché 8af, on a un lt" reste. On en divise le 1er terme — 36aib* par 12af, triple du carré de 2a° ; le quotient — 3h? est le 2e terme de la racine. Près de 12a#, on écrira — 18a°b?L 9b4, ou le triple du produit de — 3h? par le 1er terme 2a?, et le carré de —3b°; on multipliera ce trinome par — 3b°, et l’on retranchera le produit du 1er reste. Le résultat étant zéro, on a de suite 2a? — 3}? pour racine cubique exacte : s’il y avait un second reste, on opérerait de même sur ce reste.

Nous ne dirons rien ici des racines 4°, 5°...

Equations du second degré.

137. En passant tous les termes dans le 1e" membre, réduisant en un seul tous ceux qui contiennent soit x, soit +, et opérant de

même sur tous les termes connus, l’équ. du 2° degré prend la forme Aa? + Bx + C—= 0, et faisant

B Le Co Pr di pq Es on a PL pr a 0 NES CAP LE)

. équation qui peut représenter toutes celles du second degré à une in-

connue , et dans laquelle p et g sont des nombres connus positifs ou

mépatifs.

Divisons 2° — px + q par x — a, a étant un nombre quelconque, il viendra le quotient x + a + p, et le reste 4° L pa 9. Ce reste est ou n’est pas nul, selon que a est ou n’est pas racine de l’équ. proposée (on nomme racines les valeurs qui satisfont à cetté équ., parce qu'on les obtient par une extraction). Donc, tout nom-

bre à qui est racine d’une équation du second degré, donne un divi-

eh ty

seur binome (x—a) du premier membre de cette équation, laquelle prend alors la forme

Or, on demande toutes les valeurs propres à rendre ce produit nul; ainsi # —= — a — p jouit aussi bierr de cette propriété que x = a. Donc, 1° toute équation du second degré qui a une racine a, en admet encore une seconde = — (a p).

2° Cette équation ne peut avoir que deux racines : cette proposition sera démontrée plus tard. -

3° Les deux racines étant -«& et — (a + p), leur somme est — p, et leur produit est — (a? H- ap) —q, à cause de « LL pa-q—0;. donc, le coefficient p du second terme en signe contraire est la somme de deux racines, et le terme connu q en est le produit. Par exemple, pour 2° — 8% + 15 —0, x —5 est une racine, ainsi qu’on le reconnaît en substituant ; on trouve que le premier membre est divisible par x — 5 ; le quotient estx — 3; les deux racines sont 8 et5, dont la somme jee 8, et le produit 15.

4° Il est facile de former une équation du second degré dont les racines et / soient données ; on en fera la somme Lufe et le produit 4, et l’on aura 4° —(k +1) x + Hl — 0. On pourra encore former le produit (x — k) (x — k Par exemple, si 5 et — 7 sont les racines, on multipliex — 5 parx +7; ou bien on prend 5—7—-—9; 5X—7— — 35etchangeantlesignede la somme, 2° 2r— 35 — 0 est l’équ. cherchée. |

5° Résoudre l’équ. (1) revient à chercher act nombres dont —» soit la somme et 9 le produit.

6° Il peut arriver que les racines À et / soient égales ; alors les facteurs x — À et x — l'étant égaux, 2° + px + q est le carré de l’un de ces facteurs.

138. Pour résoudre l’équ. (1), remarquons que si #° —- px Lq était un carré, en extrayant la racine, on n'aurait plus qu’une éq. du 1°" degré ; comparons ce Liu ine à (x + n) ou 2° 2rn nr; nest arbitraire; ainsi faisons n — + p, pour que les deux 1er: termes soient égaux dé past et d'autre.

Donc, si#?, ou + p°, se trouve —=q, 2° + px + q est le carré de æ-+:p; ce trinome n’est un carré que quand + p° —q. En rempla-

DC | cant p etgpar— et, on trouve que pour que Ax® 2 "Bxe-P00

soit un carré, il faut qu’on ait entre les coefficients la relation B? — 4AC = 0.

Dans le cas où + p°—9Q, la proposée revient à (x ? p} = 0, et les deux racines sont égales à — + p.

Mais si cette condition n’a pas lieu, ajoutons + p° — q aux deux membres de l’éq. (1), il viendra

PL ps tip = (ei =sr —

extrayant la racine, æ + ip=+ / (x p°— q), d’où g——2:pEp (Ep— og). . . . . .,()

Nous avons donné (n° 125) la raison du signe Æ. Ainsi, la valeur de x est formée de la moitié du coefficient du 2° terme en signe contraire, plus ou moins la racine du carré de cette moitié, ajouté au terme connu passé dans le 2° membre. Dans chaque exemple on aura de suite la racine, sans s’astreindre à refaire les calculs précédents sur le trinome proposé.

Pour 2° — 8x + 15 — 0, on trouve x=4+#+y (16— 15) —4+l,cest-à-direz—5et 38.

De même, 2° + 2x —35 donne

14 (85L1)——1+46, our—bet——7.

139. Le résultat (2) offre plusieurs cas. Faisons, pour abréger, p—qg=—= m, d'où g —=+5p — m; ce qui change a px + q en apr +ip—m, où (v+3p) —m; c’est la quantité qu'on veut rendre nulle par la substitution de certains numbres pour +.

1° 52 m est négatif; comme + p° est toujours positif, ce cas n’arrive que si g est positif dans le premier membre de la proposée(1), et > +p°. Mais alors la proposée revient à (x Æ + p} m0 ; on veut donc rendre nulle la somme de deux quantités positives, problème visiblement absurde : et comme on trouve alors

Rp um

le symbole Pre m, absurde en lui-même, servira à distinguer ce cas. Donc, le problème est absurde lorsque les racines sont imaginaires, c'est-à-dire quand q est positif dans le 1% membre de l’équ, (1) et que q surpasse le carré de la moitié du coefficient p du 2° terme.

Cependant nous dirons encore, dans ce cas, que la proposée a deux racines, parce qu’en assujettissant ces valeurs . . . . . . . = —%:p EE} —m, aux mêmes calculs que si elles étaient réelles, c’est-à-dire les substituant pour + dans la proposée, elles y satisfont ; nous ne donnons ceci que comme un fait algébrique. C’est ainsi que les valeurs négatives, quoique vides de sens en elles-mêmes, peuvent servir de solution à une équation (n° 107) sans convenir au problème, à moins qu’on n’y fasse quelque modification. |

20 Si mest nul, ce’ qui exige que g soit — +p° et positif dans Je 1° membre de la proposée (1), alors 2? Æ px + q revient au carré de x -L <p, et les racines sont égales ; c’est le passage des racines imaginaires aux réelles.

8° Si m est positif, q doit être négatif dans le 1e membre, à moins que q ne soit positif, et << 5p°; dans ce cas (n°97, ITT),

Hip m= (Hip + mn) X (@+ip— V m).

Tels sont les facteurs du 1° membre de la proposée (1) ; les racines sont — ppm et — ip — y/m, dont la somme est —p, et le produit =p°? —m ou q.

4o Sim est un carré, les deux racines sont rationnelles.

5° Si les racines sont réelles et de même signe, il faut que : p l'emporte sur le radical, qui à le signe +; ainsi <p > me ou £p° > +p°— q, ou enfin qg > 0. Ainsi, quand q est négatif, les racines ont des signes contraires, et lorsque gest positif (et << =p°), leur signe est le même, mais opposé à celui de p.

Foy. n°108 , 2, pour l'interprétation des racines négatives.

6° Si q — 0, sans recourir à la formule (2), on a

2 px = x (x Lp) —=0, d'où r=0 et = —p.

7° Sip— 0, on ax +q—0, d'où z—+y — 9, vateur réelle ou imaginaire, selon le signe de q.

8° Quand la proposée a la forme 42? Br + C — 0, le 1° terme ayant un coefficient 4, nous avons dit qu'on le dégage, en divisant tout par 4; mais on peut aussi rendre ce 1°" terme un carré, en multipliant l’équ. par 44 : on à

4422 HABx + LAC = 0;

on compare, Comme ci-dessus, au carré de 2 4x - x, on voit qu'il

ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ, 183 faut prendre n — B, et ajouter B? pour compléter le carré; donc

— BEV (PF — 440)

24 BY} = BP? 4AC t = (24x + B) > 1et.!:488 ss

C’est ainsi qu'on trouve, en résolvant par rapport à y, l’équ.

Ay2 + By + Ca + Dy + Ex + F = 0,

Ru Bx — DHWV[(B? — 44C)x? + 2(BD—24E)x + D2—44F] P'ÈX TON VEPIESENE 24

9 Ona 42 + Br C— AT(x+5p} —m], m étant négatif, nul ou positif, suivant que les racines sont imaginaires, égales ou réelles. Dans les deux 1°" cas, quelque valeur qu'on substitue pour x, le multiplicateur de 4 étant positif, le produit, ou Az? + Bx + C, doit avoir le même signe que 4. Mais si m est positif, soient a et b lés racines réelles, on a

Ax + Bx LC—=A (x — a) (x — b),

et l’on voit que si l’on donne à x des valeurs plus grandes ou moin-

dres que a et b, le signe du résultat sera le nême que celui de À ;

mais il sera différent si x est compris entré @ et b. Le trinome, qui

conservait ci-dessus le même signe pour toutes les valeurs de x,

change done maintenant deux fois de signe, lorsqu'on fait passer x

d’un état compris entre a et b, à un autre qui soiton > ou <aet b. On pourra s'exercer sur les exemples suivants:

. Aer cas. 9 — 125 L8—=0... 3=5 ES —1, 2... 9x —127+4—=0.... 2—;°, 9x — 12r+8— 0... 2 —$ ER, oux=l, etr—;:, 8°et4°427 8x L1—0... 2——Î2#t;, our}, etz——1,

D — à —2—=0.... rs °"E#*, où zx —9%, Ce rh laui De a — 5x —= — 6... 20, et 7—2; 7e. ce) D O0 ee Tam 9, Et 2 = 2 5,

x 9 Lg at z—+3p/ —1.

140. I. Trouver un nombre x tel, qu'en ôtant 2 de son carré, le reste soit 1. On ax? —2—1, d'où r= +43.

I. Partager a en deux parties telles, que # fois la 1°, multipliée par n fois la 2e, donne le produitp. On a

mr.n(a — x) = p, d'oùs =; a +\/ (re LE):

| mn

Si l'on veut partager a en deux parties, dont le produit p soit donné, il faut faire m — n — 1. Comme les racines sont imaginaires lorsque p > +a?, on voit que le produit ne peut surpasser le carré de la moitié de 4, c.-à-d. que le carré de + a est le plus grand produit possible qu'on puisse former avec les deux parties de a (n° 97, III).

IT. Étant donnés le produit p de deux poids et leur différence, trouver chacun d’eux ? On a xy = p, æ —y = d; d'où

x dE (id +p) et y =— dE y Gd+p) IV. Trouver deux nombres tels, que leur somme 4, et celle b

de leurs cubes soient données. De x + y— a, x? + y = b, on tire a — 3a°x —- Sax? — b, et faisant b — af, on a

s= a+ VE f— a)

Gi y=ia—VEf— =)

V. Quel est le nombre dont # fois la puissance p est égale à m fois la puissance p 4 2? x —+}/ (n : m).

VI. Plusieurs personnes sont tenues de payer les frais d’un procès, montant à 800 fr.; mais troissont insolvables, et les autres, suppléant à leur défaut, sont contraintes de donner chacune 60 fr. outre leur part; on demande le nombre x des payants. On a

800 800 LENCO PUS TE rs , 2 Es 0, PAR ; 60, d’où x + 8x — À

et g——32+Ep (CH40)=—-i ES;

ainsi , il y avait 5 payants, au lieu de 8. Il est aisé d'interpréter la racine négative — 6.

VII. On a deux points lumineux 4 et B (fig. 1), distants entre eux de 4B = a; l'intensité de la lumière répandue par 4 est m fois celle de B ; on demande le lieu D qui reçoit la même clarté de part et d'autre, sachant que la lumière transmise par un point lumineux décroît en raison du carré de la distance.

Soient, « et B les intensités des lumières que communiquent

les foyers 4 et B à la distance 1 ; . seront celles que .

Ar. cr ainsi, — est celle, qui répond à l’espace 4D = x; et comme LA “ À : B

BD = a —- x, la lumière que B transmet à D est T à on on a B , à œe A\”

adonc— = ——, d'où -— (— ) — m"”, en posant æ? (a — x) B a — x

«— mb ; extrayant la racine, on trouve enfin

a am.

a net ou = (MTV m)

En général , on doit éviter la double irrationnalité des deux termes d’une fraction (n° 65), et surtout celle du dénominateur. Ici, on a multiplié haut et bas par p/ m1, ce qui a donné (n° 97, IIl) pour dénominateur »m — 1, et pour numérateur ay/m(y/m+H1). On en dira autant des cas semblables.