Démontrons par algèbre les propriétés des logarithmes

1° Soient x et x’ les log. des nombres y et y, on x — Log y, & = Log yÿ :onaa = y, a — y; en multipliant et divisant ces deux équ. l’une par l’autre, on obtient

a+ = yy À a” æ = +.

Mais il suit de la définition que les exposants x + x'etx —

sont les log. de yy’ et mi

donc Log y + Log y — Log (yy ), Log y — Log y — Log (#) à 2 Si l’on élève à la puissance » l'équation y = 4", et si ‘on en

m extrait la racine m°, on a y" = 4"", y — aq": la définition

donne mx — Log (y"), — Log Y y; donc

Log y .

Log ÿ" —=m Log y, Log W y = 7%

ces résultats sont conformes à ce qu’on a vu (n° 88).

3° Pour résoudre l’éq. c —.a*, dans laquelle c et « sont donnés et + inconnu, on égale les log. des deux membres et l’on en tire Log c — x Log a; une simple division donne donc |

__ Log c TEL On peut donc trouver la valeur de l’exposant n dans l'équation ! — ag", du n° 144, relative aux progressions par quotient : Log l= Log a + (n — 1) Log q, d’où n = 1 + DIS

Log q L’inconnue étant x dans l'équ. 4a° + Bat LE Cac... = P;

on écrit a (4 —- — A ae) = Piou Ow = P;

log P — lo d'où 7 — 18 eo log a Dans a: — b, si z est dépendant de l’inconnue x, et qu’on log b aits== 42" —— Ba"... comme-z — Le — un nombre connu

Æ, il reste à résoudre l’équ. du degré m, K— Axm—<E Bmx...

Soit, par ex., 4 (2° —5##+4— 9 ; on entire (22—5x--4)log 2— log ?; donc 2° — 5x + 4 —— 2, équ. du 2° degré qui donnez — 9, ol— S.

4° Soient deux nombres y et y H-m; la différence des log. pris dans un même système quelconque est

Log (y + m) — Log y = Log (' + ®) — Log (: —- =) y quan-.

e » . 4 x m L4 A tité qui s’approche de Log 1, ou zéro, à mesure que — décroit, et U

qui est d'autant moindre que y est plus grand : donc /es log. de deux nombres diffèrent moins quand ces nombres sont plus grands et plus voisins. C'est ce qu’on a vu n° 91, III.

148. Lorsqu'on a calculé une table de log. dans un système dont la base est a, il est facile d’en former une autre dont la base soit b ; car dans l’équ. a° = y, x est le log de y dans le système qui a pour base a : or prenons les log. des deux membres dans le système b ; nous aurons æ Log a — Log y. Ainsi, pour trouver le log de y dans le 2e système, il faut multiplier +, ou le log de y dansle 1er système, par Log a : et si l'on multiplie par Log a tous les log. de la 1re table, on en formera une nouvelle pour la base b. Ce facteur constant Log a, qui traduit ainsi tous les log. du système a dans le systèine b, est appelé module ; c'est le log de la première base a calculé dans le système b ; et si l’on divise Log y par x, qui sont les logarithmes d'un même nombre quelconque dans les deux systèmes, le quotient sera le module Log a relatif à ces systèmes , et par conséquent sera constant pour tous les nombres.

Lorsqu'il arrive qu’on trouve moins d'avantage à prendre la base— 10, qu’à préférer un autre système, il est donc aisé, à l’aide d'une seule table de log., tels que ceux de Briggs, de calculer tout autre log dans ce nouveau système. Par exemple, le log+, Log 5 __ Log2—Log3 la base est ici ce qu’on veut, et si on la prend — 10, tout devient

— 0,17609125 LE de 2812 7 ES À 14612804 1,2050476 pour le log

dans le système dont la base est +, est

connu, et l’on a cherché.

; log £ log2—1 Pareillement Log +, dans le système +, est ins D M eo log + log 3 — log 2

ou — 1 ; ce qui est d’ailleurs évident, puisque l’équ. y — a devient ici + = (): = ()-*, etxest visiblement — 1,

149. Il importe de s’exercer à l'usage des logarithmes dans les calculs algébriques; voici divers exemples :

10 log(a.b.c.d.….) = log a + log b + logc +log d....,

20 log (&) = log a + log b + logc—log d—loge, e 30 log (a”.b".cP....)— m log a + nlog b+plog c ...., ab À 40 log (7) = mise æ mise — pige...

5o log (a? — x2) = log[(a+ x) X (a—x)] =log(a+x)+log(a—x),

MATHÉM, PUBES, T. I. 135

1 1 lu 6o log Va — 2) =: los (a +ax) + log (a — x), 4 3 15 7o log (a°Vaï) —= 35log a + 7108 = 7 108 a, n, m m 80 log /(a—xs}" =, 108 (a — x) F7 log (a? + ax + x?) , (p. 193),

En ajoutant et ôtant ax du trinome, il devient (a + x) — ax; si l'on posez — ax, 3 sera te à trouver par los., et l’on aura

(ax) — x ou (a x + 2) (a x — 2); donc

ñn log p/(a? — x°}m — 7 [log (a — x) + log (a + x + 2) + log (a+ x —z)].

Ce calcul résout a? — x° en ses facteurs et permet l'emploi des log. 90 p/(a? + x?), en posant 2ax — z?, devient J/[(a + x)? — z?], log W{a2 + x?) — 3 og (a + & + 2) + log (a + x — :)].

Va? — x°)

11° Pour insérer m moyens par quotient entre a et L, il faut faire n — m +2 dans l’équ. / = agn— (n° 144), d’où l’on tire la

m+- 1 AUX œ Ë ). et:Tog q —= log-1 108 à . Les divers ter-.

raison q =} RARE Î re

mes ag, ag, ont pour log., log a—+logq, log a +2 log g.…. Ainsi, pour insérer 11 moyens entre 1 et 2, comme ici log a — 0 R

on trouve log q—-= X log 2 —0,0250858, st — 1,059463 ; les | log. des termes consécutifs sunt 2 log q, 8 log q..…., et la progression est (c'est la génération harmonique He Rameau)

+ log z 12° La base du système étant 4, on a a — 3; car d'aprés la

définition des log. dans l’équ. &’ — z, y estle log de z. 7 hk\0g z log (24) De même, a ==) — 5h, :

13° Soit x l’inconnue de l'équ. b"7+ = c"*, f*-? ; on en tire

(» — ) l0gb = mx .logc(x —p)log/f: il reste donc à ré- *