DROITES, ANGLES, TRIANGLES

celle du sommet entre celles des côtés. L'angle G (fig. #) est aussi désigné par BCA ou ACB.

157. Deux angles ACB, acb (fig. 4) sont égaux, quand en les posant l’un sur l’autre, ils peuvent coïncider : appliquons le côté cb sur CB, les sommets c,C, se confondant, le côté ca se couchera sur CA. »

Les côtés d'un angle devant toujours être considérés comme indéfiniment proiongés, on voit que la grandeur d’un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, longueur qui est censée illimitée, mais de l’écartement des deux lignes. Qu'on fasse tourner le côté BC autour du sommet C (fig. 5) pour lui faire prendre la position DC, l’angle BCA devenu DCA, aura augmenté de l’angle DCB ; DCA est la somme des deux autres, BCA la différence entre DCA et BCD ; DCA — BCA + BCD, BCA — DCA — BCD. Si BCD — BCA, DCA est le double de BCA : on comprend ce qu’on doit entendre par le triple d’un angle, sa moitié, son tiers, etc.

158. Lorsqu'une droite BC (fig. 6 et 7) tombe sur une autre droite AE, elle fait deux angles BCE, BCA qu’on appelle de suite ou adjacents. S'il arrive (fig. 7) que ces angles soient égaux, c’est-à-dire qu'en pliant la fig. selon CB, la droite CE s'applique sur CA, les deux angles sont appelés droits, et on dit que la ligne CB est perpendiculaire sur AE.

159. Tous les angles droits sont égaux. Supposons BC (fig. 8) perpendiculaire sur AË, et be sur ae, c’est-à-dire les angles BCA=BCE, bca — bce. Transportant l’une des fig. sur l'autre, appliquons le point c sur G, et la droite ae sur AË; bc devra se coucher sur BC. Car si on suppose que bc prenne la position CF, on aurait BCA — BCE, FGA = FCE (hypo.), ce qui ne peut être; car BCA étant <7 FCA, BCE devrait aussi être < FCE. “À

160. Deux angles de suite BCE, BCA (fig. 6) ont pour somme deux angles droits : c’est ce que met en rs la Parpeneu ait DC élevée en C sur AE.

Réciproquement , si la somme de deux angles donnés vaut deux droits, et qu’on accole ces angles comme BCE, BCA (fig. 9), pour les ajouter (n° 157), les deux côtés extrêmes AG, CE seront en ligne droite. Car si cela n’était pas, que, par ex., CH (au lieu de CA) fût le prolongement de CE , on aurait BCE +- BCA = 2 droits (kypo.), BCE — BCH = 2 dr. (n° 160) ; dont en égalant les premiers membres, BCA — BCH, ce qui est absurde,

L'angle BCE (fig. 6) qui est plus petit que l'angle droit DCE est dit aigu ; l'angle BCA qui est plus grand que l'angle droit DCA est dit obtus. Deux angles adjacents BCE, BGA, ou dont la somme vant deux droits, sont appelés supplémentaires : deux angles sont dits complémentaires quand leur somme vaut un droit, comme BCE et DCE (fig. 6).

Il est visible que tant de lignes qu’on voudra CB, CF, CD, dans le même plan (fig. 10), qui tombent en un point C de la droite AE, font des angles BCE, BCF, FCD, DCA, dont la somme vaut deux droits : c’est ce que montre la perpendiculaire CH. - |

161. Lorsque deux droites BD, AE (lg. 11) se coupent, les angles BCE, ACD opposés au sommet sont éqaux : car BCE LL BCA —2 dr. (n° 160), ACD + BCA — 2 dr. Donc BCE — ACD.

En prolongeant en D (fig. 7) la perpendiculaire BC à AE, comme l'angle droit BCE — ACD, on voit que l'angle ACB — ACD ; AE est donc réciproquement perpendiculaire sur BD, et les quatre angles de la fig. sont droits et égaux.

Tant de lignes qu'on voudra AC, BG, DC... (fig. 12) dans un même plan, qui concourent en un point C, forment des angles ACB, BCD, DCE, etc., dont la somme vaut quatre droits ; car les deux perpendiculaires MN, PQ, menées par C, forment quatre angles droits qui embrassent toutes les surfaces angulaires du plan.

162. Deux lignes droites ne suffisant pas pour enclore un espace (n° 156), il faut au moins une 3° ligne pour limiter l'étendue. La fig. ainsi formée, telle que ABC (fig. 16) est appelée un Triangle : elle a trois côtés AB, AC, BC, et trois angles A, B, C. Si les trois côtés sont égaux (fig. 14), le triangle est équilatéral ; il est isocèle (fix. 15) quand deux côtés seulement sont égaux, AC — BC; enfin il est scalène lorsque les trois côtés sont inégaux, ABC (6g. 13). Quand il a un angle droit À (fig. 16), le triangle est rectangle; on donne le nom d’hypoténuse au côté BC qui est opposé à cet angle droit A.

Le sommet C (fig. 13) de l’un quelconque des angles est le sommet du triangle, Va base AB est le côté opposé ; la hauteur est la perpendiculaire CD abaissée du sommet G sur la base AB.

163. Deux triangles ABC, abc (fix. 24) sont égaux lorsque deux de leurs côtés sont respectivement égaux chacun à chacun, comprenant un angle égal, AB — ab, AC — ac, À — a. En effet, transportons le triangle abc sur ABC, en faisant tomber le côté ab sur son égal AB, savoir, & sur À, bsur B; comme l'angle & — A (hypo.), le côté ac