DROITES, ANGLES, TRIANGLES

prendra la direction AC : mais les longueurs ac, AC sont égales (Aypo.), done c tombera sur C, et par suite bc se confondra avec BC ; les surfaces abc, ABC coïncideront en toutes leurs parties, d’où B—b, C—= c, BC — bec.

164. Lorsqu'un triangle ABC (fig. 15) est isocèle, les angles À et B opposés aux côtés égaux AC, BC sont égaux, A = B. En effet, tirons la droite CD qui coupe en deux parties égales l’angle C du sommet, savoir, angle ACD — BCD ; en pliant la fig. selon CD, le côté CA prendra la direction CB ; les côtés CA , CB , étant égaux (kypo.), coïncideront; À tombera sur B, AD sur DB; ainsi À — B.

Done, 1° Les trois angles À, B, C (fig. 14) d’un triangle équilatéral sont égaux.

2° L'angle ADC — BDC (fig. 15), c’est-à-dire que ces angles sont droits (n° 158), et AD — BD, ainsi la droite CD qui divise par moitiés l'angle C du sommet d'un triangle isocèle , est perpendicnlaire à la base AB et passe par son milieu D.

165. Réciproquement , dans un triangle ABC (fig. 17), si l’angle A — ABC, les côtés opposés AC, BC, sont égaux (le triangle est isocèle). Car si l’on n’a pas AG — BG, prenons sur le plus grand de ces côtés une longueur AD égale à l’autre côté BG, et tirons BD. Les deux triangles ABD, ABC ont le côté commun AB, le côté AD — BC (constr.) et l'angle A — ABC (kypo.); donc ces deux triangles devraient être égaux (n° 163), ce qui est évidemment absurde,

Donc un triangle qui a ses trois angles égaüx est équilatéral.

166. Deux triangles ABC, abc (fig. 18) sont égaux lorsque leurs trois côtés sont égaux chacun à chacun, AB = ab, AC = ac, BC—= be. En effet, transportons l’un des triangles sur l’autre, en faisant coïncider des côtés égaux AB, ab, et des sommets A, & et B, b, sem- blablement placés; ïl s’agit de prouver que les surfaces se confondront ensemble. En effet, si cela n’a pas lieu , ilne pourra arriver que trois cas : Las

1° Si les triangles tombent comme ACB, ACD (fig. 19), les sommets G et D étant au dehors des surfaces respectives ; comme le côté AC — AD (Aypo.), le triangle ACD est isocèle, et l’angle ACD — ADC (n° 164); d’ailleurs, l'angle BCD << ACD ou ADC. D'un autre côté, BD — BC (hypo.), d'où l'angle BCD = BDC; ainsi l'angle ADC <° BDC ou BCD. Ces deux conséquences contradictoires prouvent que ce cas est impossible,

2 Si l’un des triangles ABD (fig. 20) est renfermé dans l’autre ACB, tirez DC et prolongez AC et AD vers EetF. Le côté AD— AC (hypo.); donc l'angle ACD — ADC (n° 164), et aussi les suppléments sont égaux, ECD — FDC (n° 160). Or, ECD > BCD, d'où FDC > BCD. D'ailleurs BD — BC (Aypo.), d’où l'angle BCD = BDC; et comme FDC < BDC, on a FDC << BCD : conclusions encore contradictoires.

3° Enfin, le sommet D (fig. 21) de l’un des triangles ABD, ne peut tomber sur le côté BC de l’autre ABC, puisqu'on aurait BD — BC, ce qui est impossible.

167. Prolongeons l’un des côtés AC (fig. 22) du triangle ABC, l’angle extérieur BCD est toujours plus grand que chacun des angles intérieurs opposés B et À. Car, par le milieu I de BC, et le sommet A, tirons une droite indéfinie AIF, prenons IF — AI et tirons FC. Les triangles IFC, AIB sont égaux, à cause de AI — IF (constr.), BI — IC (hypo.) et les angles I opposés au sommet; donc l’angle B— ICF < ICD.

En prolongeant le côté BC vers G, on prouve de même que l'angle ACG > BAC; et comme l'angle BCD est opposé au sommet de ACG, on a BCD ss BAC.

Il en résulte que 1° la somme de deux angles quelconques d’un triangle est plus petite que deux droits : car BAC <[ BCD; ajoutant des deux côtés BCA, on a BAG -L BCA <[ BCD — BCA ou 2 droits.

20 Un triangle a au moins deux angles aigus ; le 3° angle peut être : aigu, droit ou obtus.

8° Par un point A (fig. 23) pris sur le côté d’un angle aigu 4CO, la perpendiculaire AD, menée sur l’autre côté CO, tombe dans la surface de cet angle : car si cette perpendiculaire pouvait tomber comme AB * dans l'angle obtus ACE, le triangle ABC aurait un angle droit B, et un angle ACB obtus, dont la somme serait © 2 droits.

4° La perpendiculaire menée du point A pris sur le côté d'un angle obtus ACE tombe au dehors de cet angle , c’est-à-dire sur le côté CE prolongé.

5° La perpendiculaire CD (fig. 13X menée du sommet C d’un triangle, tombe au dedans de la surface quand les angles intérieurs à la base sont tous deux aigus : elle tombe au dehors, quand l’un de ces angles est obtus.

6° D’un point donné, on ne peut mener qu’une seule perpendiculaire à une droite ED (fig. 23); car cela est évident si le point est en D