MESURE DES DISTANCES

sur la ligne ED ; et s’il est au dehors, en A, en sorte qu’on ait deux perpendiculaires AC et AD sur EO, les angles en D et Csont droits, ce qui est démontré impossible.

168. Deux triangles sont égaux, quand deux de leurs angles sont respectivement égaux chacun à chacun , et qu’ils ont en outre un côté égal placé de la même manière par rapport à ces deux angles.

1°* Cas. Si les angles sont adjacents au côté, soit AB — ab (fig. 18), À = a, B— b. En portant le triangle abc sur ABC, et faisant coïncider les côtés égaux ab, AB, comme l'angle À — a, le côté ac prendra la direction AC. De même, puisqne l'angle B— b, le côté bc prendra la direction BG : ainsi le point c tombera sur C, les surfaces abc, ABC couïncideront, d’où BG — bc, AG — ac, C = c.

2e Cas. Si le côté est opposé à l'undes angles, soit AB— ab (fig. 24), l'angle À = a, et C —c: supposons que AC soit > ac; prenons AH — ac, et tirons BH. Le triangle ABH — abc, à cause de AB — ab (hypo.) ; AH = ac (constr.), et l'angle A — a (hypo.) : done l'angle AHB— c; or, c— C (kypo.), donc AHB — C, ce qui est impossible, puisque l'angle AHB est extérieur au triangle BHC (n° 167). Donc AC — ae, et les triangles ABC, abc sont égaux (n° 163).

Donc deux triangles rectangles sont égaux quand , outre les hypoténuses égales, ils ont encore un angle aigu égal. |

Mesure des distances.

169. Dans tout triangle BAC (fig. 27 ), de deux côtés, le plus grand est opposé au plus grand angle. Si BC © AC, prouvons que l'angle CAB > B. Prenons sur CB la partie CD — AC, et tirons AD : l'angle ADC, extérieur au triangle ADB , est > B (n° 167); mais dans le triangle isocèle ACD , l'angle ADC — CAD ; donc l'angle CAD > B, et à fortiori CAB > B.

Donc les trois angles À, B, C (fig. 13) d’un triangle scalène sont inégaux,

Réciproquement (fig. 27), soit l’angle CAB © B, il faut que BC soit > AC: car ces deux côtés ne peuvent être égaux, puisque alors l'angle CAB serait — B (n° 164); on ne peut non plus avoir BC< AC, car l'angle CAB serait € B, contre l'hypothèse,

170. La longueur d’une droite qui joint deux points en est la plus

| courte distance.

ù MATHÉM, PURES. T, 1, | 14

. 1° Un côté AB (fig. 28) de triangle ABC, est toujours plus petit que la somme des deux autres, AG + BC. Prolongeons AC, prenons CD = CB, et menons BD. Le triangle CBD est isocèle, ainsi l’angle D — CBD (n° 164) et l'angle ABD” CBD est aussi > D; donc . (no 169) le côté AB <° AD ou AG --CB.

2° Comparons la droite AB (fig. 25) au contour AICHB formé de lignes droites brisées : menons du point À les droites AC,AH à tous les sommets; nous avons AG <[ AI —- IC (1°); de même, AH << AC CH; d’où l’on tire à fortiori AH < AI HE IC + CH; enfin AB << AH + HB, d'où AB < AI + IG + CH EL HB.

8° Enfin s’il s’agit du contour courbe AICHB, on tirera des droites qui joignent les points deux à deux , et la somme de ces lignes sera > AB : mais puisque le contour formé de lignes brisées peut approcher autant qu’on veut de la courbe, en rendant les côtés plus courts et plus nombreux, en même temps qu’on allonge de plus : en plus le contour, il est clair que la droite AB est plus courte que le chemin courbe.

171. Si d’un point D (fig. 26) intérieur au triangle BAC, on mène des droites DA, DB, aux extrémités de la base AB, le chemin extérieur AC + CB est plus long que l’intérieur AD + DB, et l’angle C'est < ADB. Prolongeons AD en F, nous avons AF<[AC CF (n° 170, 1°); ajoutant FB es deux parts, comme CF + FB = CB, on à AFFB< AC + CB. De même, DB<DF + FB ;ajoutant AD, . on a AD + DB < AF + FB : donc à fortiori AD + DB <[ AC + CB.

D'un autre côté, l'angle ADB, extérieur au triangle DFB,, est > DFB (n° 167) : de même, l'angle DFB, extérieur au triangle AFC, est > CG. Donc ADB > C.

172. Un contour ACDB (fig. 2) est convexe ou concave, lorsque toute droite IK ne peut le couper en plus de deux points : la concavité est tournée du côté de cette droite IK ; la convexité regarde l’espace extérieur. .

De deux-chemins convexes ACDB, AEFGB, qui mènent de 4 à B, celui qui entoure l’autre est le plus long. Car en prolongeant EF, on a visiblement ICDK > IK, d'où ACDB > AIKB : de même, AI L EI > AE, d’où AIKB © AEKB ; et ainsi de suite; on arrive enfin à ACDB > AEFGB.

La même chose a lieu pour deux contours curvilignes AEMB > ACB (fig. 8) : car en menant une droite EF qui touche ACB en un point CG, on a EF <°EMF (n° 170) ; d’où AECFB << AEMEB.