MESURE DES DISTANCES

D'autres tangentes ik, lm, donneront Atïklm B << AMB ; et ainsi de suite, en diminuant de plus en plus le contour, à mesure que les côtés rectilignes deviennent plus courts, etapprochent davantage de la courbe ACB : donc enfin AMB > ACB.

173. Lorsque deux triangles ABC, abc (fig. 29) ont deux côtés respectivement égaux, AB — ab, AC — ac, et que les angles compris entre ces lignes sont inégaux BAC © bac, le 8° côté est le plus grand dans le triangle qui a l'angle opposé le plus grand, BC © bc. En effet, faisons l'angle CAD — bac, prenons AD — AB — ab, et menons CD; le triangle CAD — cab, car AG — ac (hypo.), AD = ab et angle CAD — a (constr.). Ainsi be = CD qu'il faut prouver <7 BC. Tirons AI qui coupe par moitiés l'angle BAD ; AT tombe dans l'angle BAC > CAD ; par le point I de section avec BC, tirons ID. Le triangle AID — AIB, car AB — AD (constr.), le côté AT est commun, et les angles en À sont égaux (constr.); donc ID—IB; enfin, CD<CI+ID ou BC.

-174. Réciproquement, si deux triangles ABC, abc (fig. 29) ont deux côtés respectivement éqaux AB—ab, AC — ac, et si les 8° côtés sont inégaux BC > bc, l'angle a opposé au moindre côté be est <' BAC. Car si cela n’est pas, l'angle a est — ou > BAC : or si à — BAC, on doit avoir BG — bc ; et sia > BAC, il faut que RC soit < bc, conséquences contraires à la supposition. Donc a <° BAC.

175. Mesurer une droite A (fig. 80), c’est chercher (n° 36) combien sa longueur A en contient de fois une autre B connue et prise pour unité. Le plus souvent l'unité B n’est pas contenue un nombre exact de fois dans A, et en portant B plusieurs fois le long de A, on trouve un reste R <°B : la mesure de la distance A est alors le Rapport de A à B, qu’on trouve ainsi qu'il suit. On porte le reste R sur B pour trouver combien de fois B contient R ; et s’il y a un autre reste R’, on le porte sur R; puis le nouveau reste R” est porté sur R’; et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on arrive à un reste r qui soit exactement contenu dans le reste précédent. Ce reste r est visiblement la commune mesure de A et de B , c’est-à-dire est contenu un nombre exact » de fois dans À, et n de fois dans B, d’où A — mr, B—nr. Le rapport À == — ae — et on à À — = B. Lorsque , par exemple, À est les ? de B, cela signifie qu’en coupant B en 7 parties égales, A contient juste 5 de ces parties ; la mesure de la distance est A — >? de l'unité B.

L'analogie de cette opération avec celle du commun diviseur de deux nombres (p. 26) est facile à saisir, puisque porter B sur A autant de fois qu'on peut, c'est chercher le quotient de la division de A par B, etc. ”

Mais s’il y a toujours un reste à chaque division, l'opération n’a plus de bornes, et le rapport de À à B est incommensurable, et impossible à exprimer par le rapport de deux nombres entiers, parce qu'il n’y a aucune longueur, si petite qu’elle soit, qui puisse être exactement contenue à la fois dans A et B. On se contente ordinaire- | ment d’une approximation ; en népligeant celui des restes successifs qu'on juge assez petit pour ne pas intéresser le résultat (no 63).

En général, on peut toujours représenter des lignes par des nombres abstraits, en composer des formules , et les soumettre aux règles ordinaires des calculs numériques. Dans ces expressions, on entend par la ligne À, le nombre entier ou fractionnaire qui est le rapport de cette longueur A à celle de l’unité B. Réciproquement, les valeurs numériques peuvent être représentées par des lignes.

Du Cercle, de la Mesure des Arcs et des Angles.

176. La ligne circulaire est celle dont tous les points ABDEF (fig. 81) sont dans un plan (n° 154), et à égale distance d’un point intérieur C qu’on appelle centre. Le contour de cette courbe est une circonférence ; la surface qui y est renfermée est un cercle; les droites égales CA, CB, ... qui partent du centre et se terminent à la courbe sont des rayons; un diamètre AË est une droite qui passe par le centre et a ses deux extrémités à la circonférence; c'est un double rayon. Tous les diamètres d’un cercle sont égaux.

Une partie AGB de la circonférence est un arc; la droite AHB qui joint les bouts de l’arc est sa corde; la surface ACBG comprise entre deux rayons et l'arc est un secteur ; celle AGBH qui est enfermée par l'arc et sa corde est un segment.

De là on conclut que 1° un diamètre est la plus grande des cordes, car BC —L CA © BA (n° 170, 1°); or BG— CE, donc CE + Et ou EA > BA.

2° Tout diamètre AE coupe le cercle en deux parties égales ; en effet, en pliant la fig. suivant AE, les deux demi-cercles ABE, AFE

e CERCLE, ARCS, ANGLES. 215

doivent coïncider, car sans cela tous les points de la courbe ne se- ‘aient pas à égale distance du centre C.

3° Par la même raison, deux cercles dont les rayons sont égaux, peuvent être appliqués l’un sur l’autre en coïncidence, en supérposant les centres : deux arcs de ces cercles doivent aussi se coucher l’un sur l’autre.

4° Deux diamètres perpendiculaires EA, NF coupent la circon férence en quatre ares égaux, qu’on appelle quadrans.

177. Quand deux angles C, c (fig. 32) sont égaux, les arcs AB, ab, décrits de leurs sommets pour centre, avec le même rayon, sont égaux. C’est ce qu’on reconnait en appliquant les deux fig. l’une sur l'autre, et ch sur CB ; car le rayon ca couvre CA, et l'arc ca se couche sur CA ; il y a coïncidence entière.

Réciproquement, si deux angles C, c, comprennent des arcs égaux, ces angles sont égaux. Cela se voit de même.

1° Les arcs égaux ont des cordes égales, quand les rayons sont égaux; car soit l’arc AHL— DIF (fig.33); menonslesrayons CD, CA, CL, CF; les triangles ACL, DCF sont égaux, comme ayant deux côtés égaux, comprenant un angle égal ; donc corde AL = DF.

2° Réciproquement, les cordes égales sous-tendent des arcs égaux ; en effet si la corde AL = DF, en tirant les rayons, les triangles CAL, CDF sont égaux, comme ayant les trois côtés respectivement égaux (n° 166) ; ainsi l'angle ACL — DCF, et l'arc DIF — AHL.

3° Construire un angle c (Gg. 82) qui soit égal à un angle donné C? Tirez une ligne indéfinie ch, puis avec un rayon quelconque, et des sommets C, c pour centres, tracez les arcs AB, ab, celui-ci-indéfini. Portez de b en a, sur l’arc ab, la longueur de la corde AB ; comme les-cordes AB et ab sont égales, les arcs sont égaux ; donc en tirant ca, les angles C et c sont égaux. Si l’on superpose les deux figures, elles seront en coïncidence l’une sur l’autre.

178. Ajouter deux ungles donnés. Faites d’abord l'angle BCA (fig. 34) égal à l’un des angles proposés, puis BCD égal à l’autre, en y plaçant des arcs np, nm respectivement égaux à ceux qu'on tracera du sommet des angles donnés : alors DCA = BCA + BCD ; et si ces derniers angles sont égaux, vous aurez le double de l'un d'eux : on en aurait de même le triple, etc.

La soustraction est aussi facile à faire, car angle BÇA—DCA—BCD. Enfin les opérations qu’on veut exécuter sur les angles se font sur les ares décrits de leurs sommets pour centres avec le même rayon.

179. Mesurer un arc AGD (fig. 31), c'est chercher son rapport à un autre ABN, de même rayon, et pris pour unité connue (nes 36, 71). Si ces arcs étaient rectifiés, c'est-à-dire étendus en ligne droite, on les traiterait comme il a été dit n° 175 : mais la rectification n’est nullement nécessaire ici. On porte sur l’are AD, autant de fois qu’on peut, une ouverture de compas égale à la corde de l’unité d’arc AN, et on obtient ainsi le nombre de fois que cette unité est contenue dans l’arc AB. S'il y a un reste R, on porte de même la corde de cet are R sur l’arc AN pris pour unité, et ainsi de suite, pour trouver la commune mesure des arcs, si elle existe ; enfin tout se passe comme pour les droites, même dans le cas où les arcs seraient incommensurables. Cette construction résulte de ce que les arcs égaux répondent à des cordes égales.

On peut, comme on voit, ajouter, soustraire, multiplier, diviser des arcs, enfin les représenter par des nombres, et en composer des formules.

Quant à l’unité d'arc, elle est arbitraire ; on préfère ordinairement le quadrans AN, ou quart de la circonférence.

Comme on prend le quadrans pour unité d’arcs, on prend pour unité d’angles l’angle droit que dans la suite nous désignerons par D.

180. De deux arcs moindres que la demi- ro P rer el le plus grand a une corde plus grande. Gar si l'arc AHL © DIB (fig. 33), prenant l'arc DIF — AHL, et menant la corde DEF, cette corde DF = AL (n° 177, 1°) : or les deux triangles DCB, DCF ont deux côtés égaux qui sont des rayons, comprenant l’angle DCF © DCB; donc le 3° côté DF > DB (n° 173).

Réciproquement, la corde la plus grande sous-tend le 2H grand arc; car si la corde AL > DB, les triangles ACL, DOB ont deux côtés égaux, et le 3° AL > DB, dont l’angle ACL > DCB, et l'arc AHL > DIB.

181. Le rapport de deux angles BCA, DON (fig. 35) est le même que celui des arcs ba, dn compris entre leurs côtés, et décrits de leurs sommets comme centres, avec le même rayon.

1° Siles arcs ba, dn sont commensurables, leur commune mesure

dx sera contenue # fois dans ba, p fois dans dn, de sorte que ba m à 52 60 RES ni Par chaque point de division +, y . .., menons aux soim-

mets O, C, des lignes Ox, Oy...; les angles proposés seront de