CERCLE, ARCS, ANGLES

mème goupés en » et p angles égaux æ+0Od, yOx...; donc on a

BCA DON — D: Ces deux relations donnent *

BCA ba —— = + « «à (A DON dn ke

2° Si les-arcs sont incommensurables, divisons l’un d'eux nd en un nombre quelconque p de parties égales dx, æy ..., et portonsles sur l’autre arc ba; soit 2 le point de division le plus voisin de a; menons CZ. Cela posé, les arcs dn, bi étant commensurables,

ICB ben à 4

RE 7 3 Mai re) l'angle ZCB — BCA+1CA, l'arc bi = ba + ia; donc

BCA 1CA ba ia DON 1 DON — dn 70

Or, /CA et ia varient avec le nombre p des divisions de l'arc nd, et peuvent être rendus aussi petits qu’on voudra, tandis que les autres quantités restent constantes ; la 2e et la 4° fraction sont donc indéfiniment décroissantes, et l’on a, en passant aux limites

s BCA ba (n 113), DON —= Le.

182. Pour trouver le rapport de deux angles, il n’est pas nécessaire de faire sur eux l'opération analogue à celle qui a été indiquée sur les lignes (n° 175), et qui serait ici fort embarrassante. On substitue au rapport cherché celui des arcs, qui est le même. Concluons de là que, 1° le rapport des surfaces des secteurs est le même que celui des arcs.

2° Si l’on prend pour unité d'arc dn (fig. 35), l'arc qui est compris entre les côtés de l’unité d'angle DON, dn et DON étant chacun l’unité de leur espèce, notre proportion (4) donne BCA — ba. Ainsi (n°° 36 et 71), tout angle a pour mesure l’arc compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre **, On prend ordinaire-

* On ne doit pas oublier que l'égalité de deux rapports constitue une proportion (n°71). En Géométrie, l’usage a prévalu de lire ainsi ces sortes d'expressions, BCA est à DON comme ba est à dn, et de préférer cette locution à l'équivalente , BCA divisé par DON est égale à ba divisé par dn. On doit en dire autant dans toute la Géométrie élémentaire.

** Ceci suppose une condition tacite, car l'angle B AC ne peut être égal à l’arc ba ; mais dans l'équation BCA = ba, ce n'est plus un angle et un are qui entrent, ce sont deux

216 LIGNES. " ment pour unités d'angle et d'arc l'angle droit et le quart de circonférence qu’on nomime quadrans. ;

8° Si du sommet C(fig. 836) des angles DCA, BCA on décrit deux

1h arcs abd, a'b'd', le rapport re est-— ge, ou — sa deur du rayon Ch ou Cb'est indifférente dans la mesure des angles; | ab ad donc TRE TRS circonf. entières. On dit que ces arcs sont Semblables.

183. Les angles tracés sur le papier se mesurent à l’aide du Rapporteur ; c'est un demi-cercle divisé en une quantité quelconque de parties égales, propres à donner le rapport des arcs au quadrans ; ce nombre exprime la mesure des angles, ou leur rapport à l'angle droit. Un semblable demi-cercle, porté sur un pied et pourvu d’alidades mobiles autour du centre, pour pouvoir être dirigées aux objets éloignés, se nomme Graphomètre, et sert de mème à mesurer les angles dans l’espace. Au reste, on a construit, dans ce but, des instruments de formes très-variées , et dont nous ne donnerons pas ia description, pour ne pas nous écarter de notre sujet (voy. ma Géodésie).

On a coutume de diviser le quadrans en 90 parties ou degrés, chaque degré en 60 minutes, et la minute en 60 secondes; un angle, ou arc de 18 degrés 54 minutes 55 secondes, s'écrit ainsi : 18° 54 55”. Comme les tables et les instruments ont été construits sur ce mode de division , nous le préférerons à celui qui est plus moderne et plus simple pour les calculs, qui consiste à partager le quart de cercle en 100 Grades, le grade en 100 minutes, la minute en 100 secondes. Dans ce système, 18° 54° 55”’ revient à 185,5455 ou 0,185455 quadrans.

Le"

La gran-

les arcs ab et ab’ sont entre eux comme leurs

nombres abstraits qui indiquent combien de fois l'angle et l’arc contiennent l'unité de leur BCA DON

. C'est ce qui a également lieu dans toute formule ; les lettres qui y entrent ne

espèce DON et dn : de sorte que BCA = ba signifie en effet la même chose que ba dn sont que des nombres abstraits qui représentent les rapports des choses mesurées à leur unité. j

C'est aussi improprement qu'on dit qu'un arc est la mesure d’un angle, puisqu'on ne peut établir de rapports entre deux choses hétérogènes : on doit entendre par là queles

angles croissant dans le même rapport que les arcs, le nombre qui exprime la mesure de langle (n° 36), exprime aussi celle de l'arc.