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PERPENDICULAIRES , OBLIQUES, PARALLÈLES. 217 + Des Perpendiculaires, des Obliques et des Parallèles.

184. Par un point A (fig. 23), ruenez la perpendiculaire AD sur EF, et les obliques AC, AF, AB. 1° La perpendiculaire AD est plus courte que toute oblique AC; 2 les obliques AC, AF qui s’écartent également du pied D dela perpendiculaire sont égales, et font des angles intérieurs aigus et égaux ; 3° de deux obliques AC, AB, celle qui s’écarte le plus de ce pied D est la plus longue, et fait, du même côté AD, un angle aigu plus petit, ABD <° ACD.

1° Puisque le triangle ACD est rectangle en D, cet angle D est > ACD (ne 167, 1e), d’où AD < AC (n° 169); la plus courte distance d’un point À à une droite E O est sa perpendiculaire AD : tous les angles ACD, ABD sont aigus.

2° Si CD — DPF, lestriangles ACD, AFD, qui, outre le côté commun AD, et les angles droits D, ont le côté CD — DPF, sont égaux ; d'où AC — AF, angle ACD — AFD..

3° Lorsque BD > CD, l’angle ACB est obtus (n° 167, 4°), donc cel angle ACB © ABC (n° 167, 2°), et par suite AB > AC. L’angle ABE, extérieur au triangle ABC est > ACB, et prenant les supplements, ABC <[ ACD. Ainsi, à mesure que les obliques s’écartent de la perpendiculaire AD, elles deviennent plus longues, etfont avec EF des angles aigus du côté de AD, de plus en plus petits.

Donc étant donné un point À sur une droite AD perpendiculaire à EO, de ce point , on ne peut mener plus de deuxsobliques égales entre elles.

185. Réciproquement la ligne AD est Ron Bi LE lait sur EF, lorsqu'elle est la plus courte distance de A à EF. Car si une autre ligne AC était la perpendiculaire, elle serait < AD, contre lhyputhèse.

De même, si AC — AF, il s'ensuit que CD — DF; puisque si CD était > ou < DF, AC serait aussi > ou < AF.

Enfin si AB © AC, on duit avoir BD > CD, puisqu’en supposant BD = ou << CD, il faudrait qu'on eùt BA — ou < CA, contre l'hypothèse.

166. Concluons de là que si AD (fig. 37) est perpendiculaire au milieu D de CF, tout point G, A, de AD est autant éloigné de C que de F, AC—AF, GC — GF : car ces droites sont des obliques qui s’écartent également du pied D.

187. Tout point I situé hors de la perpendiculaire AD au milieu de CF, est plus voisin de celle des deux extrémités F qui est du même côté que ce point I; car menant IC, IF et FG, l'angle GCF — GEC; donc l'angle IFC © ICF, et le côté IC > IF (n° 169).

Puisque la propriété du n° 186 d’avoir ses points également distants des points C et F n’appartient qu’à la perpendiculaire sur le milieu de CF, elle la caractérise ; c'est-à-dire que lorsque deux points À et H (fig. 38) d'une droite AH sont chacun autant ‘éloignés de C que de F, cette droite AH est perpendiculaire sur le milieu de CF.

Pour mener une perpendiculaire AH au milieu d’une droite CF (fig. 88), des centres C et F, avec le même rayon quelconque, tracez deux arcs de cercle : si les rayons ont été pris plus grands que la moitié de CF, ces arcs se couperont en un point À , qui sera sur la perpendiculaire demandée. Refaites la même construction au-dessous de CF avec le même rayon; les ares se couperont en un point H de la perpendiculaire, qui sera AH. On peut aussi trouver cette ligne, en prenant d'autres rayons égaux, qui donnent des arcs se coupant en I, car I sera aussi un des points de la perpendiess laire.

Cette construction donne aussi le milieu D d’une longueur CF.

188. Par un point donné mener une perpendiculaire AH (fig.39, 40) sur une droite indéfinie OB.

1° Si ce point est en D sur la droite (fig. 39), prenez DC — DEF à volonté, et des centres C et F avec le même rayon quelconque, tracez deux arcs qui se coupent en À, la droite AD sera la perpendiculaire sur DB.

2° Si le point donné est en À (fig. 40) hors de la droite DB, du centre À avec un rayon quelconque suffisamment grand, tracez un: | arc CF, coupant DB aux points C et F; de ces points comme centres et avec un même rayon arbitraire, tracez deux arcs qui se coupent soit en H, soit en I. La droite AI ou AH est la perpendiculaire demandée. |

La perpendiculaire AD (fig. 37) donne le point D qu'on appelle la projection de À sur CF : chaque point de CA a de même sa projection , et la longueur CD est la projection de AC, de CG.... sur! la droite indefinie CF.

189. Étant donnés deux points G et B (fig. 41) et une droite AK