PERPENDICULAIRES, OBLIQUES, PARALLÈLES

indéfinie, trouver sur cette ligne un point F, tel qu'en le joignant aux points donnés G et B, les droites FG, FB fassent des angles égaux avec AK, savoir, angle GFA — BFK. Menez du point B la perpendiculaire BD sur AK, prenez CD —CB, ettirez la droite DG; cette droite coupera AK au point F demandé : car les triangles FCD, FCB sont égaux, d’où l’angle BFC = CFD — AFG.

Dans l'angle NAC (fig. 42) on donne les points B et G, et on demande de-tirer les droites BF, FL, LG qui fassent des angles égaux deux à deux avec les côtés de l'angle A, savoir, BFC — LFA, et FLA = GLN. Reproduisez la construction précédente pour le point B et le côté AC, c’est-à-dire prenez CD — BC sur la perpendiculaire BD à AC. Tout point F de AC donne deux droites FD, FB, également inclinées sur AC : ainsi la droite cherchée LF doit passer par le point D, qui remplace B dans la recherche proposée; en sorte qu'il ne s’agit plus que de savoir tirer du point D deux lignes DL, LG, également inclinées sur AN : il faut donc encore reproduire la construction précédente pour le point D etla droite AN. Ainsi, on tirera DH perpendiculaire sur NA prolongée, on prendra ID — IH ; par le point H, on mènera HG qui donnera le point L, puis LD qui donnera le point F, enfin la droite FB : donc BF, FL et LG rempliront les conditions voulues.

La même construction représentée fig. 43 donne le contour BFLMK, qui joint les points extrêmes Bet K par une suite de lignes brisées également inclinées deux à deux sur les côtés successifs de la fig. MNAC. On pourra opérer de même pour quatre droites formant trois angles, etc... Ce tracé résout complétement le problème des bricoles au jeu de billard,

190. On dit que deux droites AB, CD (fig. 45) sont parallèles | quand, situées dans un plan , elles ne se rencontrent pas, quelque loin qu’on les prolonge. La droite EF qui les coupe est appelée sécante; les angles EHB, HID, d'un même côté de la sécante, l’un en dehors, l’autre en dedans des parallèles, sont dits correspondants ; : les angles alternes sont situés des deux côtés de la sécante; les 2n- | ternes sont au dedans des parallèles, les externes sont en dehors; : les alternes-internes sont , tels que AHI, HID de part et d'autre de | la sécante, et entre les parallèles ; les alternes-externes, tels que | EHB, CIF, sont aussi des deux côtés de la sécante, mais en dehors | des parallèles : dans ces deux derniers cas, les angles ont leurs | ouvertures tournées en sens contraires, et leurs sommets sont

situés sur les deux parallèles. Les angles internes BHI, HID, etles externes EHB, FID sont d’un même côté de la sécante.

Deux droites AB, CD (fig. 45) sont parallèles quand, étant dans un plan et coupées par une sécante EF, elles remplissent l’une des cinq conditions suivantes :

1° Les angles correspondants égaux, EHB — HID ; 2° les angles alternes-internes égaux, AHI — HID ; 3° les angles alternes-externes égaux, EHB — CIF ; 4° la somme des angles internes d’un même côté; BHI + HID —92 droits ; 5° la somme des angles externes d’un même côté, EHB +- DIF — 2 droits.

1° Cas. EHB = HID ; car si les droites AB, CD, se rencontraient en O (fig. 44), on aurait un triaugle HOT, où l’angle extérieur FES serait > HID (n° 167), contre l'hypothèse.

2° Cas. 4e — HID; si le triangle HOT était possible, on aurait l'angle extérieur AHT © HID, contre la supposition.

3° Cas. EHB — CIF ; ces angles étant opposés au sommet avec les précédents, c’est comme si l’on donnait AHI — HID.'

4° Cas. BHI + HID = 2 droits ; on sait (n° 167, l°)queletriangle HOT est alors impossible.

5° Cas. EHB+ DIF = 2 droits, comme HID <- DIF —2 1 on en conclut EHB — HID, qui rentre dans le 1°" cas.

Deux droites AB, CD (fig. 45) perpendiculaires à une troisième LM sont parallèles, puisque la figure remplit les cinq conditions ci- -des= sus. Et en effet, si les droites AB, CD se rencontraient en un pointO: (fig. 44), OH, OI seraient deux perpendiculaires menées du point On sur EF, ce qui ne se peut (n° 167, 6°). ‘4

191. Les réciproques de toutes ces propositions sont vraies. En effet , un angle BCA (fig. 46), quelque petit qu’il soit, est toujours. : plus grand qu’une bande BCEF formée par deux perpendiculaires | BC, EF, menées à la droite CD. Car si l’on décrit du sommet C l'arc de cercle bd, avec un rayon quelconque, l’angle BCA sera contenu un nombre fini # de fois dans l’angle droit BCD, puisqu'il sera contenu autant que l'arc ba l’est dans le quadrans bad. Portons#n parties égales CE, EG,.... le long de la droite indéfinie CD, jusqu'en un point M ; puis abaissons sur CD des perpendiculaires FE HG ,....NM, en tous les points de division. Nous aurons ainsi n bandes BCEF, FEGH, etc., toutes égales entre elles ; car en pliant la figure selon la droite FE, il est évident que les bandes BE, FG se superposeront en coïncidence parfaite. Ainsi, la surface del’angle