L BF — : (BC + CF) = :(BC+ DE

2° Si 4 est situé hors du cercle (fig. 60), la mesure de l'angle A= BEF est+ BF= +(CB — CF) = <(CB— ED).

Ainsi, la mesure de l’angle 4 est + (a +b), en faisant a = BC, b — DE, Gette formule est même générale, car b —0 répond au cas où le sommet est sur la circonf., et b — a à celui où ilest au centre.

Lignes proportionnelles. Triangles semblables.

214. Soient deux droites quelconques 44, ah (fig. 81); si sur l’une on prend des parties égales 4B, BC, CD...., et que par les points de division, on mène des parallèles 4a, Bb, Cc.... Hh, dans une direction arbitraire, les parties ab, bc, cd. ... qu’elles interceptent sur ah, sont égales -entre elles. Car si l’on mène ai, bl, cm, ... parallèles à 4, on aura des triangles ab, blc, cmd... égaux entre eux, à cause de ai — bl — cm... = AB = BC—=,... - I] suit de là que 4B sera contenu dans 4H autant de fois que ab

Heu LE = PAR sel E Hush debs

215. Deux droîtes AH et A (fig. 82) sont re en parties proportionnelles par trois parallèles quelconques Aa, Ee, Hh, sa-

ae - =, car eh ? s

dans ah, etc.,

7, AE voir, fn

1° Si les parties 4Æ, ÆH sont commensurables , en portant la commune mesure sur 4/4, elle sera contenue un nombre exact de fois dans 4£ et EH : on retombera donc dans le cas ci-dessus, parce que les parallèles à 4a, menées par les points de division, couperont ah en parties égales.

2% Si AE et HE sont incommensurables, divisons 4£ en un nombre arbitraire de parties égales, et portons l’une d'elles de Æ vers 7 ; soit Z le point de division le plus près de //; menons Zi parallèle à Hh. Cela posé, 4E et ET étant commensurables, on a

. a se -: et comme £T = EH — HT; ei — eh — hi, il vient EH HI eh. hi és s à SE nu TE: Or, les distances 77 et hi peuvent être

rendues aussi entre qu'on randrat. en prenant le nombre de divisions de 4£ de plus en plus arr les autres termes étant. constants : de sorte que les points Æ7 et h sont les limites de Z et“. Puisque les 2°° termes des deux membres décroissent indéfiniment, ca EH eh le principe fondamental (n° 113) donne donc encore ARE

De la proportion démontrée, on tire (n°73)

0 Ne nn 2 Ps PARLE AH ah | dUdh 0.

216. Une parallèle EB à la base d’un triangle HAC (fig. 82) coupe les côtés en parties proportionnelles, puisque 4B — ae, BC= eh; d'où

AE AB: EH AH S ACT: BC On peut répéter sur le triangle Æ/4C ce qu’on a dit sur la fig, 61.

Li 4 AE. EH Réciproquement, si l'on a SR 0) FEB est parallèle à ZC ;

car sicela n'était pas, menant. AZ parallèle à ÆB, on aurait

AË = er done PL =BC.

217. I suit de là que, 1° lorsqu'on a troislignes », n, p (fig. 82), pour trouver une quatrième proportionnelle, c’est-à-dire une ligne x,