AB AC BC

Réciproquement , deux triangles qui ont les côtés homoloques

! D’ tt"

proportionnels , sont semblables. En effet, si = — Ds

prenons 4D — A'B', et menons DE parallèle à BC, nous ayons

= = 2e et à cause que 4D = 4'B', le 1° rapport est commun aux deux proportions; les autres rapports sont

donc égaux, savoir 4'C'— AE, BC = DE, Les triangles ADF ,

A'B'C' sont égaux, et par conséquent 4BC, A'B'C' sont équian-

gles.

219. Deux triangles ABC, A'B'C' (fig. 86) qui ont un angle égal

[D/ JAVA AD Ad sont semblables. Car en appliquant 4'C' de 4 en £, 4’B' rs en AD, et 4’B'C' en ADE. Or, par hypothèse, on a 47 = 4 #£ ; donc, DE est parallèle à BC (n° 216), et les triangles 4BC et 4ADE ou 4'B'C' sonté quiangles.

220. Donc (fig. 86), 1° deux triangles dont les côtés sont respectivement parallèles sont semblables. Gela est évident pour 4BC et 4'B'C' (n° 192, 3°) ; quant à 4BC et C'IH, en prolongeant les côtés vers 4’ et PB”, puis menant 4'B’ parallèle à A7 ou 4B, on a [= 4’, H— B' comme alternes-internes. Ainsi, C’ZH étant équiangle à 4’B'C’, l’est à ABC. Les côlés parallèles sont homoloques.

2° Deux triangles ABC, A’B'C' (fig. 87), dont les côtés respectifs sont perpendiculaires, sont semblables; car prolongeons les côtés A'C’, B'C' jusqu’à leur rencontre en F et Æ£ avec AC, les angles C et £ sont compléments, ainsi que C’et Æ, à cause des triangles rectangles ECG, EC'F: donc C — C’. On prouve de même que 4— 4’, B — B". Les côtés perpendiculaires sont homologues.

3° Les lignes AB, AG, AD ....(fig. 83) partant d’un même point À, coupent en parties proportionnelles deux parallèles quelconques BF, bf; car les triangles 4BC, abc, semblables donnent

A= À’, compris entre des côtés pr oportionnels ——

LCR 6, de même, 4CD, acd, donnent 4 2 cp, ; ainsi ac be AC cd l’on a €D — sc On ade même 5 — BE dt D:

cd bc : cd de

4 Si les lignes 4a, £e, Hh (fig. 82) sont des parallèles équidistantes, Æ',e, sont les milieux de 4X et ah, et réciproquement. De plus, Æe est la moitié de (a 4 Hh), puisqu'en menant 4C parallèle à ah, la ligne £B — :H0, et Be = Aa = Ch =}? (Aa Ch). Donc £e = + (4a Hh).

5° C’est sur ces principes qu’est fondée la construction des Échelles. Après avoir porté un nombre quelconque de parties égales sur une droite indéfinie CZ (fig. 88), par ex., 5 de C'en D, on élève par les points de division des perpend., sis on porte de même sur CA, 5 parties égales arbitraires Ca, ac....; par les points a, €, e....,on mène des parallèles indéfinies à CZ; enfin, ontire les Zransversales CB, 20 F, 15 G,.... Il suit de cette construction, que puisque Ca, LUE se ss SON 5,3 se de C4; ab, cd, ef,.,.. sont de même :,+<, +.. +” AB;eo est url ou (5 + =) de 4B, ouenfin + de CD.

On a donc ainsi ain bee la ligne CD en 25°, ce qu'on n'aurait pu faire autrement d'une manière aussi distincte, vu la petitesse des parties. On peut se servir de cette échelle pour diviser une longueur en parties égales : on cherche combien cette longueur contient de parties de l'échelle, en portant une égale ouverture de compas sur une des parallèles indéfinies, et observant qu’elle réponde à des divisions à peu près exactes : si, par ex., elle tombe de Z en o, la ligne contient 57 divisions. Pour couper Lo en 9, on calcule le 9° de 57, qui est 6, et l’on prend une longueur de six parties de l'échelle.

Cette échelle est surtout emplo yée pour réduire les lignes d’un dessin dans un rapport donné : on a coutume de former CD et CA de dix parties, et de numéroter convenablement les transversales, afin d'en faciliter l'usage. C'est alors une échelle de dixmes (voyez fig. 89). |

6° Voici un autre moyen remarquable de subdiviser une échelle en fractions très-petites. Si les longueurs égales 4B, CD (fig. 90) sont partagées , l’une en 5, l’autre en 6 parties égales aux points 1, 2, 3... et 11, 12...., la longueur 411, que nous désignerons par @, sera le 5° de 4B, a = 5 AB, et C1 = :4B; d'où

A11—Cl=;AB—:AB—=< AB, ou + a. Donc, les règles étant apniuées Cen 2 D en B, le n° 11 dépaidée le n° Idea, 12 dépassera 2 de 2 a, 18 de ‘au...

D’après cela, si FA a ne qu'une longueur portée sur l'échelle:4B s'étend du point zéro jusqu’en +, elle contient 18 parties, plus la fraction i13, qu’il faut évaluer. On applique la règle CD (qu'on appelle Vernier ou Nonius du nom desinventeurs) en C'D’ le long de 42, demanière que C” réponde en 2; examinant la suite des divisions, on en reconnait deux qui coïneident, 1" el 5; ainsi la division 17 dépasse 4 de + a, 16 dépasse 8 dei a....; sh 13 dépasse C’ ou ? de ? a — 118; s c'est la fraction chérchée; et 13 est la longueur proposée en parties de l'unité a.

On a soin de faire Îles divisions serrées, afin que les fractions soient plus petites, et qu'on soit assuré que deux divisions coïnci- - deront toujours sensiblement. Si # — 1 parties de 4B répondent à n divisions du vernier CD, celui-ci sert à évaluer le x° d’une division de l'échelle, et si la coïncidence est. établie à la graduation #°

du vernier, la fraction est —. L’entier ést donné par ie chiffre de n |

la ligne 4B, et la fraction par celui du vernier.

L’échelle de la fig. 91 a 9 de ses divisions coupées en 10 sur le vernier 4B, qui donne les 10° : Îles divisions en coïncidence sont au n° 6 du nonius, et la longueur de o à À est 57,6.

Le même principe s’appiique à la division des arcs de cercle, dans les instruments propres à mesurer les angles. Si l'on a divisé (p. 216) la circonférence en 360 parties égales ou degrés, et chaque degré en deux; qu'une alidade mobile autour du centre porte à son extrémité un vernier dont 80 parties interceptent 29 de ces demi - degrés; ces subdivisions du nonius dépasseront de =, 5 25... les demi-degrés , et donneront ainsi , à la seule inspection , dès 6065 de degrés ou des minutes. Si le zéro de l’alidade est d’abord placé (fig. 86) en a, au n° 0 du cercle, et si elle est dirigée à un objet 4, l'instrument restant ainsi fixé dans le plan des points A CB; qu'on fasse glisser l’alidade sur le limbe pour la dirigerà l’objet B, le zéro de l’alidade sera porté sur un point b du cercle, et l'arc ab qui mesure l'angle proposé 4CB sera formé, par ex., de 53 degrés et d’une fraction que le vernier servira à faire estimer en minutes. Îl suffira d'examiner quelle est la division du vernier qui coïncide avec une de celles du cercle, et de compter son rang à

partir de zéro. À cet eflet, on grave les chiffres des divisions du vernier de 5 en 5 ; on lit ainsi les degrés sur le cercle et les minutes sur le vernier.

221. Soit un triangle 4BC (fig. 92) rectangle en À; si l’on abaisse sur l’hypoténuse BC la perpend. 4D, les deux triangles partiels 4BD, ADC seront semblables entre eux et à 4BC. Car l'angle B est commun aux triangles 4BD et ABC; outre l'angle droit, en D pour l’un , eten 4 pour l'autre : il suit donc de là que angle Cest égal à BAD, C — «. De même, C est commun aux triangles 4DCet ABC, outre l'angle droit ; ainsi 8 — B. Les triangles 4BD et ADC ont d’ailleurs les côtés perpend. En formant des proportions avec les côtés homologues, on trouve que,

1° Za perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segments de Ain Pi BC. Car les triangles 4BD et 4DC

donnent — d'où AD? — BD X DC.

DB