NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES

384. Divers SYSTÈMES de droites. — Une droite quelconque de l'espace dépend de quatre paramètres indépendants ( n° 94). Si l'on établit entre eux trois, deux ou une relations, on obtient des systèmes de droites dépendant de un, deux ou trois paramètres indépendants.

Un système de droites dépendant d'un seul paramètre est constitué parles génératrices d'une surface réglée ('), dont les propriétés ont été étudiées au Chapitre précédent.

Un système à deux paramètres porte le nom de congruence (2).

Un système à trois paramètres porte le nom de complexe (2).

Ce sont ces deux derniers systèmes que nous allons brièvement étudierdans ce Chapitre.

• iS."). Congruences. — ■ Soit une droite D, dépendant de deux paramètres arbitraires u et v, qui seront appelés les coordonnées de la droite dans la c'ongruence.

On peut écrire ses équations paramétriques sous la forme

x, y, z, a, b, c désignant six fonctions quelconques de u, v. Ces équations s'interprètent géométriquement de la manière suivante : Par chaque point V(x, y, z) d'une surface S (3), on mène une droite D, dont les paramètres directeurs (a, b: c ) sont des fonctions connues de la position de M sur S.

(') Il faut aussi comprendre les tangentes à une courbe plane et. plus particulièrement encore, les droites issues d'un point dans un plan, qui constituent un système particulier appelé quelquefois faisceau plan.

(2) Ces dénominations sont quelquefois étendues à des systèmes à deux ou trois paramètres, dont les éléments constitutifs sont des lignes quelconques de l'espace. On peut parler, par exemple, d'une congruence de cercles ou d'un complexe de cercles.

(3) Il peut arriver que cette surface S se réduise à une courbe. Par chaque point P passent alors une simple infinité de droites D. Plus particulièrement encore, S peut se réduire à un point; la congruence comprend alors toutes les droites issues de ce point et porte le nom de gerbe. Il peut arriver aussi que la congruence comprenne toutes les droites d:un plan; elle se nomme alors hyper faisceau.

Haag. — Cours, II. ^6

On peut évidemment, sans changer la congruence, remplacer chaque point I' par un point quelconque de la droite D correspondante; par exemple, par un point de rencontre de cette droite avec une surface quelconque. Ceci nous prouve que la surface S peut, au fond, être arbitrairement choisie (*). On peut souvent profiter de cette indétermination pour simplifier certains calculs relatifs à la congruence.

Si l'on établit entre u et y une relation quelconque ou, ce qui revient au même, si l'on remplace u et v par des fonctions d'un même paramètre t, la droite D engendre une surface réglée (R). On dit que cette surface appartient à la congruence.

386. Déveloi'pables de la congri ex<;k. — Cherchons si, parmi les surfaces (R) précédentes, il y a des surfaces développables. Il revient au même de chercher si l'on peut faire varier u et v de telle manière que la droite D enveloppe une courbe C (n°372).

Supposons donc u et v fonctions d'un même paramètre t, que nous n'aurons d'ailleurs pas besoin de spécifier, grâce à la théorie des différentielles ( t. I, n° 139), et exprimons que la "droite (î) admet une enveloppe. Nous devons pouvoir déterminer p en fonction de t, de manière que le point F de coor-. données X, Y, Z décrive une courbe C tangente à D. En répétant un calcul déjà fait ( n" 371), on a les conditions

dx — p da

dy

3 dh dz

de

Introduisons l'inconnue auxiliaire X, valeur commune de ces trois rapports, et explicitons les différentielles en fonction de du et de dv ; il vient

dx dx

— du -\ dv

du dv