NOTIONS SUR LES SYSTEMES DE DROITES

les P, Q étant des fonctions connues de u, v. Chacune de ces équations est une équation différentielle du premier ordre entre u et v et admet, par conséquent, une infinité de solutions dépendant d'une constante arbitraire. A chacune de ces solutions correspond une développable de la confluence. Car, si u, v satisfont à la condition (4), les équations (3) sont compatibles en p et X et le point F existe bien, qui décrit une courbe tangente à D. Done :

Théorème. — 11 existe une infinité de développables appartenant à une

congruence donnée. Elles se rangent en deux familles i ' ), dont chacune

est déterminée par l'intégration dune équation différentiel le du premier

ordre entre u et v.

387. Points focaux; plans focaux; surfaces focales.— On sait (t. I, n° 186) qu'il existe, pour chaque équation (5), une solution et une seule, telle que u et v prennent simultanément des valeurs arbitraires données u0, v0. On conclut de là que, par chaque droite D de la congruence, passent deux développables A, une de chaque famille.

Pour chacune d'elles il y a un point F, point de contact de D avec l'arête de rebroussement G. Ces deux • points, Fj et F2, portent le nom de points focaux de la droite D. Il est très facile de les déterminer, sans être obligé pour cela d'intégrer les équations (5). En effet, la valeur de p qui correspond à chacun d'eux doit satisfaire aux équations (3 I, pour des valeurs convenables de du, dv, X. Par suite, elle doit aussi satisfaire à l'équation obtenue en éliminant ces trois inconnues homogènes, à savoir

dx dû

da du

i)x dv

ôa ~àv

Cette équation, du second degré en p, donne les focaux.

des deux points