Les points focaux peuvent être définis autrement
Considérons toutes les surfaces (R) de la congruence qui passent par une droite D donnée. En un point quelconque F de cette droite, chacune d'elles admet un plan tangent (P) déterminé, qui n'est paslemème,en général, pour toutes les surfaces. Cherchons s'il est possible de choisir F de manière que toutes les surfaces (R) soient tangentes en ce point.
Si u et v sont des fonctions quelconques d'un paramètre t, le plan tangent P au point F de paramètre p à la surface (R) définie par ces fonctions, a pour
(*) Il peut se faire que ces deux familles ne soient pas analytiquement séparables, s'il en est ainsi des équations (5), c'est-à-dire si l'équation du second degré (4) en —
n'est pas résoluble rationnellement.
équation ( n° 307
. . / dx da \ , / dx da \ ,
\ — x — -h p — ) du — ( \- p — \ dv a
\ du ' du ) \ ov dv ]
Nous voulons que ce plan soit indépendant de la surface (R) et, par consé-
nuenl, indépendant du rapport Pour cela, il faut et il suffit que l'on ait
dv
précisément la condition (6) (l). Par conséquent, il y a deux points F qui
répondent à la question : ce sont les points focaux.
En chacun d'eux, les surfaces admettent le même plan tangent. Les deux
plans 4»] et 4>2 ainsi définis portent le nom de plans focaux de la droite D.
Leur équation s'écrit, par exemple,
dx da
du du
p devant être remplacé successivement par les deux racines de l'équation (6).
389. Les points focaux F, et F2 dépendent des deux paramètres u, v; ils engendrent donc, quand D décrit la congruence, deux surfaces Si et S2, cl"' portent le nom de surfaces focales de la congruence (2).
Si D décrit une développajjle Ai, l'un de ses points focaux, Ft par exemple, décrit l'arête de rebroussement Ct de cette développable. Si D décrit ensuite la deuxième développable A2 qui la contient, le deuxième point focal F2 décrit l'arête de rebroussement C2 de A2. Ceci nous prouve que les deux surfaces focales S] et S2 sont respectivement les lieux des arêtes de rebroussement Ci et C2 des deux familles de développables A] et A2.
La droite D est tangente aux deux courbes C! et C2, donc aux deux surfaces Zj et I.-2, qui contiennent ces courbes. Les points de contact sont Fj et F,.
Considérons une surface réglée < R) •ppartenant à la congruence. Chacune de ses génératrices D touche Si en Fi. Quand D décrit ( R;, Fi décrit, sur Si, une certaine courbe yi« Si cette courbe n'est pas tangente à D, c'est à-dire si (R) n'est pas une développable d'arête yi, le plan tangent en Fi à (R) est
(J) La condition est évidemment suffisante. Pour montrer qu'elle est nécessaire.
.. er . .. dx da dy db dz
il suffit d écrire que la direction \- ç> — j hs — > —
\du du ou ou ou ' ou
dc\
)i qui appai
tient au plan tangent à la surface v = const., appartient aussi au plan tangent à la surface u = const.
(2) Si les deux familles de développables ne sont pas analytiquement séparables (cf. note 1 de la page 4°3), il en est de même des deux points focaux et des deux surfaces focales. On dit alors qu'il n'y a qu'une seule surface focale, dont 1, et X.. sont appelées les deux nappes.
NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. 4û"»
déterminé par D et la tangente F i 0 j à y,. Mais c'est aussi le plan tangent à £j, car D et FiOj sont tangentes à cette surface. Toutes les surfaces (R) sont donc tangentes en F] à Si. On retrouve ainsi la propriété établie au n° 388 et l'on voit que les plans focaux <I>i et <£2 ne sont autres que les plans tangents en F, et F2 à S, et 12.
Si 1 R) est la développable AI; d'arête de rebroussement Ct. le raisonnement ci-dessus est en défaut au point Fj ; mais, il ne l'est pas au point F2. Le plan tangent à A| le long de D est donc le plan focal *».
Le plan <\>, admet D pour caractéristique, quand F2 décrit [%, courbe de contact de A, avec Sj. La tangente M2T2 à celte courbe est donc conjuguée de D'( n° 344;. Les courbes C2 et V* forment, sur S2, un système de lignes conjuguées.
Résumons toutes les propriétés qui viennent d'être établies :
Théorème. — Les droites d'une congruence sont tangentes communes à deux surfaces Zi et S2, appelées focales. Les points de contact Fj et F i sont appelés points focaux. Toute surface réglée non développable (R) appartenant à la congruence est circonscrite à la fois à Xj et S2, les points de contact, pour chaque génératrice D, étant les deux points focaux, qui sont dès lors les deux points de raccordement in" 368,) pour deux surfaces ( R ) quelconques . Les plans de raccordement, qui sont les plans tangents <!>! et «J^, en Ft et F2, à Zt et 12, sont appelés plans focaux.
Il y a deux familles de développables appartenant à la congruence. Les développables \^ de la première famille, par exemple, ont leurs arêtes de rebroussement Cj sur 1X et sont circonscrites à X2 suivant des courbes T2. Sur chaque focale, les courbes C et Y forment un système de lignes conjuguées.
390. Focales réduites a des courbes. — 1! peut arriver que l'une des focales, ^1 par exemple, se réduise à une courbe. Tout ce qui vient d'être dit continue à s'appliquer, mais avec certaines particularité-.
La congruence est formée de droites s'appuvant sur la courbe -1 et tangentes à la surface -2. Les développables ^1 sont des cônes circonscrits à Z-2 à partir des points Ft de Si. Les développables A2 contiennent toute> la courbe St. Le plan focal $1 est donc déterminé par D et la tangente FiTi à Si. Pour «ï»j, il d'y a rien de changé.
Il peut arriver, plus particulièrement encore, que les deux focales soient réduites à des courbes, sur lesquelles s'appuient toutes les droites de la congruence. Les développables At sont alors les cônes admettant Xj pour directrice commune et ayant leurs, sommets sur Sj. De même, les développables A2 sont les cônes ayant leurs sommets sur S» et admettant -i pour directrice.
Dans le cas particulier où les focales sont deu\ droites, on ilit qu'or, a une congruence linéaire.
|o6 CHAPITRE XXVII.
391. CoNGRUENCES ue NORMALES. — Un exemple intéressant de congruence est fourni par les normales MN à une surface quelconque S.
Le* Jeux familles de développables sont engendrées par les normales le long des lignes de courbure ( n° 346).
Les points focaux sont les deux centres de courbure principaux (n° 347). Les plans focaux sont les deux plans normaux principaux à la surface S; ils sont donc rectangulaires. Les surfaces focales sont les deux nappes de la surface des centres de courbure.
Quand M décrit une ligne de courbure Xi de la première famille, MN engendre une développable Ai, dont l'arête de rebroussement Ci est décrite par le premier centre de courbure principal F,. Le plan tangent le long de MN à cette développable est le plan ^MN, Mti étant la tangente en M à \lm Nous savons (n°389) que c'est le plan focal <ï>.2, tangent en F2 à la seconde nappe S2 de la surface des centres. C'est aussi le plan oscillateur en F, à Ci (n° 289). D'autre part, ce plan est perpendiculaire au premier plan focal «I^, tangent en Fi à Et. .11 s'ensuit que les lignes Ci ont leurs plans osculateurs normaux à Si; ce sont donc des lignes géodésiques de cette surface f1) (note i de la page 36o).
392. Il est intéressant de savoir reconnaître a priori qu'une congruence donnée est une congruence de normales.
On peut d'abord trouver un caractère analytique simple, à partir des équations (i), en supposant que a, b, c sont des cosinus directeurs, c'est-à-dire sont liés par
Pour que la congruence définie parles équations (i) soitune congruence de normales, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer p fonction de u, v, de telle manière que le point lM(X,Y, Z) décrive une surface S normale à D. Pour cela, il faut et il suffit qu'on ait, quels que soient du et dv,
a dX -~- b dX -+- c dZ = o.
En remplaçant dX par dx -+- pda -+• adp, ..., et tenant compte de (9) ainsi que de la relation
(101 a da -+■ b db -4- c de = o,
qui s'en déduit, il vient
( 1 1 1 a dx -+- b dy -+- c dz -+- dp = o.
(') On démontre que, réciproquement, les tangentes à une famille de géodésiques d'une surface quelconque forment une congruence de normales (s'appuyer sur le n° 393).
