VOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES
Ceci nous montre que l'expression (12) a dx -r- b dy -+- c dz I ' du Q c/r .
où l'on a pose
., n "•/• . <>r As ~ <te . '>/ dz
o« du du dv ov dv
doit être une différentielle totale exacte, à savoir la différentielle de la fonction — p.
Réciproquement, si cette condition est remplie, on pourra déterminer p an moyen de la formule (11), à une constante arbitraire près (t. I, n° 141). Donc :
Théorème. — Pour que la congruence dcfuùe par les équations (1) soit une congruence de normales, il faut et il suffit que l'expression soit une différentielle totale exacte, c'est-à-dire que l'on ait
dp oq (i4) — = -£.
ov du Mais, il ne faut pas oublier que a, b, c doivent être des cosinus directeurs.
3!)3 Voici maintenant un caractère géométrique :
Théorème. — Pour qu'une congruence soit une congruence de normales, il faut et il suffit que les plans focaux de chaque droite de la congruence soient rectangulaires.
Nous avons vu, au n" 391, que la condition esfnécessaire. Montrons qu'elle est suffisante.
Pour simplifier les calculs, profitons de l'indétermination du point P sur la droite D (n" 385) et prenons-le au point focal F,. Supposons, de plus, que les développables soient les surfaces u = const. et v = const.. les secondes étant, par exemple, les développables Aj.
Lorsque v demeure constant, le point Ft doit décrire une courbe Ci tangente à D. On a donc identiquement
dx . dy oz
au OU Ou
'/. étant un certain facteur, fonction de u, v. Portant dans 1 1 î), on trouve
Dès lors, (14) s'écrit
<ii.
\ du ov
. . 'ii. [ o-x da or
dv \ du dv ou àv I
jo8 CHAPITRE XXVII.
Mais, si l'on diflerentie (i5) par rapport à v, on obtient dïx
du dv
dv
" dv1
Portant dans (16), i
il reste
Oa Ox
\db c)y
de dz
ou dv
Ou dv
du ov
Telle est, avec les hypothèses actuelles, la condition pour qu'on ait une congruence de normales.
, ',. . ^ , da db oc , . ,.
Or, la direction o, dont — , — > — sont les paramètres directeurs, est perdit Ou Ou
pendiculaire à D, en vertu de (10). Elle est, d'autre part, parallèle au plan
tangent le long de D à la développable A1; c'est-à-dire au plan focal <ï>2. C'est
donc la perpendiculaire à D menée dans ce plan. Elle est, par suite, normale
à <£,, puisque les deux plans focaux sont supposés rectangulaires. Mais. <î>, est
le plan tangent en F! à £t. Dès lors, la condition (17) exprime que la direc-
(dx dv dz\ , , 11 . • 1 i-
— , —, — est dans ce plan tancent: elle est évidemment remplie et dv dv Ov /
notre réciproque est démontrée.
39i. Goaiplexes. — On pourrait étudier les complexes en parlant d'équations analogues aux équations ( 1) et supposant, cette fois, x. y, z, a. b, c fonction de trois paramètres u, v, w.
Il est généralement plus commode de se donner la relation qui existe entre les quatre paramètres dont dépend la droite D dans l'espace ou mieux la relation homogène
à laquelle doivent satisfaire ses six coordonnées pluckériennes, en outre de la relation fondamentale (n° 111)
Cette relation (18) s'appelle Y équation du complexe.
Lorsqu'elle est algébrique et de degré p, on dit que le complexe est algébrique et d'ordre p.
Nous avons déjà étudié, au n" 12o, les complexes du premier ordre ou complexes linéaires, qui sont en relation étroite avec les systèmes 'le vecteurs. Nous n'y reviendrons pas.
395. On appelle cône du complexe relativement à un point P le lien des droites du complexe qui passent par ce point.
Ces droites engendrent bien un cône, car en les astreignant à passer par P,
NOTIONS SU1« LES SYSTÈMES DE DROITES. 4o«.)
on les assujettit à deux conditions nouvelles, de sorte qu'elles ne dépendent plus que d'un seul paramètre (l ).
Quand on connaît l'équation (18), il est facile de former l'équation du cône du complexe, qui a pour sommet M0(a"o: JKo> -o )• En effet, soit M{x, y, z) un point quelconque de ce cône. Prenons pour coordonnées de la droite i\I0M les
coordonnées du vecteur M0M, soit
l=y<t* — Zoy, m — z0x — x0z, n = x0y—y9x.
Ecrivons que ces coordonnées satisfont à (18 1 : (21) F(x — x0, y — r„. s — z(l. y0s — z^y, z0x — xQz, x0y - - y„x) = o.
Si, dans cette équation, on regarde x.y, z comme les coordonnées courantes, elle représente l'équation du cône de sommet M0.
Si l'on veut pouvoir considérer des points à l'infini, il suffit d'introduire des coordonnées ponctuelles homogènes, en remplaçant x, y, z, x0, y0, z0
par —, — > -1 — , — , — • Si l'on multiplie les six coordonnées plijckériennes
par 1 10, pour les rendre entières en x, y. .... tih les formules (20) prennent la forme (2)
l y. = xt0— x0t, f) =rt0 — y0t, Y = zta—JS0t,
ll=y0z—s0y, m = zox — x0z, n — x0y—y0x.
En portant dans (18), on obtient l'équation homogène du cône de sommet M0, qui peut être un cylindre si l'on suppose t0= 0.
Lorsque F est algébrique et d'ordre />, il en est de même de l'équation (21). Donc, si un complexe est algébrique, il en est de même de tous ses cônes , dont le degré est égal à V ordre du complexe ,
396. On appelle courbe du complexe relativement à un plan 11 V enveloppe des droites du complexe situées dans ce plan (3). C'est, en somme, l'élément corrélatif du cône précédent.
Cherchons l'équation tangentielle de la courbe du complexe située dans le plan n0(tt0, t>0) «■'„, r0 ). Les coordonnées plijckériennes de la droite D située à l'intersection de ce plan et d'un plan quelconque ft(u, v, w , r) sont {cf.
(') On peut, plus généralement, considérer des surfaces réglées quelconques appartenant au complexe, c'est-à-dire dont les génératrices font partie du complexe.
(2) Cette forme convient aussi bien à des coordonnées tétraédriques; mais alors. les coordonnées pluckériennes n'ont plus la même signification vectorielle {cf. Chapitre VIII, Exercice proposé ne 31).
(3) On peut, plus généralement, considérer des courbes gauches quelconques appartenant au complexe, c'est-à-dire dont les tangentes font partie du complexe.
4lO CHAPITRE XWII. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES.
<;ii<ip. VIII, Exercice résolu n°- 3) :
jj = Wq II ~
Portant dans (18) et regardant u, c, »•. /■ comme les coordonnées courantes, on a l'équation cherchée. On en déduit que, si le complexe est algébrique et d'ordre p, toute courbe plane lui appartenant est algébrique et de classe p.
Cette propriété et celle du numéro précédent, qui est sa corrélative, ont déjà été vérifiées dans le cas des complexes linéaires (n° 12o l.
397. Généralités sur les transformations. - Transformer une figure/, c'est trouver une autre figure F telle qu'aux éléments de f correspondent des éléments bien déterminés de F et réciproquement.
L'utilité d'une telle transformation résulte de ce que si l'on connaît une relation entre certains éléments de l'une des figures, on peut en déduire une relation entre les éléments homologues de l'autre ligure. Autrement dit, de toute propriété connue de f, on peut déduire une propriété nom elle de F. Inversement, si l'on veut reconnaître l'exactitude d'une propriété soupçonnée pour y, on peut quelquefois. par une transformation judicieuse de f, rendre la propriété évidemment exacte ou évidemment fausse pour F, d'où Ton conclut à la validité ou à la non-validité de l'hvpothèse faite.
Les transformations apparaissent ainsi comme un moyen d'investigation très commode ( ' ) et d'ailleurs des plus puissants.
Les éléments entre lesquels est établie la correspondance qui sert de définition à la transformation peuvent être de nature quelconque. On peut faire correspondre un point à un point, ou à une droite (dans le plan;, ou à un plan (dans l'espace), ou bien une droite à une droite, un plan à un plan, une
(') On peut objecter que les propriété» déduites de propriétés déjà connues, par une transformation, ne sont pas, en vérité, des propriétés nouvelles. Mais, cette objection peut s'appliquer à toutes les Mathématiques. Quand un mathématicien découvre une propriété qu'il qualifie de nouvelle, il ne fait, en réalité, que transformer, suivant les régies de la logique, les propriétés connues qui lui ont servi de point de départ. Il ne retrouve jamais, au bout de ses raisonnements, que ce qu'il y a mis au début. Le mathématicien n'invente rien, il transforme. Cela ne veut pas dire que sa besogne soit inutile, car ses transformations lui permettent de prévoir certains événements d'ordre mathématique, qui fussent, sans cela, demeurés ignorés, de même que le physicien peut prévoir, par ses déductions, un événement naturel.
4l2 CHAPITRE XXVIII.
droite de l'espace à une sphère, un point de l'espace à un cercle d'un plan (cf. Ghap. XII, Exercice proposé n° 19, et Chap. XXXVI. Exercice proposé 11° 3-4), etc.
En général, la transformation est continue, c'est-à-dire qu'à deux éléments voisins dey correspondent deux éléments voisins de F. Ces éléments homologues doivent toujours, dans ce cas, dépendre du même nombre de paramètres, ainsi que cela est vérifié dans tous les exemples énumérés cidessus.
Une transformation étant définie par la correspondance entre des éléments c de la figure/et des éléments E de la figure F, on peut, en considérant des assemblages convenables d'éléments e et les assemblages homologues d'éléments E, obtenir une correspondance entre des éléments nouveaux e' et E , définis précisément au moyen des assemblages précédents.
En particulier, on peut être amené à considérer des courbes ou des suif aces homologues.
On dit qu'une transformation est une transformation de contact si à deux courbes ou surfaces tangentes de la figure f, correspondent toujours deux courbes ou surfaces tangentes de la figure I".
