Transformations ponctuelles. I ne transformation esl

dite ponctuelle, lorsqu'elle fait correspondre des points à des points.

On peut, dans ce cas, prendre comme figures y et F, soit deux lignes (en particulier des lignes droites), soit deux surfaces (en particulier des plans), soil deux espaces (représentés, par exemple, par deux trièdres de coordonnées). Ces deux figures peuvent être distinctes ou confondues. Dans le deuxième cas, la transformation est dite involutive ou réciproque, >i la relation entre les points homologues m et M est symétrique, c'est-à-dire si, lorsque m vienl en M, M vient réciproquement en ///. En outre, on appelle point double, tout point qui se confond avec .son homologue.

Analytiqueuieni. dans le eas d'une correspondance entre deux espaces, représentés respectivement par les axes oxyz et OX\Z, la transformation ponctuelle continue la plus générale est définie par les formules

in X=fix,y,z), \ = g{x,y,z), Z = k( .r,y, z .

où /, g", li désignent trois fonctions continues quelconques de x, )\ z-. Au point m {x, )\ z) de l'espace/, on fait correspondre le point M (X, A , Z) de l'espace F. Inversement, si l'on se donne Al. on

détermine m en résolvant les équations (i) par- rapport à x, y, z (').

Si les figures/ et F sont deux surfaces, on a des formules analogues: mais, il n'y a plus que deux coordonnées a?, y et deux coordonnées \. ^. Ces coordonnées qui seront, en général, des coordonnées curvilignes (n° 19), peuvent être des coordonnées cartésiennes quand /et F sont des plans.

Si J et F sont deux lignes, il n'y a plus qu'une seule coordonnée x et une seule coordonnée X.

En somme, au point de vue analytique, une transformation poncluelle n'est autre qu'an changement de varia/des.

Lorsque le point m décrit une ligne c ou une surface s, le point M décrit la ligne homologue C ou la surface homologue S.

Théorème. — ■ Toute transformation ponctuelle continue est une transformation de contact.

Soient deux courbes c et c, tangentes en m et les deux courbes homologues C et C,. Je dis que celles-ci sont tangentes au point M, homologue de ///.

En effet, soient dx, ch\ dz les différentielles de x. v, z, quand on se déplace sur c, à partir de m. Soient or, or. os les différentielles analogues pour c,. D'après l'hypothèse, il v a proportionnalité entre les deux groupes et l'on a des égalités de la forme

1 2 i 0./ ■ = ~/.dx, of = ^dy, oz = 'rdz.

Si maintenant on se déplace sur G, à partir de M. les différentielles de X, Y, Z sont obtenues, en fonctions de dx, dy, dz-, par différentiation totale des formules i i > :

r/X = -^- dx -+- -f- dy -+- 4~ dz, d\ ^ .... dZ= ....

ÔX i)y •* i)z

(') Il peut évidemment y avoir plusieurs solutions et la correspondance peut ne pas être univoque. Pour lever toute ambiguïté, on peut, soit restreindre le domaine des espaces f et F, soit choisir deux points homologues particuliers m0 et M0 et suivre la correspondance par continuité à partir de ces deux points.

Quand les fonctions y, g, h sont rationnelles et que les équations (1) peuvent, en >>utre, être résolues rationnellement, on dit que la transformation est birationnellc. Elle est évidemment biunivoque.

De même, les différentielles sur Ci sont

oX - f- ox ■+■ f 07 - -L- 0- 3\ = .■:. , oZ= ....

Ox Of dz

Si l'on tient compte de ( 2). on a évidemment

SX = ). dX , 3Y = X rf) . 5Z = À d\ ;

donc. (1 et C\ sont tangentes ('). c.q.f.d.

399. La transformation est dite conforme si elle conserve les angles, c'est-à-dire si l'angle sous lequel se coupent deux courbes c et cy en un point commun m est égal à l'angle sous lequel se coupent les courbes homologues G et Ci au point homologue M.

Théorème. — Pour qu'une transformation soit conforme, il faut et il suffit que les éléments linéaires homologues soient proportionnels.

Nous entendons par élément linéraire de/ la distance ds de deux points m et m' infiniment voisins et, par élément linéaire homologue, la distance dS des points homologues M et M' {cf. t. I, n" 172).

i° La condition est nécessaire. — Soient, en effet, m. p, q trois points infiniment voisins àe f et M, P, Q les points homologues de F. Les côtés du triangle mpq peuvent être considérés comme des éléments de trois courbes et les côtés du triangle MPQ comme les éléments homologues des trois courbes homologues. Par hypothèse, les angles du second triangle sont égaux à ceux du premier; les deux triangles sont donc semblables et ont. par suite, leurs côtés proportionnels.

2" La condition est suffisante. — Car, si elle est remplie, les deux triangles précédents sont encore semblables comme ayant leurs côtés proportionnels. Ils ont, par suite, leurs angles homologues égaux.

La démonstiation précédente nous fait voir, en somme, que dan? une transformation conforme, deux figures homologues infiniment petites sont semblables. Dans le voisinage du point m et du point homologue M, la transformation est une similitude. Mais, le rapport de similitude varie, en général, avec m. Il dépend de la position des petites régions envisagées.

(') Si le lecteur est gêné par l'emploi des dillérentielles, il pourra introduire les équations paramétriques des courbes c et c„ soit

x=f{t), y = g(t), z = h(t) et *! = /,(*)• ^1=^(0, ~-, = V0-

En portant dans (1), il obtiendra celles de C et C, et leur appliquera le théorème des fonctions composées (t. I, n° 130).

TRANSFORMATION?. flj

Ce théorème est un critérium très commode pour reconnaître les transformations conformes. Il suffit, en effet, de calculer ds- et d§- en fonction qua-

dS*

dratique des différentielles dx, dy, dz C1). Le rapport À = -— doit être

indépendant de ces différentielles, tout en pouvant dépendre de x, y. z. La racine carrée n'est autre que le rapport de similitude dont il est question pins haut.

400. Dans le cas particulier où f est un plan et F une surface quelconque, on dit que la transformation conforme réalise une carie de la surface F sur le plan f.

Si x, y sont des coordonnées cartésiennes rectangulaires du plan f. l'élément linéaire*de la surface F doit alors se mettre sous la forme

rfS2= À ( dx^—dy9-),

X étant une certaine fonction de x, y.

Dans le cas particulier où F est une sphère, les considérations ci-dessus trouvent leur application à la construction des cartes géographiques.

Lorsque/" et F sont deux surfaces et que le rapport ~i. est égal à i, les éléments linéaires homologues sont égaux et, en les intégrant le long de deux courbes homologues, on voit que deux arcs homologues finis quelconques ont la même longueur. On dit, dans ce cas. que les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre. Chacune peut résulter de l'autre par déformation.

iOl. Transformations homographiques. — On appelle transformation horrio graphique, toute transformation définie par une substitution linéaire entre les coordonnées cartésiennes homogènes (2) des points Jwmologues, soit

X = ax — by — cz — et:

\ Y — a x — b'y — c'z — e' t , Ci) { ■ J

f L — a x — b y — c z — et,

V T = a"x~lj'"y — c :

le déterminant des coefficients étant différent de zéro | t. I. n" 297 . On peut dire aussi que les fonctions/, g, h des formules (i) doivent être trois fonctions homographiques, de même dénominateur.

(') Par exemple, si x,y.z sont des coordonnées cartésiennes rectangulaires, un a : ds" = dx'1 -f- dy- — dz"-.

('-) Ou tétraédriques.

4 l6 CHAPITRE XXYJll.

La correspondance entre m et M est biunivoque, c'est-à-dire qu'à un point m correspond un seul point M et inversement.

Mais, cette propriété n'est pas caractéristique, car il existe des transformations birationnelles non homographiques, comme, par exemple, l'inversion (n° 421).

Théorème. — ■ Toute courbe ou surface algébrique a pour homologue une courbe ou surface algébrique de même degré.

Cela résulte de ce que les formules (3) transforment toute équation algébrique en x, y, z, t en une équation algébrique de même degré en X, l , Z, T.

En particulier, une droite ou un plan se transforment en une droite ou en un plan.

La tangente a une courbe ou le plan tangent à une surface se transforment suivant la tangente à la courbe transformée ou suivant le plan tangent a la surface transformée.

Théorème. -- Les transformations homographiques conservent le rapport anharmonique.

En effet, soient quatre points en ligne droite m,, m2- tns, '/>,. Leurs coordonnées sont de la forme x-\-\x\ y /. y . z-\-).z', l-\-'/.t\ où 7. doit prendre successivemeni quatre valeurs a,. al>. X3, a..,, dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points. En portant dans (3), on obtient des expressions de la forme XH-àX', Y-j-VY7, Z + XZ', T — aT. Ceci prouve d'abord que les quatre points M,"", M... M ;. M , sont, en Ligne droite, ce que nous savions déjà; et ensuite que leur rapport anharmonique est, lui aussi, égal au rapport anharmonique des a. donc égal au rapport anharmonique des quatre points /// ( '). c.q.f.d.

Cette, propriété fondamentale est caractéristique do transformations homographiques. Elle peut servir a leur définition et a été employée par certains géomètres I par exemple Choies i pour é lifier une théorie purement géométrique desdites transformations.

On en conclut, en s'appuyant sur les propriétés des faisceaux de

Ci Les points m et M décrivent donc des divisions homographiques (n" 137).

TRANSFORMATIONS. /\l~

droites ou de plans que les rapports anharmoniques de ces faisceaux sont aussi conservés dans toute transformation homographique I ' i. Il en est de même du rapport anharmonique de quatre points d'une conique, qui se ramène à un rapport de faisceau et de quatre tangentes à une conique, qui se ramène à un rapport de points en ligne droite | n° 508).

402. La transformation homographique la plus générale dans l'espace dépend de io paramètres, à savoir les rapports des 16 coefficients des formules (3 ) à l'un d'entre eux (2).

On peut en profiter pour se donner arbitrairement des couples de points homologues.

Si 1 on se donne à l'avance les deux points m et M, il en résulte trois relations du premier degré entre les i5 paramètres ci-dessus, obtenues en écrivant que les coordonnées homogènes du point M sont proportionnelles aux valeurs données par les formules (3) (3). La transformation est donc complètement déterminée quand on se donne 5 couples de points homologues. Il faut toutefois que 1»système linéaire à io inconnues auquel on est conduit ait son déterminant différent de zéro, afin que la solution soit unique. Pour cela, il faut que les points donnés ne se trouvent pas dans certaines positions particulières, qui rendent le système incompatible ou indéterminé. Par exemple, il ne faut pas que trois des points m soient en ligne droite. Si les points homologues n'y sont pas, le système est sûrement incompatible, d'après ce que nous avons vu au n° 401 ; s'ils y sont, il est indéterminé.

Nous n'insisterons pas davantage sur ces conditions de compatibilité et nous nous bornerons à énoncer le théorème suivant :

Théorème. — 77 existe toujours au moins une transformation homographique de l'espace qui permet de faire correspondre n points donnés de la seconde figure à n points donnés de la pre-

(') On en conclut que ces faisceaux homologues de droites ou de plans sont des faisceaux homograpliiques.

(2) On peut multiplier ces 16 coefficients par un même facteur, sans changer le point M, donc sans changer la transformation.

(3) On peut, si l'on veut, introduire un fadeur de proportionnalité comme inconnue auxiliaire. On a alors quatre équations au lieu de trois ; mais, on a une inconnue de plus.

Haag, — Cours, II. 27

mière figure, pourvu que n ne dépasse pas 5 et qu en outre, si les points donnés ont certaines configurations particulières, les propriétés fondamentales (') de la conservation des droites, des plans et du rapport anharmonique, soient toujours respectées.

Ce théorème est 1res important au point de vue des applications que l'on fait habituellement, en géométrie', des transformations honiographiques. Il permet souvent de simplifier les figures, en les transformant homographiquement de manière que certains de leurs points occupent, après la transformation, des positions convenablement choisies. C est ainsi qu'on peut envoyer un, deux ou trois points à l'infini et, en particulier, transformer un plan donné en plan de l infini. On peut aussi envoyer un certain nombre de points sur le cercle imaginaire de l'infini. Les coniques qui passaient par deux de ces points deviennent alors des cercles. On peut même choisir la transformation de manière qu'une conique donnée ~ devienne le cercle imaginaire de l'infini Y (ou, plus généralement, une autre conique donnée). 11 suffit, en effet, de prendre.") points sur y et de les transformer en 5 points de V: cela est possible, d'après le théorème général énoncé ci-dessus, pourvu que le rapport anharmonique de quatre quelconques des 5 poinisoit conservé (2 i. Les quadriques qui passaient par v deviennent alors des sphères.

Si l'on transforme deux points m et m en (\cu\ points M el M conjugués par rapport à V. deux droites d el d. qui passaient respectivement par m et m . deviennent deux droites rectangulaires.

Si l'on transforme en droites isotropes (3) les tangentes à une conique donnée issues d'un point ©, le point 4> est un foyer de la nouvelle coniqi/e.

Quand on a choisi sa transformation, on étudie les propriétés de la nouvelle figure; puis, on les interprète au point de \ne projectif et on les transporte à la ligure primitive. Ou bien, on suit la marche inverse : on transforme une propriété projective soupçonnée dey' en

(') Ces propriétés constituent les propriétés projectives.

Le faisceau mx(m2mlm,tm:i), par exemple, doit avoir même rapport anharmonique que le faisceau M, (M2M . .M4 M l.

(9) En envoyant un point de chacune d'elles sur le cercle imaginaire de l'infini.

TRANSFORMATIONS. î I O

une propriété métrique simple de F. Autrement «lit. on applique les principes généraux exposés au n° 397.

Bien entendu, quand on utilise, comme il vient d'être expliqué, une transformation homographique, il est complètement inutile de connaître les formules (3) qui la définiraient. On a uniquement besoin de connaître les couples de points homologues et la qonservation des propriétés projectives.

403. En géométrie plane, toutes les considération^ du numéro précédent sont valables, avec cette seule différence que la transformation homographique générale dépend seulement de S paramètres. Par contre, la connaissance île deux points homologues équivaul seulement à deux équations linéaires entre ces 8 paramètres. Il s ensuit que la transformation est généralement déterminée par quatre couples de points homologues. Le théorème gênerai énoncé pour l'espace s'applique avec la condition n \.

Quant à la transformation homographique entre deux droites, elle a été étudiée en détail au Chapitre IX; nous avons vu qu'elle esl déterminée par trois couples de points homologues (n° 137).

i<H. Points doubles. — Si les systèmes de coordonnées auxquels sont rapportés les points m et M sont les mêmes, on obtient les points doubles eu écrivant que X, Y, Z, T sont proportionnels à as, y, z, t, ce qui donne, en appelant S le facteur de proportionnalité :

• a — S) a?. -+- by — c z — e t = o,

> a' x -»- (b' — S)jk — c z ->- e' t = o, la x H- b y — ( c — bi;-r e < = o, \ a'"x — b'"y -4- c'" z -+- ( e'" — S) t — o.

Gomme les coordonnées homogènes x, y, z, t ne peuvent être toutes nulles. on doit avoir (t. I, n° 292 ) :

Cette équation est appelée équation en S de la transformation. Elle est du quatrième degré. A chacune de ses racines, correspond, en général, une seule solution homogène du système (4), c'est-à-dire un seul point double.

Donc, une transformation homo graphique de l'espace possède, en général, quatre points doubles.

En Géométrie plane, il y a une variable de moins et le nombre des points doubles est égal à trois.

Sur la droite, il est égal à deux (n° 139).

405. Homothétie. — Pour être complète, la théorie des points doubles devrait donner lieu à une discussion de l'équation (5) et du système (4). Celte discussion très longue et quelque peu fastidieuse ne saurait trouver place ici (*). Nous nous bornerons à étudier le cas particulier suivant : J a-t-il des transformations homo graphiques de l'espace donnant lieu à un plan de points doubles'.'

Prenons ce plan pour plan / = o, c'est-à-dire pour plan de l'infini, si nous supposons des coordonnées cartésiennes (2). Le système (4) doit être satisfait, quels que soient x, y, z, pour t = o. Ceci nous donne immédiatement les conditions nécessaires et suffisantes

La transformation cherchée est donc définie par les formules

X = Sa?4-ef, Y = SjKH-e% Z = Sz -^ e" t, T = e'"t.

Employons des coordonnées cartésiennes non homogènes, c'est-à-dire faisons t = T=i; changeons, en outre, les notations, en remplaçant e, c. <

par a, 3, y ; il vie m

(6) X = a -+- Sir, Y = 0 H- S>, /. = 7 -+- S z.

(les équations onl une interprétation géométrique simple. Si I' désigne le point de coordonnées < a. Jj, y), elles équivalenl à

(7) OM = S.Om + OP,

c'est-à-dire à une homothétie de centre O et de rapport S. suivie de

— > la translation OP. En Géométrie élémentaire, on apprend que ces

deux opérations équivalent à une seule homothétie <le rapport S.

C'est ce qu'il nous est facile de vérifier par le calcul.

(') On peut la faire en suivant une marche analogue à celle du a" 171 pour les directions principales d'une quadrique, c'est-à-dire en prenant chaque point double, dès qu'il est obtenu, pour l'un des sommets du tétraèdre de référence.

(-) On peut toujours se ramener à ce cas par une transformation homographique convenable (n" 402), qui se superpose dès lors à la transformation particulière cherchée.

Soit C(x0. y0. s0) le centre d'homothétie cherchée. On doit avoir

( 8 ) CM = S . G m ;

En identifiant avec (6), on trouve

Telles sont les coordonnées du centre d'homothétie.

Nous pouvons finalement énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Toute transformation hamo graphique possédant 'un plan II de points doubles se ramène à une homothétie, par une transforma/ion h omo graphique supplémentaire envoyant le plan n à l'infini.

Si l'on ne fait pas cette seconde transformation, la première porte le nom d'homologie (1). Le plan II s'appelle plan d'homologie. Le point homologue de G, qui est le seul point double extérieur à II, s'appelle centre d'homologie.

Si l'on interprète projectivement l'égalité (8), on voit que l'homologie peul être définie directement de la manière suivante :

L'homologue 'SI de m est un point de CM tel que, si G' désigne le pour de rencontre de cette droite avec II, le rapport an/iarmonique 1 GG'Mm l doit avoir une valeur constante donnée S, appelée coefficient d'homologie.

406. Toutes les propriétés spéciales de l'homologie, et. comme cas particulier, de l'homothétie, résultent de ce que deux courbes ou surfaces homologues ont toujours en commun leurs points de ren-

" contre avec le plan FF, puisque ces points sont à eux-mêmes leurs propres homologues.

C'est ainsi que deux droites ou plans homologues se coupent dans le plan II (et, dans le cas de l'homothétie, sont parallèles)-. En partit u lier, les tangentes (ou plans tangents) en deux points homologues de deux courbes ('ou surfaces) homologues se coupent dans le plan II (et, dans le cas de l'homothétie. sont parallèles).

407. Deux courbes ou surfaces homothé tiques ont mêmes direç-

(l) Une homologie est donc la transformée homograp/uque d'une homothétie.

tîons asympto tiques, puisqu'elles coupent le plan de l'infini aux mêmes poinl s.

La réciproque n'est vraie que dans le cas des courbes ou surfaces du second degré. Démontrons d'abord le théorème suivant :

Théorème. — Si deux quadriqiies ont mêmes.directions asymptotiques, elles sont homothétiques de deux manières différentes.

Si uent ies deux quadriques

(10) f(x, y, z) = o, fi{x,y, z) = 6,

qui ont mêmes directions asympto tiques. Les deux polynômes/ et fK ont donc mêmes termes du second degré o(#, y, z). Cherchons à déterminer a. (3, v, S de manière que l'équation

soil identique à la seconde équation | to). Développons (n) par la formule de Tavloi (')-(t. I, n° 132) :

(12) /! a. (3, y) -+- S(tf/a + jK/fi-+-<s/T) -4- S««p(*. J, z ) = O.

Identifions avec

(13) y, = œ(.r, y, z) — Ci.r — <; , r -4- C'i 3 -+- Dj = o;

nous obtenons, pour déterminer a. j, y, S,

(i4) /a=SG1, /p=SC', /T = SCÏ,

Pour résoudre ce système, on peut tirer a, ^, y de (i4) en fonction de S, puis porter dans (i5). On obtient ainsi une équation du second degré en S, qui conduit, par suite, à deux solutions, conformément à l'énoncé.