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Z,es cfewa: centres d'hômothétie C e£ C son* conjugués harmoniques par rapport aux centres O et O, r/es afea.r quadriques. puisque les deux valeurs de S sont égales et de signes contraires.

Nous venons de retrouver des propriétés qui sont bien connues, en Géométrie élémentaire, dans le cas de deux sphères. {Cf. Exercice proposé n° lo.)

Remarque. — Si la quadrique (/) est un cône, on a D = o, donc S = o; puis, d'après (19"), xQ — y0==z„ = o. L'homothétie a pour centre O et un rapport nul. C'est une homothétie singulière. Tout point à distance finie de (/, ) a son homologue en O : par contre, un point à l'infini de (/, ) a pour homologues tous les points de la

génératrice du cône (/ ) qui passe par ce point à l'infini. Une telle homothétie n'a évidemment aucun intérêt géométrique.

Si la quadrique (fi) es! aussi un cône son centre est situé sur elle, ce qui entraîne la nullité du dénominateur de (18) et l'indétermination de S. Mais ce résultat est évident géométriquement, car deux cônes quelconques ayant leurs génératrices parallèles sont homothétiques par rapport à tout point de leur ligne des sommets.

2° Cas de deux paraboloïdes. — En choisissant convenablement

les directions des axes, on peut mettre j et fK sous la forme | nos 4o7

el 158)

f — Xx*-^- \y*-+- Cx-i-C y-r-C"z+ D,

t\ Xx- -h A.'j'--+~ Ci.r -t- C\y -t- C\ z -+- D,. Les équations i i \ ) s'écrivent alors

•2 A a — C = SC, , 2 A' p + c = se; , C" = se; .

La troisième donne S; puis, 1rs deux premières donnent a et V. enfin, en portant dans (i5), on obtient v. Il n'y a plus qu'une solution. Donc, deux paraboloïdes qui ont mêmes directions asymptotiques sont homothétiques cV une seule manière.

Nous ne pousserons pas plus loin la discussion, le cas de deux cylindres se ramenant à celui de deux coniques et le cas de deux couples de plans étant évident et sans intérêt.

409. Tout ce qui vient d'être dit aux nos 405 à 408 s'applique à là Géométrie plane par simple suppression d'une coordonnée. On trouve ainsi que toute transformation homographique admettant une droite A de points doubles se ramène à une homothétie. en envoyant A à l'infini. Si A est à distance finie, la transformation «'appelle homologie. A étant Y axe d'homologic.

Les propriétés de l'homologïe et de l'homothélie en Géométrie plane sont tout à fait analogues à celles de l'espace. En particulier, on démontre, comme aux n"" 407 et 408. que deux coniques ayant mêmes directions asymptotiques sont homothétiques de deux manières différentes, si ce sont des ellipses ou des hyperboles^ d' une seule manière, si ce sont des paraboles.