Si deux coniques de l'espace ont mêmes directions
asymptotiques, elles sont également ho mot hé tiques. On peut, en effet, par la translation de l'une d'elles, les ramener à être dans le même plan, puisque leurs plans sont parallèles. On se trouve alors dans le cas précédent et l'on sait, d'autre part (n° -405), qu'une homothétie suivie d'une translation équivaut à une homothétie. Une conséquence immédiate est la suivante :
Les sections, par deux plans parallèles, d'une même quadrique ou de deux quadriqu.es homothétiques sont deux coniques homothétiques. Car ces coniques ont mêmes points à l'infini. On peut, en particulier, appliquer ceci à une quadrique et à son cône des directions asymptotiques.
411. Transformations quadratiqles. — On appelle transformation quadratique une transformation telle que les coordonnées homogènes X, Y, Z, T du point M puissent s'exprimer sous forme de polynômes homogènes et du second degré par rapport aux coordonnées homogènes x, y. z, t du point homologue m et vice versa.
La définition est, comme on le voit, analogue à celle des transformations homograpliiqu.es; la seule différence est que les formes linéaires (3; doivent être remplacées par des formes quadratiques.
Nous ne pouvons pas entreprendre ici une étude complète de ces transformations. Nous nous bornerons à en esquisser la théorie dans le seul cas de la Géométrie plane, sauf en ce qui concerne 1' 'inversion, que nous étudierons aussi dans l'espace, à cause de son importance particulière.
La transformation quadratique plane la plus générale est définie par
f, g, h désignant trois formes quadratiques en x, y, z, telles qu'en résolvant les équations (n) par rapport à x, y, z. on obtienne, à un facteur commun près, une solution rationnelle (') en X, Y, Z. II revient au même de dire que les deux coniques, définies par les équations en x, y, z :
( Xh(x, y, z) — Zf(x, y, z) = o, ( ^hfx,y, z) — Zg{x,y, z) = o,
doivent se couper en un point m dont les coordonnées puissent se calculer rationnellement en fonction de X, Y, Z. Or, deux coniques se coupent en quatre points. Si les fonctions f, g, h sont prises au hasard, à chaque
( ' ) Nous supposons, pour le moment, que cette solution est simplement rationnelle. Nous verrons ensuite qu'elle est nécessairement du second degré.
yz
zx -t-
»Ti
'yz
>JK,
"yz
point M correspondent donc quatre points m et la transformation n'est pas birationnelle. Pour qu'elle le soit, il suffit que, parmi ces quatre points, un seul soit variable avec M, les trois autres a, b, c étant fixes et, par conséquent, communs aux trois coniques
(23) /=Pi ff'=o, h = o.
On peut démontrer et nous admettrons que cela est aussi nécessaire.
412. Les points a, b, c, qui portent le nom de points fondamentaux, ne sauraient être en ligne droite, sans quoi les coniques (z3) auraient une droite commune; y, g, h auraient un facteur linéaire commun et, en le supprimant, les formules (21) définiraient une transformation homographique.
Prenons le triangle abc, appelé triangle fondamental, pour triangle de référence. Les coniques (28) lui étant circonscrites, y, g, h ne renferment pas de termes carrés et les formules (21) prennent la forme
a. b. ..., c" étant neuf constantes, dont le déterminant doit être supposé différent de zéro, sans quoi X, Y, Z seraient liés par une relation linéaire.
M<>\ ennant cette hypothèse, on peut tirer, de ( i\ ), yz, zx, xy en fonctions linéaires et homogènes de X, Y, Z. Ces trois formes linéaires sont indépendantes (t. I, n° 296): prenons-les comme nouvelles coordonnées du point M; nous avons alors
(25) yz = X, zx = Y, xy = Z: d'où, au facteur xyz près,
(26) x = YZ, y = ZX, z = XY; ou bien encore, toujours à un facteur près,
(27) xX = 1, yY = l, zZ = i.
En définitive, nous voyons que, si Von choisit convenablement les triangles de référence t et T, auxquels sont rapportés respectivement les points m et M, la transformation quadratique la plus générale peut être définie par les formules (i5), (26) ou (27).
Si l'on revenait à des triangles de référence quelconques, les formules (20) et (26) nous montreraient que les coordonnées de chaque point s'expriment en fonction homogène et du second degré des coordonnées de l'autre, conformément à la définition générale du n° 411.
Lin
413. Énonçons maintenant quelques propriétés des transformations quadratiques.
Les triangles t et T sont appelés, avons-nous dit, les triangles fondamentaux; leurs sommets «, b. c et A. B, G sont les points fondamentaux.
Si y et z sont nuls, \. V, Z le sont aussi, d'après (a5). De même, si Y = Z = o, on a x = y = z = o, d'après (26). L'homologue d'un point fondamental est donc indéterminé.
Pour lever l'indétermination, on peut imaginer que m, par exemple, tende vers a, eïi suivant une droite déterminée aX, définie par l'équation
( 28) vy -t- w z = o.
» >n peut prendre pour coordonnées de m
Portons dans (25) et divisons par X : il vient* ( 29) X = — X vw. Y = — v, Z = w.
Si maintenant X tend vers zéro, de manière que m tende vers a, nous voyons que M tend vers le point A> (X = o, Y = — v, Z = w). On peut donc, de ce point de vue, considérer que a a pour homologues tous les points du côté BC. D'une façon plus précise, si m tend vers a en suivant la droite (28), M tend vers le point de rencontre de BC avec la droite
(3o) (iY + cZ = o.
Bemarquons d'ailleurs que si, dans (29). on fait varier X, le point M décrit la droite (3o). Donc :
Théorème. — L'homologue d'une droite d passant par a estime droite D passant par A.
L'équation de l'une se déduit de l'équation de l'autre par simple échange des coefficients.
414. ThÉobeme. — L'homologue d'une droite quelconque d tracée dans le plan du triangle abc et ne passant par aucun de ses sommets est une conique Y circonscrite à ABC et réciproquement.
En effet, si ni décrit la droite d d'équation
fin 11 x — vy — w z = O,
M décrit la conique T
< 3a) mYZ — vZX -+- h'XY = o,
qui est bien une conique quelconque circonscrite à ABC. Réciproquement, si M satisfait à (3*2), m satisfait à (3i).
On a évidemment un énoncé analogue, en échangeant le? rôles des deux triangles fondamentaux.
Théorème. — A toute courbe algébrique (s) de degré m et admettant les points fondamentaux a, b, c pour points multiples d'ordres respectifs /?i, pi, p3, correspond une courbe algébrique (S) de degré
im — (pi-Jt-p<t-hp3)
et admettant les points fondamentaux A, B, C pour points multiples d'ordres respectifs m — (/>2-t-/?3), m — (/?3 + />i), nt — (pi-+- p-i )•
On pourrait le démontrer par le calcul. La démonstration suivante nous paraît plus simple.
Coupons (S) par une droite D quelconque. Pour cela, il nous suffit de prendre les homologues des points de rencontre de (5) avec la conique 7 homologue de D. Le nombre total de ces points est 1 m. Mais, il faut en enlever les points fondamentaux (i) a, b, c, qui comptent respectivement pour pt, p.2, p3 points dans l'intersection. Il ne reste que im — ( p\ -+- p^-t- p3) points, dont les homologues appartiennent à la fois à D et à (S). Ce nombre •est donc bien le degré de (S).
Si D passe par A, son homologue est une droite d passant par a. Elle coupe (s) en m — px points autres que a; donc, D coupe (S) en m —pi points autres que A. En retranchant ce nombre du degré im — (p 1 -4- p^ -+- p3 ) précédemment trouvé, on obtient le nombre de points confondus en A, soit1 m — i Pî+Pz)- Le point A est donc bien un point multiple d'ordre m — ^pi-T-pz).
On peut le voir autrement en comptant les branches de (S) qui passent par A; cela nous donnera du niême coup les tangentes à ces branches.
Si M tend vers A sur l'une d'elles, de tangente AT, m tend vers un point t de bc. Comme ce point doit appartenir à (s), nous voyons que le nombre de branches cherché est égal au nombre de points de rencontre de (s) avec bc, abstraction faite des points b et c. Ce nombre est égal à m — (p$-l- P3), puisque b et c comptent respectivement pour p% et p3 points.
Ce raisonnement nous prouve que les tangentes en A à (S) sont les droites homologues des droites joignant a aux points de rencontre de (s) avec bc.
415. Transkormation du second ordre. — Tout ce qui vient d'être dit dans les nos 411 à 414 s'applique sans qu'il soit nécessaire de supposer confondus les
(') Au point a, ne saurait correspondre un point M0 commun à U et à (S), car suivant que m tend vers a sur 7 ou sur (s), la position limite de M est différente ( n° 113 ) ; elle ne peut donc être M0. Ce raisonnement ne serait en défaut que si 7 et ( s) «'■taient tangentes en a; mais, cela n'est pas possible quelle que soit la droite D.
plans abc et ABC. Autrement dit, la correspondance étudiée peut très bien être établie entre les points de deux plans différents.
Supposons maintenant, au contraire, ces deux plans confondus. On ditalorque la transformation quadratique précédente est une transformation du second ordre lorsque les deux triangles fondamentaux sont confondus.
Comme un changement de triangle de référence équivaut à une transformation homograpliique, quand on fait correspondre les points qui ont mêmes coordonnées dans les deux systèmes, on conclut immédiatement que toute transformation quadratique équivaut à une transformation du second ordre suivie d'une transformation homo graphique.
Thkorkmk. — Toute transformation du second ordre est involutive (n° 3î)8).
Car les formules (9.7) sont symétriques par rapport aux deux groupes de variables x,r, z et X, Y, Z.
Thkork.me. — Une transformation du second ordre est déterminée par son triangle fondamental et un couple de points Iiomologues.
D'après les formules (27), il semble que la transformation soit entièrement déterminée par son triangle fondamental, puisque ces formules ne renfermenl aucun paramètre. En réalité, il y a tout de même quelque chose d'arbitraire, c'est le point unitaire du système de coordonnées ( n° 152). Si on le change, en le prenant n'importe où dans le plan, les coordonnées sont multipliées par desfacteurs constants et les formules (27) prennent la forme
( ;n> 1 xX = a, yY = $, sZ=y>
a, 3, y étant trois constantes quelconques. Telles sont les formules qui définissent la transformation du second ordre la plus générale, quand on a fixé le point unitaire du système de coordonnées.
Dès lors, on voit bien qu'on peut se donner arbitrairement deux points homologues, car il suffit de prendre pour valeurs de y., 3, y les produits de leurs coordonnées de même nom. Cela détermine évidemment la transfoimation.
THÉORÈME. — l ne transformation du second ordre possède quatre fjoi/its doubles.
En effet, ils sont donnés, en revenant aux formules (27), par
d'où les quatre solutions (1, 1, 1), (1, 1, — 1), (i. — j. 1), 11. — 1. — 1).
On peut remarquer que les formules (27) sont caractérisées, dans le groupe des formules générales (33), par la condition que le point unitaire soit un point double.
|3o CHAPITRE XXVIII.
TilÉORÈME — La polaire d'un point m par rapport à toute conique ^ passant par l<-s quatre points doubles passent par le point homologue M.
L'équation générale des coniques S peut s écrire
À x- -- <xy- ■+- v z'2 = o,
avec la condition
La polaire du point m(x,y,z) a pour équation
i - I XX ./■ — ;j. Yj' + vZ; =u.
Elle est bien satisfaite par les coordonnées du point M, en vertu de (27) el de (36).
On conclut de ce théorème une définition géométrique de la transformation :
Le point M homologue de m est le point de concours ( n" 505) des polaires de m par rapport aux coniques du faisceau ponctuel qui admet les points doubles pour points de base.
- Tout faisceau ponctuel permet, de la sorte, de définir une transformation du second ordre (1). Gela nous montre, en passant, qu'une transformation du second ordre est déterminée par ses quatre points doubles.
416. Transformation par points inverses. — On appelle ainsi une transformation du second ordre dont les points doubles sont les centres des cercles inscrits et exinscrits dans le triangle fondamental.
Les coordonnées trilinéaires employées dans les formules (27) sont alors des coordonnées normales (n° 155) puisque le point unitaire est un des points doubles. Jl en résulte la propriété suivante :
Théorème. — Les distances de deux points homologues à chaque enté du triangle fondamental sont inverses.
D'où le nom donné à la transformation.
Théorème. — Les points homologues sont foyers associés des coniques inscrites dans le triangle fondamental.
En effet, étant donné un point quelconque m, il y a une conique et une seule inscrite dans le triangle et admettant m pour foyer, puisqu'on en connait
(l) On le voit en prenant le triangle conjugué commun In" 184) pour triangle de référence et l'un des points de base pour point unitaire.
cinq tangentes (n° 499). Le foyer F associé à m satisfait au théorème précédent (n° o)5o). C'est donc le point M homologue de m.
Théorème. — Les droites joignant deux points homologues à un sommet quelconque du triangle fondamental sont isogonales par rapport à ce triangle.
Gela résulte du théorème précédent et du théorème de Poncelet (n°516).
Thkorèmk. — La transformation par points inverses peut être définie au moyen d'un faisceau d'hyperboles équilatères.
En effet, les points doubles forment un groupe oi thocentrique. Les coniques X du n° 41 o sont donc des hyperboles équilatères et réciproquement.
Théorème. — Les points cycliques sont deux points homologues.
Car ils sont conjugués par rapport aux hyperboles ^.
Théorème. — La droite de l'infini a pour transformé le cercle circonscrit au triangle fondamental .
Cela résulte du théorème précédent et du théorème du n° 41-4.
417. INVERSION. — Considérons une transformation du second ordre admettant pour points fondamentaux les points cycliques et un point 0 quelconque. Soit, d'autre part. A un des points douldes ( ').
On pourrait étudier géométriquement les propriétés spéciales de cette transformation, en utilisant, par exemple, les coniques -. qui sont les hyperboles équilatères de centre O et passant par A. Nous préferons suivre une marche analytique.
Prenons deux axes rectangulaires O ; et Oc,, le premier passant par le point A, dont nous désignerons l'abscisse para. Introduisons, en même temps, un système de coordonnées trilinéaires x. y, z admettant le triangle OU pour triangle de référence et le point A pour point unitaire. On passe d'un syst.ème à l'autre par les formules
,__. \ — ir. t — i r
/on t x —y i ' —y)
}. Z HZ
Cela posé, appliquons les formules (ss5). Le point M', homologue de m. a pour coordonnées trilinéaires
(') Cela suflit pour déterminer la transformation, en vertu d'un théorème «lu n° 415. car un point double est un couple de points homologues.
CHAMTBB \W III.
on en déduit ses coordonnées cartésiennes (;'. i\') par les formules (3o X-4-Y . £ X-ï . n
lA ;- T? ' 2lZ Ç2 .,"
Laissant maintenant de coté les coordonnées trilinéaires, remplaçons les lettres ;. r par -r. r . nous voyons que la transformation considérée est définie par les formules suivantes :
qui entrainent d'ailleurs les formules symétriques, puisque la transformation est involutive 1 n -ilo).
Ces formules ont une interprétation géométrique simple. D'abord, si l'on change y en — y, ce qui remplace m par le point M symétrique par rapport à Ot, elles deviennent
x*-hy* ou, en introduisant les coordonnées polaires 10, p du point M,
■ 1 > x = — costo, r = — sinco.
Les coordonnées polaires de M' sont donc ( i3; w = 10, p = — •
I tn en déduit que le point M' se trouve sur < >M et satisfait à la relation
(44) ÔMÔM = a"-.
< >n reconnaît la transformation étudiée en Géométrie élémentaire sous le nom (Y inversion ou transformation par rayons vecteurs réciproques. Donc :
ThÉORÈME. — Toute transformation du second ordre admettant pour points fondamentaux les points cycliques et un point O équivaut à une inversion de centre O an:oinpagnée d'une symétrie par rapport à une droite passant par O.
ilS. Nous allons maintenant étudier spécialement les propriétés
ilr V inversion .
Rappelons que le point O est appelé centre on pôle d'inversion <■[ le produil constant a2 puissance <i inversion. Cette puissance peut
TRANSrORM ITION8.
(I ailleurs être positive ou négative) suivant le cas, a esl réel ou imaginaire pur.
Le cercle I de centre 0 el de rayon a porte le nom de cercle d'inversion. < "esl le lieu «!«•- points doubles de la transformation. < Mi peu! caractériser les points homologues .M h M par la condition d'être conjugués par rapport à ce cercle el d'appartenir .< un même diamètre.
On | > < ■ 1 1 1 appliquer l<: théorème général du n H», en remarquant |ue la ~\ métrie Faîte au n° -il 7 n'a f.iii qu'échangei les pointa cycliques.
On retrouve ainsi les propriétés suivantes, bien connues en G métrie élémentaire el sur lesquelles nous n'insistons pas :
L'inverse d'une droite ne passant pas par le pôle est un cercle
passant par le pôle.
L'inverse d'un cefcle ne passant pas par le pôle est un autre cercle ne passant pas par le pôle.
On ;i au ^ - 1 1 énoncé suivant :
Tin orème. - L'inverse d'une conique ne passant pas par le pôle est une quartique bicirculaire admettant ce pôle pour point double.
L'inverse a 'Une conique passant par le pôle est une cubique circulant- admettant ce pôle pour point double.
Il sérail aisé <!<• démontrer ces propositions directement en refaisant les raisonnements du n° 114, c'est-à-dire en coupant la transformée par une droite d'abord quelconque, puis passant par <> ou par un point cyclique. On peut aussi employer le calcul, en portant les mules (41) dans une équation «lu second degré «-n x . y avec ou sans terme constant {cf. n° 122). Nous laissons au lecteur le soin de développer toutes ces considérations.
( lontentons-nous ici «le montrer que 1«' point < ) est un peint double et de trouver les tangentes en ce point.
Pour que M' vienne en 0, il faut el il suffit, d'après i i ), que .M aille à l'infini. Or, la conique a deui points à l'infini. Dune, M vient deux fois en O et les tangentes en ce point sont parallèles aux directions asymptotiques de la conique.
It.VAG. — Cours. II.
(3 j CHAPITRE XXV11I.
419. Étudions les propriétés de l'inversion en ce qui concerne les tangentes.
Le | >lus simple esl d'employer les coordonnées polaires, en utilisant la relation
Si on la dérive logarithmiquement par rapport à 10, on obtient
jh d-J
z, do) rJ doi
ou. en introduisant l'angle A du rayon vecteur avec la tangente
col Y — cot V = o.
On déduit de là V'= — A . Donc :
Théorème. — Les tangentes à deux courbes inverses en deux points homologues M et M' sont symétriques par rapport à la perpendiculaire A au milieu de MM'.
11 équivaut de dire que le cercle C qui passe par M, W et qui est tangent en M à la courbe (S) est aussi tangent en M' à la courbe (S') (').
Si l'on considère deux courbes S et S, passant par M et les courbes
inverses S' et S\, qui passent par M', l'angle TMT, est symétrique de
l'angle T'M T, par rapport à A. Ces deux angles sont donc égaux ; d'où :
Théorème. — L'inversion conserve les angles; c'est une transformation conforme i n° 399).
< »n peut retrouver ce théorème par la comparaison des éléments linéaires. On a. par exemple,
dS* = dp? — p2 û?0)2 == p* ( -Ç — d(U*\ ,
ds'i = p'2 | ^ + dtO* ) = p'2 ( ^- - d,,A ,
Ce i est un cas limile de la propriété suivante : Deux points quelconques et leurs homologues sont sur un même cercle. On démontre cette proposition en Géométrie élémentaire et l'on s'en <ei i | ni comme point de départ pour
établir la propriété de; tangentes.
car, d'après (45), on ;i
On a donc
TRANSFORMATIONS. |3j
d£ dp
ds' ds
Les éléments linéaires sonl bien proportionnels.
On peut aussi obtenir la formule (46), en établissant d'abord une formule bien connue en Géométrie élémentaire et qui donne le rapport de la distance M'Mi à la distance MAI, des points homologues. D'après les formules C [l'on a
= a-r - y r - x<i ■+■ y 2 — 2 ( A x' + y\ y ) ■■-> , », „„.. (x\T — .ri.r)
[p«+ p'ï — 2(.r,a7 4-jKi7)]
d'où
- —\(ri-*)*--(yi-y)ï]= iïtïmm»î
Pip Pi ,j~
MM', = f!-MM1= £-MM,
M\r, mm, p' pi
En supposant Mi infiniment voisin de M, on retrouve ( J6 I.
i20. Courbes anallagmatiques. — On appelle ainsi toute courbe (A) ^«i e\s£ à elle-même sa propre inverse.
Lu moyen très simple d'obtenir toutes les courbes anallagmatiques consiste à observer qu'à chaque couple de points homologues M, M' on peut faire correspondre un cercle G bitangent à (A), les points de contact étant précisément M et M'. Cela résulte, en effet, de ce qui a été vu au n" 419. Ce cercle est orthogonal au cercle d'inversion l (n° 418). puisqu'il est divisé harmoniquement par un de ses diamètres (n° 170).
Nous avons \ u la réciproque au n° "211 . Donc :
Théorème. — La courbe dnallagmatique la plus générale est obtenue (') en prenant V enveloppe' d'une famille quelconque de
(') Pour l'équation générale d'une telle courbe; cf. Chapitre \\, Exercice proposé
i i6 CHAPITRE XXVIII.
cercles orthogonaux à un cercle fixe; ce dernier est le cercle d'inversion ou cercle cl' anallagmatie .
421. Inversion dans l'espace. — L'inversion dans l'espace a la même définition que dans le plan. Mais, il y a alors une sphère d inversion S, qui est le lieu des points doubles de la transformation et par rapport à laquelle deux points homologues quelconques sont conjugués.
Si l'on prend trois axes rectangulaires quelconques Oxyz avant pour origine le pôle d'inversion, les coordonnées de deux points homologues sont liées par les relations réciproques, analogues à (4 1) •
En effet, si nous désignons par z la distance OM, les cosinus directeurs de la droite OM, orientée de O vers M, sont -,-■,-• Si p' est la mesure algébrique OM' sur cette droite, on a
Or, p'= — • En portant dans les formules ci-dessus et se rappelant
que z- = x- -\- y- -*- z-, on obtient (48).
422. Les théorèmes du n° 418 s'étendent à l'espace de la manière suivante :
Théorème I. — L'inverse cV un plan P ne passant pas par O est une sphère passant par O.
Théorème IL — L'inverse d'une sphère S ne passant pas par O est une sphère S' ne passant pas par O.
Théorème III. — \J inverse d' une quadrique Q est une cyclide du troisième ou du quatrième degré, suivant que cette quadrique passe ou ne passe pas par O.
Démontrons tout ceci par le calcul. Soit d'abord (J9j ux -\- vy -\- wz -*- r — o,
TRANSFORMATIONS. p;
l'équation du plan P. En y remplaçant x.y. z par les expressions (48), on obtient
(5o) it x -f- v y -f- w z H -(x--\- y--i- z-) = o,
équation d'une sphère passant à l'origine. D'où le théorème I. Soit maintenant l'équation d'une quadrique Q :
(5i) Aa?2-f- A>s \-A'z*
-h 2 Bjj -f- iB' zx -+- 1 B" xy -f- i Cx ■+■ i C'y -f- iC" z -f- D = o.
En opérant comme ci-dessus, on trouve que l'équation de la surface inverse est
(52) A^24- A>2-+- A "z*-h iByz-±- iB' zx ■+- ?.B"xy
ofr2-r- V2-r- Z-) D
- -V= — '■ {Gx + C'y ■)- C" z)+ —L(x*+ y*-*- z*)*= o.
Dans le cas général, on a bien une ejelide du quatrième degré (n° o82). L'origine en est un point double, le cône des tangentes étant le cône des directions asymptotiques de Q.
Si Q passe à l'origine, D = o, la cyclide n'est plus que du troisième degré.
Si O est une sphère, on a A = A' = A "= i . B = B = B"=^ o.
L'équation (02) contient x--\- v2 -f- ^2 en facteur; en supprimant ce facteur, il reste
D(x\-+-y*-+- z*) + <2a'-(Cx -±- C'y + L" z) -h a* = o, équation d'une sphère, conformément au théorème II.
423. L'inverse d' une ligne peut s'obtenir en la considérant comme l'intersection de deux surfaces S et S|, dont on prend ensuite les inverses. Comme surface S(, on peut prendre, par exemple, un cône de sommet O.
Théorème. — L'inverse d'un cercle G est un cercle O.
Si le plan de C passe par O, on est ramené à la Géométrie plane. Sinon, on peut considérer C comme l'intersection de deux sphères S et S,, dont les inverses sont des sphères S' et Sj, se coupant suivant le cercle C
j 18 CHAPITRE JLXVUl'.
Pour avoir le plan P' de G', il suffit de prendre pour S La sphère qui passe par O.
Le cône de sommet O et de base C est un cône du second degré, donl C et C sont deux sections circulaires. On dit quelquefois que les plans P et P' de ces sections sont des plans antiparallèles.
On dit aussi que ce sont des plans cycliques (n° 480).
424. Les propriétés des tangentes s'étendent à l'espace et donnent lieu au théorème suivant :
Théorème. — Les tangentes à deux courbes inverses ou les plans tangents à deux surfaces inverses en deux points homologues M et M' sont symétriques par rapport au /dan 1T perpendiculaire au milieu de MM'.
Ce théorème peut se déduire du théorème du n" 419.
Soient, en effet, d'abord les deux courbes inverses C et C.
Imaginons une courbe quelconque G, tangente en M à C et située dans un plan passant par O. Son inverse G', est tangente en M' à G'. puisque l'inversion est une transformation ponctuelle, donc une transformation de contact (n° 398). Nous sommes dès lors ramenés au cas de lit Géométrie plane.
S'il s'agit maintenant de deux surfaces inverses S et S . il suffît de considérer leurs sections par les plans passant par OMM'.
Comme au n° 419, on déduit de ce théorème que Vinversion dans l'espace conserve les angles; c'est une transformation conforme ({). Cela résulte aussi de la formule ( i'i). qui est évidemment vraie dans l'espace, ainsi que ( \~). puisque les quatre points M, M,. M', M', sont dans un même plan.
42a. Courbes gauches et surfaces axaixagmatiques. — Elles se définissent comme en Géométrie plane | n" 420) et sont susceptibles d'un mode de génération analogue, déduit de la considération du cercle ou de la sphère tangentes en M et M'a la courbe ou à la surface. Contentons-nous d'énoncer le résultat, que le lecteur démontrera sans peine, en répétant le raisonnement du n° 420 et se reportant, pour les réciproques, au Chapitre XIX (n°28a et Exercice proposé n° 21).
f1) On démontre que toute transformation conforme clans l'espace peut être obtenue par une succession d'inversions. Ceci n'est pas vrai clans le plan.
TRANSFORMATIONS. )3:j
Théorème. — \° La courbe gauche analla gmatique la plus générale est l'enveloppe d'une famille de cercles orthogonaux à une sphère fixe S et dont les axes engendrent une surface développai/le.
1° La surface anallagmatique la plus générale est l'enveloppe d'une famille de sphères orthogonales à une sphère fixe. Si la déférente est une courbe, l'enveloppe des cercles caractéristiques est la courbe anallagmatique la plus générale.
42(3. Transformations corrélatives. — Au point m(x.y. z. t) de l'espace/, faisons correspondre le plan P de l'espace F, dont les coordonnées homogènes (') u. v. iv, r se déduisent de x, y, z. t par une substitution linéaire
r = a'"x -+- b'"y ■+■ cr" z -+- é" t.
Cette correspondance définit, entre les deux figures, ce qu'on appelle une transformation corrélative.
Ce n'est pas une transformation ponctuelle.
Au n° 306. nous en avons rencontré un cas particulier, à savoir la transformation définie par les formules
C'est celle qui nous a conduit au principe de dualité. Nous l'appellerons la transformation canonique.
La transformation corrélative générale (53) équivaut à la transformation canonique (54), accompagnée de la transformation homographique générale (3).
On peut donc, si Ton veut, se borner à étudier les propriétés de la transformation canonique. Comme cette étude a été faite (nos 306 à 308). nous nous bornerons à en rappeler rapidement les résultats, en les appliquant à la transformation corrélative générale (53).
Théorème I. — Si m décrit un plan p, P passe par un point fixe M et réciproquement.
A tout point M de F. on peut, de la sorte, faire correspondre un plan p de f. Cette correspondance définit une autre transformation corrélative entre F et/, que nous appellerons la transfcrmation associée T' de la transformation proposée T.
(') Ces coordonnées peuvent ne pas se rapporter au même tétraèdre de référence que les coordonnées x, y, z, t.
j4<> « HAÏ 1TRE XXV1I1.
THÉORÈME IF. — Si m décrit une droite d, P passe par une droite fixe D. Si le plan p tourne autour de d, le point M décrit D.
Le rapport anharmonique de quatre points ni i ou M ) est égal au rapport anharmonique des quatre plans P (ou p) homologues.
La droite D est la transformée de d.
Théorème III. — A deux droites d qui se rencontrent, correspondent deux droites D situées dans un même plan.
Théorème IV. — Si m décrit une courbe c. P enveloppe une développable A. A la tangente mt à c correspond la génératrice de contact G de P avec A.
Si M décrit V arête de rebroussement C de A. p enveloppe la développable o dont c est l'arête de rebroussement.
Aux plans tangents à c correspondent les points de A et aux points de o correspondent les plans tangents à G.
On dit que A est la transformée de c et d est la transformée de o. Lorsqu'elles sont algébriques, la classe de chaque développable égale le degré de la courbe homologue.
Si deux courbes c et c' se rencontrent en m, leurs transformées A et A' ont un plan tangent commun P. Elles sont tangentes au point M homologue du plan tmt'.
Si deux courbes c et c' sont tangentes en /??, leurs transformées A et A' sont tangentes tout le long de la droite G homologue de mt.
Théorème V. — Si m décrit une surface non développable s, P enveloppe, une surface S, qui n'est ni développable, ni réduite à une courbe. Si M décrit S, p enveloppe s.
On dit que S est la transformée de s. Lorsqu'elles sont algébriques, le degré de chacune d'elles égale la classe de l'autre.
Si deux surfaces s et s' sont [tangentes, leurs transformées S et S' le sont aussi. Au point de contact m et au plan tangent commun /?, correspondent respectivement le plan tangent commun P et le point de contact M.
Ce théorème et le précédent nous prouvent que les transformations corrélatives sont des transformations de contact.
'r2~ . Les transformations corrélatives, en Géométrie plane, se définissent comme dans l'espace, mais avec une variable de moins. Au point m, correspond a lors une droite D.
Elles se ramènent, par transformation homographique. à la transformation canonique étudiée au n" 297.
Le théorème I s'applique encore et sert à définir la transformation associée. On a aussi la propriété relative au rapport anharmonique.
Le théorème V s'applique également, en remplaçant les surfaces par des courbes.
TRANSFORMATIONS. 4 i '
428. Transformation par polaires réciproques. — Soif une quadrique Q, définie par l'équation homogène
Au point ni(x. y, s, t), faisons correspondre son plan polaire I' />ar rapport <i Q (n° 132). Les coordonnées de ce plan i ' i sont données, comme on sait, par les formules
(56) u = i/j., v = l-fy, w = l-fi, r = -Jt.
Elles sont linéaires. Donc, elles définissent une transformation corrélative. Cette transformation porte le nom de transformation par plans polaires réciproques par rapport à la quadrique Q, qui est appelée quadrique directrice.
En particulier, la transformation canonique (54) est une transformation par plans polaires réciproques par rapport à la quadrique
Toute transformation corrélative se ramène à une transformation par plans polaires réciproques par l'intermédiaire d'une transformation homographique convenable.
Les théorèmes 1 à V du n° 426 s'appliquent évidemment aux transformations par plans polaires réciproques. Faisons seulement les remarques suivantes :
Si m décrit le plan/?, nous savons que P pivote autour du pôle M de p (n° 435). Donc, les transformations T et T' sont identiques.
Deux droites homologues sont deux droites conjuguées par rapport à la quadrique directrice (n° 436 ).
La quadrique directrice se transforme en elle-même , car l'homologue d'un de ses points est le plan tangent en ce point.
On définit, de même, en Géométrie plane, la transformation par polaires réciproques par rapport à une conique donnée. On peut faire, à son sujet, des remarques analogues à celles émises ci-dessus.
(') Nous rapportons, celte fois, les coordonnées u. r. iv. r au même tétraèdre de référence que x, y, z, t.
