Imaginons maintenant an deuxième axe y*y tracé n'importe

où dans l'espace. Considérons an vecteur A!> porté par cet axe el

projetons-le en ab sur x ' x. Nous allons démontrer le théorème suivant, qui a une importance capitale et que. pour cette raison, nous appellerons :

Théorème fondamental. — La mesure algébrique de la projection ah est égale à la mesure algébrique de ABsury'y multipliée par la projection du vecteur unitaire de y' y sur x x.

En effet, soit m = AB. Soient, d'autre part. OU le vecteur uni-

taire de y'y ^n° 8) et ou sa projection sur x x. On a manifestement 1 égalité géométrique

AB = m OU.

En la projetant sur x' .r. on obtient l'égalité algébrique (n° 16)

ab = mou ou

(24 ) ab — AB ou.

Au lieu de supposer AB surr'j, on pourrait évidemment le supposer seulement parallèle Ày'y.

Si un vecteur n'est parallèle à aucun axe, on peut encore lui appliquer le théorème fondamental, en imaginant cet axe et lui donnant, par exemple, le sens du vecteur, auquel cas AB est simplement la longueur du \ ecteur.

Si l'on ;i à projeter plusieurs vecteurs parallèles, il y a avantage à introduire, s'il n'existe pas déjà, un axe parallèle à la direction confia mune de tous ces vecteur-.

GRANDEURS ORIKN'TÉES. PROJETIONS. K)

18. Théorème des projections. — Etant donnés plusieurs vec~ leurs, lu projection de leur somme géométrique (n° Mil | est la

somme algébrique de leurs projections.

Soienl les vecteurs Vl1B1, A., IL, ..., A„B„. de somme géométrique AB. ( )n ;i donc

AI! = A1B,-f-AsB2-i-...-+-AnB„.

Projetons lotis ces vecteurs sur x'.x\ je dis que l'on a (')

l'aG ) ab = ai b\ -t- a <*/)*-+-. . .-+■ anbn.

En effet, construisons le contour polygonal ()P, IL • • .P«j dont les côtés consécutifs sont équipollents à A,B,, A2B2, . .., AHB„. Par

définition (n° 101), OPn est équipollent à AB. Il nous suffit, dès lors, de démontrer l'égalité

Opn— Opi-i- Pifî-^-- ---ï-Pn-lPn-

Mai>. cela n'est autre que la formule (7).

Le théorème des projection» r»i, lui aussi, extrêmement important et nous en ferons un fréquent usage dans la suite.

L'égalité algébrique ( 26) est dite la projection de l'égalité géométrique ( 2.") 1 sur ./ •'./ .

19. Projections orthogonales. — Lorsque le plan I' est perpendiculaire à x'x, on dit que la projection est orthogonale. S "ici. dans ce cas, ce qu'il y a à ajouter aux considérations précédentes.

Reprenons 1rs deux axes 1 c etjr'y du n° 17, pour nous occuper de la projection sur x x du vecteur unitaire OT de y'y. Menons par ( ) un axe parallèle à ./•'./•. soit X'OX. Projetons orthogonalement le point l en l »ur eei axe. On sait que ou = 01' . D'autre part, si, dans le plan \( ) r. nous traçons le cercle trigonométrique de centre O, en l'orientant arbitrairement et prenant l'origine des arcs

(l) D'une manière générale, nous désignons par des petites lettres les projections des points désignés par les grandes lettres correspondantes.