CHAPITRE II. — GRANDEURS ORIENTÉES. PROJECTIONS

sur la demi-droite ()\ ( directrice de'X'X), nous savons que OU' est,

par définition, le cosinus de l'angle \0X, Or). Mais, cet angle est une des déterminations de l'angle V des deux axes x'x èly'y (n° 15). Comme toutes ces déterminations ont le même cosinus (n° 15), on peut énoncer la proposition suivante :

Etant donnés deux axes dans l'espace, la projection orthogonale du vecteur unitaire de chacun d'eux sur l'autre est égale au cosinus de leur angle.

Dès lors, le théorème fondamental (n° 17) devient, dans le cas de la projection orthogonale, qui est le plus fréquent dans la pratique :

Théorème fondamental. — Etant donné un vecteur porté par un axe y' y ou parallèle à cet axe, sa projection orthogonale sur un autre axe x x est égale à sa mesure algébrique sur y' y multipliée par le cosinus de l'angle des deux axes.

Si aucun axe n'est parallèle au vecteur, il suffît (n° 17) de multiplier la longueur du vecteur par le cosinus de l'angle que fait sa direction positive avec x' x.

20. Notion de coordonnées. — Nous avons vu, au Chapitre précédent, comment on peut déterminer chaque poinfd'une droite ou d'une courbe par un nombre relatif, appelé abscisse du point. On peut étendre cette notion à tous les points d'un plan, ou d'une surface quelconque, ou de l'espace.

S'il s'agit des points d'un plan ou d'une surface, à chacun d'eux on fait correspondre deux nombres x et r, qui sont dits ses coordonnées. S'il s'agit des points de l'espace, à chacun d'eux on lait correspondre trois nombres x, j', z, qui sont encore dits ses coordonnées. De plus, la correspondance entre les points et les groupes de (2 ou 3) nombres doit être parfaite, tout au moins pour une certaine région (du plan, de la surface ou de l'espace).

C'est sur cette notion que repose toute la Géométrie analytique. On conçoit, en effet, que, permettant de substituer à chaque point un groupe de nombres, elle permette aussi de substituer aux relations entre points, c'est-à-dire aux propriétés de la Géométrie, des relations entre nombres, lesquelles rentrent dans le domaine de ■ l'Analyse. Un lien étroit est, dès lors, établi entre ces deux sciences, qui constitue la Géométrie analytique et la Géométrie infinitésimale.

Rien ne s'est révélé plus fécond que cette fusion entre deux sciences au premier abord très différentes. Chacune d'elles rend service à l'autre et le géomètre moderne doit être également apte à saisir les raisonnements de la Géométrie pure et à transformer les équations de la Géométrie analytique. Lu où les premiers sont impuissants ou compliqués, les secondes seront un instrument certain et simple de réussite. Dans d'autres circonstances, au contraire, quelques déductions géométriques remplaceront avantageusement des calculs impraticables. Il faut savoir allier à propos les deux méthodes et les contrôler l'une par l'autre.

La notion de coordonnées est très générale, en ce sens que la correspondance sur laquelle elle repose présente un grand degré d'indétermination. Suivant le choix qu'on en fait, on obtient tel ou tel système de coordonnées.

Lu système étant défini, on peut obtenir tous les autres par un simple changement de variables (t. I, n° 139) sur les coordonnées qui le constituent. Dans cet Ouvrage, jious envisagerons rarement ce point de vue général et nous utiliserons presque exclusivement des systèmes de définition géométrique simple, que nous allons d'ailleurs exposer dans ce Chapitre.

21. Coordonnées cartésiennes 01 rectilicnes. — Le> coordonnées que nous emploierons le plus souvent sont les coordonnées cariésiennes ou rectilignes. Elles ont été inventées par Descartes, qui est regardé, pour cette raison, comme le fondateur de la Géométri analytique.

Coordonnées dans le plan. -- Choisissons arbitrairement deux axes Ox et Oy, se coupant au point O ( flg. { >.

On appelle abscisse du point M la projection du vecteur OM sur Ox parallèlement à Oy. On appelle ordonnée du même point la projection du vecteur OM sur ( )y parallèlement à Ox.

Si donc on mène MP parallèle a Oy et MQ parallèle à Ox. l'abscisse est OP. l'ordonnée est OQ. On les représente ordinairement par les lettres respectives x et y. En tout cas, on nomme toujours l'abscisse la première.

Les deux nombres x et y constituent les coordonnées du point M. IN repondent bien a la notion du numéro précédent, car si la coi-

naissance de M entraîne évidemment celle de x et y, il n'est pas moins visible que se donner x et y équivaut à se donner M. Il suffît, en effet, pour obtenir ce point, de porter OP = x sur Ox, OQ = y sur Oy, puis de mener par P une parallèle à Oy et par Q une parallèle à Ox) ces deux droites se coupent au point M cherché.

Les axes Ox et Oy sont appelés axes de coordonnées. Le premier se nomme aussi axe des x et le second axe des y. Le point O est V origine des coordonnées ou simplement V origine.

Le contour polygonal OPM est appelé contour des coordonnées du point M, parce que ses cotés ont pour mesures respectives, sur Ox et sur Oy, l'abscisse et l'ordonnée. De même, OQM est un contour des coordonnées. On a Y égalité géométrique

(i) OM = ÛP + OQ.

Pour cette raison, on dit souvent que le vecteur OM a pour composantes x et y suivant les axes, ce que nous écrirons quelquefois

(i bis) OM = x -\-y.

Les coordonnées sont dites rectangulaires ou obliques, suivant que les axes sont ou ne sont pas perpendiculaires entre eux.

22. Coordonnées dans l'espace. — Choisissons arbitrairement trois axes Ox, Oy, Oz issus du même, point O et non situés dans un

Fis- ô.

même plan, ou encore, comme on dit. formant un véritable trièdre

On appelle abscisse, ordonnée et cote du point M les projection-

<lu vecteur OM faites respectivement sur Ox parallèlement au plan rO;. sur Or parallèlement à z()x et sur Oz parallèlement à

ri) y.

Si donc on mène les plans MSP parallèle hyOz, MSQ parallèle à zOx et MTR parallèle à xQy, l'abscisse est OP, l'ordonnée est OQ, la cote est OR. On les représente ordinairement par x, y. z. En tout cas, on les énonce toujours dans Tordre ci-dessus.

Les trois nombres x, y z constituent les coordonnées du point M. Le lecteur vérifiera, comme nous l'avons fait plus liant, cpie la correspondance est parfaite entre les éléments M et ( x. r, s).

Les trois axes Ox. Oy. Oz sont appelés axes de coordonnées ou, respectivement, axes des r, des y, des z. Les plans yOz, zOx xOy sont appelés plans de coordonnées, ou, respectivement, plans des yz, des sa?, des xy. Le point O est Y origine. Le trièdre Oxyz est le trièdre de coordonnées.

On appelle contour des coordonnées tout contour issu de O et

dont les côtés sont équipollents à OP, OQ, OR. Il v en a six; exemple : OPSM. On a l'égalité géométrique