PROPRIETES PROJECTIYES DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ

429. Les courbes du second degré sont connues depuis la plus haute- antiquité. Elles ont été étudiées par de nombreux géomètres, dont quelques-uns des plus célèbres, sous le nom de sections coniques (par abréviation coniques), parce qu'ils les considéraient comme sections planes d'un cùne à base circulaire.

Les surfaces du second degré doivent principalement leur développement à la Géométrie analytique, à laquelle elles ont fourni, en même temps que les coniques, un vaste champ d'applications, qui, pendant longtemps, a éclipsé tous les autres, mais doit être maintenant réduit à de plus justes proportions.

Nous mènerons de front l'étude des courbes et des surfaces, en commençant par les propriétés projectives, c'est-à-dire celles qui se conservent dans toute transformation homographique (n° 401).

Ces propriétés sont indépendantes du choix des axes ou, plus généralement, du triangle ou tétraèdre de référence. Elles sont communes à toutes les courbes ou surfaces du second degré et s'établissent très simplement à partir de leur équation générale.

Dans tout ce Chapitre, nous emploierons des coordonnées homogènes, qui pourronl être indifféremment regardées comme cartésiennes ou tétraédriques. Nous ne ferons aucune distinction entre le réel et l'imaginaire.

430. Dégénérescences. - La surface du second degré la plus générale est définie par

?i f désigne une forme quadratique quelconque (t. 1, n° 300). En

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES COURBES ET SURFACES DL' SECOND DEGItÉ. \ j 5

supprimant la variable /. on aj de même, L'équation générale d'une courbe du second degré (').

Nous savons (t. \, n° 301 > que la forme /" peut être décomposée en une somme de 4? 3, 2 ou i carrés indépendants. \ oyons quelle esl l'interprétation géométrique de cette proposition analytique.

Premier cas : Quatre carrés. — C'est le cas général. Nous verrou-, au Chapitre \\\. quelles sont les différentes formes que peut alors 'affecter la surface. Pour l'instant, nous conviendrons seulemenl de dire qu'elle est une quadrique véritable ou non dégénérée.

Deuxième cas : Trois carrés. — L'équation prend la forme (■2) P2 — Q2^-R2 = o.

D'après le n° 375, elle représente un cône, donl le sommet est à l'intersection des plans P = o. O — o, R= o.

En Géométrie plane, on a une conique véritable ou non dégénérée (2).

Troisième cas : Deux carrés. — L'équation prend la forme

Elle se décompose en deux. équations du premier degré

(4) P±iQ = o

et représente un système de deux plans, dan- l'espace, de deux droites, dans le plan.

Quatrième cas : Ln carré. — L'équation prend la forme

( ' ) Si l'on fait abstraction du système de deux droites ne se rencontrant pas. il n'y a pas de courbes gauches du second degré. Car, en prenant trois points sur une telle courbe, le plan qui les contient coupe la courbe en plus de deux points, donc en une infinité. Par suite, il contient la courbe en entier, à moins que celle-ci ne se décompose en deux droites.

(*) Si la variable t manque dans /, on a un cône dont le sommet est le sommet D(o, o. o, i) du tétraèdre de référence. On peut aussi regarder l'équation (i) comme définissant une conique dans la face ABC: cette conique n'est autre que la base du cùnr.

i',(i CHAPITRE XXIX.

Elle représente un plan double, dans l'espace, une droite double, dans le plan.

Les trois derniers cas, dans l'espace, les deux derniers, dans le plan, constituent ce que nous appellerons des dégénérescences. Ils offrent un intérêt géométrique médiocre, mais se présentent néanmoins fréquemment dans les applications; il est donc important de savoir les reconnaître.

Un premier procédé est tout indiqué; c'est celui de la décomposition en carrés. Il est surtout applicable avec des équations à coefficients numériques. Nous y reviendrons au Chapitre suivant.

Un autre procédé, souvent plus commode, résulte de la considération des points doubles.

131. Points doubles. — ÎNous savons (t. I, n° 305) que les quatre cas envisagés tout à l'heure peuvent être caractérisés par Tordre du déterminant principal déduit du discriminant A de /ou, ce qui revient au même, par le nombre des variables arbitraires dont on peut disposer dans la résolution du système linéaire (t. I, n° 290)

6 1 fx = o, /;. = o, fi = o, // = o.

Or, ce système caractérise les points doubles (n° 206).

Nous pouvons donc affirmer que, dans le premier cas, il n'y a pas de point double; dans le second cas, il y en a un, dans l'espace (sommet du cône), zéro dans le plan; dans le troisième cas, il y en a une infinité en ligne droite, dans l'espace (intersection des deux plans), un seul, dans le plan (intersection des deux droites); dans le quatrième cas, tous les points du plan ou de la droite double sont des points doubles.

Tous ces résultats sont d'ailleurs bien évidents géométriquement et, comme tels, faciles à retenir. Comme ils sont différents dans tous les cas, ils peuvent servir à caractériser les diverses dégénérescences.

i32. Points cohjtjgi es; polaire, plan polaire, — On dit que deux points M, et M2 sont conjugués par rapport à une quadrique (ou '■unique) S; s'ils sont conjugués harmoniques- par rapport aux deux points de /encontre P', P' de S avec la droite M,M2.

Supposons que S --oit représenté par l'équation (i) et cherchons la condition epui doit lier les coordonnées (.ri,j'i, ;(, t,) et (\r2,j'o. z.. f2)