PROPRIÉTÉS PROJECTIYKS DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ

de nos deux points. In point P quelconque de M,M2 a des coordonnées de la forme xt + ~)>x2, j-, -\-'/.y2, zi-\-').z2: tl-+-\tl. L'équation aux /. des points l" et P" est

Si X' et X" sont ses deux racines, on doit avoir (jx° 130)

X'-hX" = o.

Autrement dit, il nous faut annuler le coefficient de X dans (7). Or, ce coefficient est ■2/(xl\x2) (t. I, n°307). La condition cherchée s'écrit donc

<8) 3"i/.^/i/;- ;i/. + 'iX> ^/; ,+72/', + -2^, + ^/;, = o. .

On exprime que deux points sont conjugués en annulant la forme polaire de f par rapport à leurs coordonnées.

Cherchons le lieu de M2 pour une position donnée de M,. Jl suffit de regarder, dans (8), x2,y2, «25 L± comme les coordonnées courantes. L'équation étant du premier degré, le lieu est un plan, appelé plan polaire de M, par rapport à la quadrique. Son équation peut s'écrire sous les deux formes

(9) xf,+y /;,-«-*./=,-*- </;,=<>.

I 10 xxfx — y if y -t- zJL -Vhft = o.

La première est ordonnée par rapport aux coordonnées courantes.

La seconde est avantageuse quand quelques-unes des coordonnées #,, Vi, z{, tK sont nulles. Enfin, quand il s'agit d'écrire l'équation d'un plan polaire, il ne faut pas oublier les règles générales données au tome I (n° 308), qui sont souvent les plus commodes.

En Géométrie plane, le lieu est une droite, appelée polaire de M, par rapport à la conique. Les équations (9) et (10) s'appliquent, en supprimant t et /, .

i-33. Dans le cas particulier où M, est sur (a <juadrique. l'équation (9) représente-, comme on sait in" 204-), le plan tangent en ce point. C'est le seul cas où un point soit dans son plan 'polaire^ car, si l'équation (9) est satisfaite pour x = .r, . v= r( . z=zi. t= /,.

J jS CHAPITRE XXIX.

il en est de même de l'équation (i), en vertu de l'identité d'Euler (t. I, n" 307).

Il est aisé de se rendre compte pourquoi un plan tangent est plan polaire de son point de contact. Si M, est sur S, quelle que soit la sécante M, à, l'un de ses points de rencontre avee S, P par exemple, est en M, . Si M, a n'est pas tangente, P' est distinct de P et M2 est forcément en M, (n" 129). Si M,X est tangente, P' est confondu avec P et Mo est indéterminé sur M,X.

Tout ceci s'applique en Géométrie plane : la polaire d'un point d'une conique est la tangente en ce point et c'est le seul cas où le point soit sur sa polaire.

434. Pôle. — Étant donné un plan quelconque II (m) use --H vy -+- wa-\- rt ; = o,

cherchons un point M, qui l'admette pour plan polaire. En identifiant les équations (9) et (1 1), nous avons

(ta) ^,= A«, /;, = Xp, /:,= a«', fî = lr,

A étant un facteur de proportionnalité.

Si la quadrique n'est pas dégénérée, le déterminant A de ce système n'est pas nul; il y a donc une seule solution et, par suite, un seul point M, ('), qui est appelé le pôle du plan II. Si l'on introduit la forme adjointe ©(«, e, Wj r) de/(.r, r, z,£), on sait qu'en prenant

A = - > on a

(i3) a?i = r <p£, Y\— -<?'«,, zy— -?'«») '1 =

Les coordonnées du pôle de II sont donc, à un facteur arbitraire près, cp'8J ep'„ «pi,, ?',..

En Géométrie plane, la droite A (m, p, w)-a, de même. ?//? />ô/e unique par rapport à toute conique non dégénérée ; les coordonnées de ce pôle sont ç/, ©'„ cp^;.

Envisageons maintenant le cas des dégénérescences. On pourrait

(' ) Quand on fait varier X, x\, /,, zv tx varient proportionnellemenl ; le point M, ne change pas.

PROPRIÉTÉS PROJECT 1VES Dis COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 449

discuter le système (i 2) ; mais, il est plu> simple devoir les choses géométriquement.

Supposons d'abord que la quadrique S soit un cône. Coupons-la par un plan quelconque Q ne passant pas par son sommet 0; nous obtenons une conique G. Si M, et M., sont conjugués par rapport au cône, leurs projections m{ et m2 sur Q à partir de O sont conjuguées par rapport à G et réciproquement, en vertu de l'invariance du rapport anharmonique ( n° 131 ). 11 suit de là que le plan polaire de M, est le plan déterminé par O et la polaire de m, par rapport à G. Ce plan demeure fixe quand M, décrit la droite Om, : nous dirons que c'e.-t le plan polaire de cette droite par rapport au cône.

Réciproquement. >i un plan II passe par O, il a une infinité de pôles, qui sont les points de la droite joignant le sommet au pôle m, de l'intersection de II avec Q par rapport à G. \ous dirons que cette droite Om( est la droite polaire du plan II par rapport au cône.

Si n ne passe pas par O, il n'a pas de pôle, si Ton excepte le pôle singulier constitué par le sommet, qui. de même que tout point double dune quadrique, est conjugué de tous les points de l'espace (').

Si maintenant la quadrique est un système de deux plans, on se trouve ramené à la théorie du n° 135. Si le plan II passe par la droite D intersection de ces deux plans, il admet comme pôles tous les points du plan conjugué harmonique. S'il ne passe pas par D, il n'admet aucun pôle autre que les pôles singuliers constitués par les points de D.

Des résultats analogues ont lieu en Géométrie plane, quand la conique se décompose en deux droites.

Le cas du plan double ou de la droite double ne présente aucun intérêt.

•435. Tukorèmk. — Si un point M décrit un plan P'. son plan polaire P pivote autour du pôle M! deV et réciproquement .

Cela résulte de ce que M et M' sont constamment conjugués, puisque M est toujours dans le plan polaire de M'.

(') C'est évident géométriquement et aussi sur -

Haag. — Cours, II. 29

I m i I1AP1TRE \\l\.

On a un théorème analogue en Géométrie plane, en remplaçant les plans I* et I*' par des droites.

Corollaire. — Les plans ta nue ni s à une quadrique en tous les points d'une section plane passent par le pôle du ]>lan de la seclion, et réciproquement les plans tangents issus d'un point fi. ce ont leurs points de contact dans le plan polaire de ce point. Ces plans tangents enveloppent un cône circonscrit à la quadrique le long de la conique lieu des points de contact.

En Géométrie plane, lès tangentes issues d'un point à une C'iniquc ont leurs points de contact sur la polaire de ce point.

i36. Droites conjuguées par rapport a une quadrique. — Théorème. — Si le point M décrit une droite D, son plan polaire P passe par une droite fixe D' ; si un plan P' tourne autour de L>, son pôle M' décrit D .

En effet, prenons deux points particuliers M, et M2 de D ; leurs plans polaires P, et P2 se coupent suivant une certaine droite D .

Tout point M' de D' se trouve à la fois sur P, et sur P2 ; son plan polaire P' passe donc par M, et par M2 et, par suite, par D. Réciproquement, tout plan P' passant par D a son pôle sur D'.

Tout point M de D se trouve maintenant sur le plan polaire P. de tout point M' de D'; son plan polaire P passe donc par M' et. par suite, par D'. Réciproquement, tout plan P passant par D' a son pôle sur D.

Les droites D et D sont dite> conjuguées par rapport à la quadrique. In point quelconque pris sur l'une et un point quelconque pris sur l'autre sont toujours conjugués. On en conclut la propriété suivante : Tout plan P passant par D' coupe D suivant un point M et la quadrique suivant une conique C; M est pôle de D' par rapport (L C.

Parmi les plans qui passent par D, on peut considérer les plans tangents; leurs points de contact sont les deux points d'intersection de la quadrique avec la droite conjuguée D'. Ceci nous prouve en passant que les quadriques sont des surfaces de seconde classe (ri0 213 |, ce que nous retrouverons bientôt < u" \\\ ).

Î37. Si la droite D est tangente en M à S, la droite I) se trouve

PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES COCRVES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ. |5l

dans le plan polaire de M, c'est-à-dire dans le plan tangent T en ce point; de plus, comme I) est dans T. I)' passe par le pôle de ce plan, c'est-à-dire par M. Elle esl «lime elle aussi, tangente en M a s.

ha section de S par le plan tangent DMD' se compose de deux droite? G et G' (n° 447). Deux points quelconques, pris respectivement sur D et D', doivent être conjugués par rapporta cette section ; donc, D et D' sont conjuguées harmoniques par rapport à G, G'. Si l'on remarque, pSar ailleurs, que G et G' sont les tangentes asv mptotiques du point M l n" 374), on en conclut que D et D' sont deux tangentes coujuguées, au sens du n° 3 il.

Le lecteur démontrera aisément que ce cas particulier est le seul où les droites conjuguées se rencontrent. Nous lui laissons aïissi le soin d'examiner ce qu'il advient de la théorie des droites conjuguées quand la quadrique S dégénère.

i38. Triangles, trièdres, tétraèdres conjugués. — Lu triangle ABC est conjugué par rapport à une conique C si ses sommets

sont deux à deux conjugués par rapport à cette conique. Chaque sommet a pour polaire le côté opposé. On obtient le triangle conjugué le plus général en choisissant A arbitrairement dans le [dan. puis P> arbitrairement sur la polaire de A. et enfin C conjugué de 1) sur cette polaire ou, ce qui revient au même, pôle de AB.

In triangle ABC esl conjugué par rapport à une quadrique S. s il est conjugué par rapport à la section de S par son plan. On peut aussi donner la même définition que pour une conique. Le plan polaire de chaque sommet passe par le enté opposé. La droite conjuguée de chaque côté passe par le sommet opposé.

Si la quadrique S est un cône de sommet O, le trièdre OABC est tel que chaque" arête a pour plan polaire la face opposée (n"434); on en conclut qu'il est coupé par un plan quelconque P suivant un triangle A'B C. qui e«-t aussi conjugué. On dit que ce trièdre est conjugué par rapport au cône.

Revenons à une quadrique S quelconque. Un trièdre OABC est dit conjugué- par rapport à celte quadrique, si le pôle de chaque face se trouve sur l'arête opposée. Il revient au même de dire que la droite conjuguée de chaque arête doit se trouver dans la face opposa

Lu tétraèdre VP>(d) esi conjugué par rapport à S si ses sommets sont Aev.s à deux conjugués. Chaque sommet a pour plan polaire le [dan de la face opposée. Chaque arête a pour conjuguée 1 arête opposée. Chaque face est un triangle conjugué et chaque angle trièdre est un trièdre conjugué.

î '. •> CHAPITRK XXIX.

On obtient le tétraèdre conjugué le plus général en choisissant A arbitrairement dans l'espace, puis B arbitrairement dans le plan polaire de A, puis C arbitrairement sur la droite conjuguée de AB, et enfin D au pôle de ABC.

439. Si la quadrique (î) est rapportée à un tétraèdre conjugué, le plan polaire du point ( î , o, o, o) doit se réduire à x = o. Or. ce plan polaire a pour équation (n° 432)

fx= O.

On doit donc avoir une identité de la forme De même,

lui appliquant l'identité d'Euler, on en déduit

/=Aa72-t-B^2+ G^2+ BtK

L'équation de toute quadrique rapportée à un tétraèdre conjugué est donc de la forme

La réciproque est évidente.

En faisant t — o, on obtient de même l'équation générale des coniques rapportées à un triangle conjugué

u5 Aa?«+B^+Gz'-=p.

C'est aussi Y équation générale des cônes ayant pour sommet le point (o, o, o, î) et conjugués par rapport à l'angle trièdre correspondant du tétraèdre de référence. En particulier, en coordonnées cartésiennes ordinaires, c'est l'équation des cônes ayant pour sommet V origine et conjugués par rapport au trièdre de coordonnées.

Si, dans la décomposition en carrés (n° 430), on prend les plans P = o, Q = o, ... pour faces du tétraèdre de référence, on obtient une équation de la forme (i4)- On en conclut que ces plans constituent toujours un tétraèdre conjugué. S'il n'y a que trois carrés, on obtient trois plans formant un trièdre conjugué par rapport au cône qu'est alors la quadrique. En Géométrie plane, on obtient trois droites formant un triangle conjugué par rapport à la conique.

iiO. Constructions diverses. — Soit à construire la polaire d'un point M. par rapport à une conique C (fig- \^- — Menons par INI deux sécantes coupant C aux points A, A' et B, B'. La polaire