PROPRIÉTÉS PROJECTIYES DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ

cherchée passe par les points E et E conjugués harmoniques de M par rapport à \ Y et à BB'. On peut donc aussi la considérer comme polaire de M par rapport aux deux faisceaux de droites AB, A' B el \B , V B. Il en résulte qu'elle passe par les sommets N et P de ces faisceaux. Cela suffît pour la construire.

Pie. ii.

Remarquons que Ton peut échanger les rôles des trois points M. N, P; ils forment donc un triangle conjugué.

Si l'on sait mener les tangentes issues de M, on a la polaire cherchée enjoignant leurs points de contact.

Pour construire le pôle d'une droite, on prend l'intersection des polaires de deux de ses points. En particulier, on peut prendre l'intersection des tangentes aux points où elle coupe la conique.

On peut imaginer des constructions analogues dans l'espace; mais elles ont moins d'intérêt et ne sauraient être réalisées qu'en Géométrie descriptive.

Equation tangentiexle. — - L'équation tangentielle de la qua-

drique (i) s'obtient en éliminant oc. j', z, t et a entre les équations (n°208)

fi6) f'x- X u, /,".= Àe, f'z = au;, /; = À r

et l'équation ( i i ou bien la suivante :

(17) ux -t- vy — wz — rt = o.

Supposons d'abord que la quadrique ne soit pus dégénérée. En prenant A = -, tirant .r. y. :■. t de (16) el "portanl ilans 1 1 i, on

obtient

( ii.viMiiu: \\i\

z désignant, comme an n" 434, la forme adjointe de f. On peut aussi éliminera, i. -. f, X entre (16) et (17) soit par des calculs élémentaires, soil un moyen d'un déterminant :

Cette dernière équation résulte, d'ailleurs, aussi de laformule (40 du n" 311 du Tome I.

Rappelons encore que les coefficients de la forme adjointe sonl proportionnels aux mineurs du discriminant (t. I, n°31i); on peut donc prendre ces mineurs comme coefficients de l équation tangeïitielle.

En Géométrie plane, on a des procédés analogues pour former V équation tangentielle d'une conique non dégénérée. Il suffit de supprimer une coordonnée. dans tout ce qui précède.

La seule dégénérescence qui présente de l'intérêt au point de vue tangentiel est le cône. Xous savons ( n° 303 ) qu'il possède deux équations tangentielles. L'une, du premier degré, représente le sommet: l'autre, du second degré, représente une quadrique quelconque inscrite dans le cône ou bien une section plane ne passant pas par le sommet.

l'oiu trouver ces équations, on peut poursuivre l'élimination de x. y. z. t. a entre (16) et (17 >. On peut aussi, dès que Ton s'est aperçu que la quadrique est un cône, chercher son sommet et une section plane et en calculer ensuite séparément les équations tangentielles.

442. Si RFACES ET COURBES DE SECONDE CLASSE 5 DÉcr.AÉRESCENCES TAN-

gektielles. — L'équation (18) est du second degré: donc, une surface (nu une courbe) du second degré est aussi de la seconde classe. Examinons la réciproque et cherchons ce que représente

PROPRIÉTÉS PROJECTIVBS DE8 COURBES ET SURFACES l»l SECOND DEGRÉ. {55

L'équation (i 8) quand on suppose que s est une forme quadratique quelconque eu //. c tp, r.

Nous savons qu'on passe de L'équation Langentielle à L'équation ponctuelle au moyen des mêmes calculs qui servent à passer del L'équation ponctuelle à L'équation lange ntielle ; il suffit simplemen d'échanger Les variables ./•. t\ r, t <-t u, p, o-, / i u" 306 \. Donc, si cp est une somme de quatre carrés, L'équation ponctuelle correspondant à (18) s'obtiehl encore en annulant là forme adjointe. Nous dirons, dans ce cas, que L surface représentée par (18) n'est pas dégénérée et nous arrivons à cette conclusion qu'il y a identité complète entre les surfaces (ou courbes) \<>n dégénérées du second degré et de la

seconde classe.

Examinons maintenant Les dégénérescences langentielles comme nous avons examiné, au n° i30, l«'s dégénérescences ponctuelles. Nous appliquons, à cet effet, le principe <\c dualité.

Premier <-as : Quatre carrés. — La quadrique n'est pas dégénérée; «'lie n'a pas de plans tangents doubles.

Deuxième cas : Trois carrés. — L'équation (18) représente une conique; il \ a //// plan double^ qui est Le plan de La conique.

Troisième cas : Deua carrés. — L'équation (18) se décompose en deux équations du premier degré; elle représente deux points; il \ a une infinité de plans doubles, qui sonl les plans passant par ces ilcux points.

Quatrième cas : Un carré. — L'équation (18) représente un point double; tous les plans qui passent par ce point sont des plans tangents doubles.

Il n'y a pas lieu de faire une discussion particulière pour la Géométrie plane; il suffit de remarquer que Le deuxième cas est alors Le cas général, le troisième et Le quatrième eus constituant des dégénérescences.

La recherche pratique des dégénérescences tangentiefles peut se faire soit par la décomposition en carrés, soit par la recherche des plans tangents doubles.

443. Éléments conjugués en taxgentiellks. — On peut reprendre, du point

45ti CHAPITRE XXIX.

de vue corrélatif, toute la théorie des éléments conjugués exposée dans les n s 432 à 439.

Deux plans P, et P2 sont dits conjugués par rapport à la quadrique ^ définie par l'équation tangentielle (18) s'ils sont conjugués harmoniques par rapport aux plans tangents issus de leur intersection.

Si («i, i'i, <i',, rt) et i Ui, vit a-2. r2) désignent leurs coordonnées respectives, les coordonnées des plans tangents sont

"l 'II,. I',— Al";., H'!— Àtl'2, '"l+^,/*2)

a étant donné par l'équation du second degré

1201 çp («i 4- X «», c, -'/.v2. w1-r-hwi, /-j -I- À r±) — o.

La condition d'harmonie est que la somme des racines soit nulle, c'està-dire

'i ''1^-'''^- »'i?ws-l- ''ir;:= «ir»-1'^;,- «'ïrl,,- ''^i',= °-

autrement dit. la contUtio.n pour que deux plans soient conjugués s obtient en annulant la forme polaire de ç par rapport à leurs coordonnées.

Si Pi reste fixe, P2 passe par un point fixe .M, appelé pôle de Pi, et dont l'équation tangentielle s'écrit sous l'une ou l'autre des deux formes équivalentes :

• 23 i ttio'„+Pi o'„-|- «•!>+''!;;.= 0.

La première montre que les coordonnées de ce point sont proportionnelles à

Tout ceci s'applique, que la quadrique 1 soit dégénérée ou non. Supposons maintenant qu'elle n'est pas dégénérée. Si l'on rapproche les formules (24) des formules (i3), on voit qu'il y a identité entre les deux définitions du pôle d'un plan, résultant des deux points de vue ponctuel et tangentiel.

Tout ceci s'applique évidemment en Géométrie plane, en remplaçant les plans conjugués par des droites conjuguées.

Ail. Lorsque la quadrique - dégénère en une conique, deux plans conjugués Pi, P2, leur intersection G et les plans tangents P', P" issus de cette intersection sont coupés pnr le plan n de la conique suivant deux droites Di, D,, un point Q et deux tangentes T'. T". Les quatre droites forment un faisceau harmonique de sommet Q ; donc D( et D2 sont conjuguées par rapport à la conique. Il s'ensuit que, si, Pi restant fixe. P2 varie en restant conjugué