PROPRIETES PROJE..T1VES DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRE

de l'i, D2 varie en pestant conjuguée de D| et, par »uite. pivote autour du pôle M de D,. D'où la règle suivante :

Le pôle d'un plan I' par rapport à une conique de plan II s'obtient en prenant le pôle de la trace de P sur 11 par rapport à cette conique.

On verrait de même que, si ~ dégénère en deux points A et B, le pôle <lu plan P c-t le conjugué harmonique du point où ce plan rencontre la droite AI! par rapport au segment AB. On a une règle analogue en Géométrie plane.

44-5. Le lecteur examinera ce que deviennent, par dualité, les définitions données au n° 438. Contentons-nous de faire observer que, dans l'espace, le triangle et le trièdre conjugués sont deux éléments corrélatifs. De même qu'un triangle est conjugué par rapport à la quadrique S s'il est conjugué par rapport à la section de S par son plan, de même un trièdre est conjugué par rapport à la quadrique - -il est conjugué par rapport au cône circonscrit i ' | à S à partir de son sommet.

Les équations corrélatives de (ij) et (i5), soit

A«2-hBp*+C

C iv- = o,

sont respectivement les équations tangentielles d'une quadrique rapportée à un tétraèdre conjugué et d'une conique rapportée à un triangle conjugué.

446. Génératrices- rectilignes des quadriques. — Les quadriques dégénérées contiennent tontes des droites, dont la distribution esl évidente et n'offre aucun intérêt particulier. .1 priori, il existe aussi des droites sur une quadrique non dégénérée, car. en la coupant par un plan tangent quelconque, on obtient une conique à point double (11" 342), c'est à-dire deux droites < n° 131).

Nous allons étudier leur distribution et leurs propriétés.

L'équation d'une quadrique non dégénérée peut toujours se mettre

(') A "vrai dire, nous n'avons pas défini, du point de vue langentiel, les éléments conjugués par rapport à un cône, qui n'est pas une dégénérescence tangentielle. On y arrive en transformant, par dualité, la définition des éléments conjugués par rapport à une conique de l'espace, qui n'est pas une dégénérescence ponctuelle. Deux plans passant par le sommet d'un cône sont conjugués par rapport à ce cône s'ils sont conjugués harmoniques par rapport aux plans tangents issus de leur intersection. Un trièdre est conjugué par rapport à un cùne de même sommet, si les plans de ses faces sont deux à deux conjugués par rapport à ce cône.

sous la forme