PQ = RS

P, Q, R, S désignant quatre formes linéaires indépendantes. En effet, la décomposition en carrés nous donne une équation qui peut s'écrire, si Ton ne s'occupe pas de la réalité,

les formes P , Q', R', S' étant indépendantes. Il suffit, dès lors, de poser

pour obtenir l'équation (2-).

Cela posé, on aperçoit tout de suite les deux familles de droite -

(30) P = rS. Q=-R.

Quand le paramètre u varie, la droite (29 1 engendre la surface (a-)> comme on le voit en éliminant ce paramètre (nG 62). I >■ même, quand r varie, la droite (3o) engendre aussi la quadrique.

Nous obtenons ainsi deux systèmes de génératrices reclilignes.

Je dis qu'i7 n'y a pas d'autres droites sur la surface. En effet, supposons qu'il v en ail une : G. Coupon— la par le plan P = o. Le point d'intersection M annule le premier membre de (27), donc !<• second, donc R ou S. Supposons qu'il annule R. Le point M appartient à la droite P = o, R=o; donc, G rencontre cette droite et -< trouve dans un plan de la forme

P + ÀR = n.

Mais, ce [dan coupe la quadrique suivant les deux droites P = o, R = o et P + ).R = o, >.Q-t-S = o.

La première est la droite v = o; la seconde est la droite u — — X. La droite G, qui coïncide nécessairement avec l'une d'elles, appartient donc à l'un des systèmes ci-dessus. On aboutirait à une conclusion analogue en supposant que M annule S.