PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ

iiT. Théorème I. — Par tout point de la surface passe une génératrice et une seule de chaque système.

En effet, cherchons à faire passer la droite (29) par le point M,,. O11 a. pour déterminer la valeur de u. deux. équations du premier degré

l-ii. P0— ul\„= o. Q„ a — S0=o.

Ces. équations sont compatibles, parce que M0 satisfait à (27), par hypothèse. Elles ne peuvent être vérifiées toutes deux identiquement, car cela exigerait que les quatre quantités P03 Q01 R0. S0 fussent toutes nulles, ce qui est impossible, à cause de l'indépendance des quatre formes linéaires P, Q. R. S. Elles admettent donc une solution et une seule (').

On raisonnerait de même pour l'autre système.

Théorème 11. — Tout plan tangent contient une génératrice et une seule de chaque système.

Ce -ont les deux génératrices issues de son point de contact.

Théorème III. — Deux génératrices de même système ne se rencontrent pas.

Car. si elle> se rencontraient, il passerait deux génératrices de même système par leur point de rencontre, ce qui est contraire au théorème I.

Théorème I\ . — Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent.

En effet, les génératrices 1 // 1 et 1 p) se rencontrent au point d'intersection des trois plans

(3a) P = itR, P = r5. P = «pQ.

On peut aussi chercher un plan contenant à la fois les deux

( ' ) Cette solution peut être u = x, si Q„ = R0 = o.

droites. Il a une équation qui doit être à ia fois des deux formes

p„R l). /Q Is ) =o,

P— vS -H;jl(q — -R.\ = o.

( les équations sont identiques si l'on prend X = 'jl = uv; de sorte que les deux génératrices sont dans le plan

Corollaire. ■ — Deux génératrices de systèmes différents ne peuvent coïncider.

Car, si une droite appartenait à la fois aux deux systèmes, elle rencontrerait toutes les génératrices (m) comme appartenant au système (t ) et toutes les génératrices (t>) comme appartenant au système (m). Mais, d'autre part, elle ne saurait rencontrer aucune génératrice (u) parce quelle appartient au système (m), ni aucune génératrice (v) parce qu'elle appartient au système (v). On arrive à une contradiction; l'hypothèse est donc absurde.

Théorème V. — Les génératrices d'un système décrivent deux divisions liomograpiiiques sur deux génératrices quelconques de Vautre système.

Cela résulte visiblement des théorèmes IV et I.

La réciproque de ce théorème a été démontrée au n° 1 47.

Théorème VI.-- Une quadrique est entièrement déterminée quand on connaît trois génératrices Gt. G2, G:J de même système.

Car, si l'on prend un point quelconque M sur G,, la génératrice G' du second système qui passe par M est entièrement déterminée parla condition de passer par M et de rencontrer Go et G3. Quand M décrit G,. G' décrit la quadrique.

ii8. On met quelquefois les équations des deux systèmes de génératrices sous la forme suivante. On écrit l'équation de la quadrique