PROPRIÉTÉS PHOJECTIYES DES COURBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ. |G

Cette équation est vérifiée identiquement si l'on pose

( 35) P = R cos-f — S sin z, Q = R si n 9 — Si

ou bien

(3*6) 1'= R cos<|< — Ssin-i. Q = R sim|/ — S cos^.

Ces deux groupes d'équations définissent chacun un système de génératrices.

Remarques. — I. Les équations i2Qi. (3o) ou (35), (36) s'appliquent aussi bien en coordonnées tangentielles.

II. Pour que les génératrices soient réelles, il faut et il suffit que L'équation de la surface puisse se mettre sous l'une ou l'autre des formes ( i- i ou (34), les formes linéaires P, Q, R, S étant réelle?. Il revient au même de dire que la décomposition en carrés chat donner deux carrés positifs et deux carrés négatifs.

III. Lorsque la quadrique dégénère en un cône, les deux systèmes de génératrices viennent se confondre.

CLASSIFICATION DES COURUES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ; POINTS A L'iNFINI, CENTRES, DIAMÈTRES, PLANS DIAMÉTRAUX.

4i(d. Classification par la décomposition en carrés. — ■ Dans le Chapitre précédent, nous avons classé les courbes el surfaces du second degré suivant le nombre de carrés indépendants que donne la décomposition du premier membre de leur équation. Mais, nous ne nous sommes nullement préoccupés des signes de ces carrés. En autre, nous n'avons fait intervenir nulle part le plan de Vinfini. Or, ces deux considérations ont une. importance capitale dans la forme des lignes et des surfaces. Si dune nous voulons être renseignés sur les diverses configurations que peuvent présenter une conique ou une quadrique, il nous faut reprendre la classification par la décomposition en carrés, mais en tenant compte à la fois des signes et du plan de l'infini.

Soit l'équation du second degré, que nous supposerons toujours à coefficients réels el écrite en coordonnées cartésiennes homogènes

Nous allons décomposer la forme quadratique f par la méthode de Gauss (t. I, n°301), en nous astreignant à ne jamais prendre t pour variable directrice. C'esl grâce à celte distinction de la variable / que le plan de l'infini va jouer son rôle particulier. Convenons, en outre, de faire / =1. auvxiiôt la décomposition terminée.

Il s'agit d'examiner maintenant tous les cas possibles de décomposition.

Chaque extraction d'un ou deux carrés fait disparaître une ou deux variables de la forme quadratique résiduelle. Il est, par suite, commode de discuter d'abord les cas où il manque des coordonnées.

CLASSIFICATION DES COCRBES ET SURFACES DU SECOND DEGRÉ. \h >

Premier cas : II manque deux coordonnées, soit, par exemple, y e\ z.

Si a; figure au carré, on peut la prendre pour Variable directrice; on obtient alors une décomposition de la forme

I* désignant une fonction linéaire réelle renfermant x. et // désignant une constante positive, négative ou nulle.

Si .r ne figure qu'au premier degré, on ne peut rien extraire; en faisant t = i . on a la décomposition

Enfin, si x ne figure pas du tout, on a la décomposition

Deuxième cas : II manque une coordonnée, soit ;.

S'il y a un terme en X-. par exemple, il nous donne un carré ± l'-' et il reste une forme quadratique en y. I, qui donne une décomposition de la forme i 2 1. (3 1 Ou I \ ). Cela nous donne les décompositions suivante- :

les signes ± devant être combinés de toutes les manières possibles.

Remarquons que les équations P=o, Q = o ont toujours une solution unique, car de la seconde on peut tirer j', qui y ligure seul, et de la première on tire ensuite a: , qui y figure certainement.

S'il n'y a pas de termes en x'2 ou en y-, mais un terme en .ri ', on extrait simultanément deux carrés de signes contraires et l'on a une décomposition cpii rentre dans la forme (5). Les équations P=o, Q = o ont encore une solution unique, car elles donnent L'une X — y. L'autre x — y.

Si x et y ne figurent qu'au premier degré, on ne peut rien extraire et l'on a une décomposition de la forme (3) ou (4), avec cette seule différence que P peut renfermer deux variables au lieu d'une.

Troisième cas : II ne manque aucune coordonnée. — S'il y a un

' n u>i nu: \\\.

terme <'ii ./ •-'. il nous donne un carré P2, plus im<' forme quadratique en y, s, qui se décomposera suivant (5), (6), (7), (3) ou 1 j); il où les décomposil ions sun antes :

les signes — devant encore être combinés de toutes 1rs manières possibles.

Les équations P o, <v> o, R = o onl toujours une solution uiih]ii>\ car les deux dernières donnent y et s, d'après le cas précédent . et la première donne ensuite ./•.

Dans les types 10 el 1 1 ». les plans I' o, ( } 0 ne sont jamais parallèles, car le second est parallèle à Ox et le premier ne l'est pas.

Si / ne renferme pas de carrés, elle renferme au moins un rec-

tangle, soit xy, sans quoi l'équation (1) s'abaisserait au premier

degré, ce que nous ue supposerons [>a-. On peut donc extraire deux

• arrés I'-' — <v>- et il reste une .forme quadratique en s, t. qui donne

! ou j). On rentre dans les types (8), (9) ou (10).

Les équations P = o. Q = o, R = o ont encore une solution unique, car la troisième donne z; puis, les deux premières donnent l'une ./—>'. l'autre x — y. Dans le cas du type (»o), les plans P = o, Q :o in- ~"ut jamais parallèles, car il- coupent le plan des 1 y suivant des droites respectivement parallèles aux deux bissectrices.

En résumé, tous les types possibles de décomposition sont compris dans les formules (8 à 1 ■> . ri. dan- tous les cas, les plans P = o, Q = o, R = o forment unvéritable trièdre o«,s/R manque^ un véritable dièdre.

Les trois derniers types sont ceux de la Géométrie plane, les droit-- P o. O o étant toujours concourantes.

loO. Equations réduites; formes m.-> coniqt ks kt quadriques. — Les plans ou droites P . Q), R peuvent toujours être pris pour plans ou axes) de coordonnées. Les formes linéaires P. <x>. R deviennent alors respectivement proportionnelles à '.y. s, et, en

CLASSIFICATION DBS COURBES u SURFACES DI SECOND DBG

égalant à zéro chacun des types de décomposition •• 12

obtient des équations réduites, <|in vonl nous permettre d'étudier très simplemenl les différentes formes que |><-ui affecter une courbe <>ii une surface du second degré.

Nous pourrions nous borner .1 l'étude des lyp 11 les

autres se ramènent à l'étude des formes d'une conique, lesquelles s.int bien connues en Géométrie élémentaire. Il nous pai 11 utile, néanmoins, de faire ici cette étude, que nous envisagerons en p emier lieu, en négligeant toutefois le type (12)1 '["i représente deux plans 1 mi droites 1 parallèles : P = \ h.

151. Ellipse. Considérons le type (10 dans. le. cas où les carrés V- et Qa ont le même signe, que nous pouvons toujours -u j »[>•►-« ; être le signe ---, quitte à changer l<' -i^n>- de A.

Si h > >>. la courbe n'a aucun point réel; nous l appellerons ellipse imaginaire. Dans l'espace, on aurait un cylindre elliptique imaginaire.

Si A o, L'équation se décompose en I' r'Q o; La coniqui La quadrique) dégénère en deux droites (ou deui [>l<ui^ sécantes et imaginaires con \ iug /"'es.

Le seul cas intéressant est A o. Il non- donne une équation réduite de la forme

Le lecteur reconnaît L'équation élémentaire de l'eUipse 1. • j » | > • .1 ses axes. Mais i>i. les axes de coordonnées peuvent être obliques. ( ionstruisons donc La courbe.

D'abord, elle admet l'origine pour centre de symétrie • n 248 les axes de coordonnées pour axes de symétrie oblique n° ^«i . Vous pouvons donc nous borner à considérer Les valeurs positives de r ''i de y. Nous tirons, |>;u- exemple,

y- as.>- ->-

et nous voyons que Lorsque x croît de 0 ■> ". y décroît de 6 à

le point courant M décrit l'arc l>\ fig. 1 • L'équation de la tan-

11 — 1 ri, II.

gcnte en ce poial esl i n" 197 i

Xx Y v

~7Ï "^ IJï

Eli.' nous montre que Les tangentes en B <•[ A sont respectivement parallèles à 0.r et Oy. En complétant l'arc BA par symétrie, on

Fig..42.

obtient la courbe fermée ABA'B'. que nous appellerons ellipse réelle, nous réservant de prouver plus tard (n° 469) son identité complète avec la courbe connue sous ce nom en Géométrie élémentaire

Dans l'espace, l'équation (i3) représente un cylindre elliptique réel.

' -452. Hyperbole. — Supposons maintenant que, dans le type < io), P2 et Q2 soient précédés de signes contraires. -

Si h = o. l'équation se décompose en P ± Q = o. La conique i ou la quadrique) dégénère en deux droites (ou deux plans j sécantes réelles.

Si h ■=?=. o. I équation réduite est de la forme

x- ya- b-

à un échange près des axes ou de tous les signes.

Le lecteur reconnaît l'équation élémentaire de l'hyperbole Construisons néanmoins la courbe.

Comme tout à l'heure, l'origine et les axes de coordonnées sont des éléments de symétrie.

On a