CLASSIFICATION DES COURBES UT SURFACES DU SECOND DEGRE
On a le centre en formant l'équation tangentielle du pôle du plan de l'infini, soit
En combinant cette équation avec la proposée, on a le cône asymptote (ou les asymptotes;. En particulier, en éliminant r. on a l'équation tangentielle de la conique de /'infini (ou des points à l'infini), qui permet de reconnaître le genre.
Enfin, on peut avoir des renseignements précieux pour l'identification de la quadrique en étudiant la réalité des plans tangents parallèles à certaines directions, en particulier parallèles aux faces d'un trièdre de directions conjuguées.
DIRECTIONS PRINCIPALES ; EQUATIONS RÉDUITES EN COORDONNÉES RECTANGULAIRES.
469. Bit du chapitre. — Dans le Chapitre précédent, nous sommes arrivés, par des changements de coordonnées, à mettre l'équation générale du second degré sous des formes réduites très simples. Mais les nouveaux axes étaient quelconques. Le but du présent Chapitre est de voir s'il est possible d'arriver aux mêmes équations en coordonnées rectangulaires. ( n tel résultat serait particulièrement intéressant en Géométrie plane, car il nous démontrerait l'identité des coniques de la Géométrie analytique avec les coniques de la Géométrie élémentaire (n° 451 l. Nous supposerons que les axes de départ sont eux aussi rectangulaires.
Afin de séparer les difficultés, nous diviserons notre problème en deux :
i° Chercher les directions des nouveaux axes ; 2° Chercher leur origine.
Le premier problème s'énonce de la manière suivante :
Faire un changement de coordonnées rectangulaires de manière que la nouvelle équation ne renferme pas de termes rectangles.
Il n'intéresse que les termes du second degré es (x, y, :)\ de sorte que, s'il est résolu pour une quadrique, il lest aussi pour toutes les quadriques de mêmes directions asymptotiques, c'est-à-dire pour toutes les quadriques homothétiques (n° 407).
En Géométrie plane, on peut employer une méthode élémentaire, qui consiste à faire tourner les axes d'un angle to el à déterminer ensuite cet angle pour que la transformée de la forme quadra-
ÉQUATIONS RÉDUITES EN COORDONNÉES RECTANGULAIRES. \^rJ
tique cp(.r, y ) n'ait pas de terme rectangle (cf. Chapitre VI, Exercice proposé n° 20). On peut aussi remarquer que les axes cherchés sont les bissectrices du faisceau des directions as] mptotiques (ri0 132). Mais ces méthodes ne s'étendent pas aisément à l'espace.
[Vous en connaissons une autre, qui est générale. La question est, en effet, de trouver une substitution orthogonale qui fasse disparaître les termes rectangles de la forme quadratique csf.r, ) , s). Or, ce problème a été résolu au n°310 du Tome I, par la méthode de l'équation en S. Nous pourrions donc nous en tenir là. Nous allons, néanmoins, reprendre la question, en l'interprétant géométriquement.
470. Directions phincipales. — Le nouveau trièdre de coordonnées doit être à la fois un trièdre trirectangle et un trièdre de directions conjuguées (n° 466). Il en résulte que chaque direction d'axe doit être perpendiculaire à la direction de plan conjuguée. Une telle direction de droite sera appelée direction principale.
Il est aisé d'en découvrir géométriquement l'existence, en coupant par le plan (ou la droite) de l'infini.
En Géométrie plane, la trace p d'une direction principale sur la droite de l'infini doit avoir même conjugué harmonique par rapport aux points cycliques I et J et aux points à l'infini de la conique I' et J'. C'est donc un point double de l'involution déterminée par ces deux couples de points (n" 141.) Gomme il y a deux points doubles, il y a deux directions principales, qui sont les bissectrices des directions asymptotiques.
Si la conique est une parabole, les directions principales sont la direction asymptotique double et la direction perpendiculaire. Si elle est un cercle, les points I-, J' se confondent avec les points I, J ; l'involution n'est plus déterminée ; toutes les directions sont principales, ce qui est, du reste, bien évident du point de vue élémentaire.
Dans l'espace, Ja trace p d'une direction principale sur le plan de l'infini doit avoir même polaire par rapport au cercle de l'infini Y et à la conique de l'infini r" de la quadrique proposée. C'est donc un pôle double pour ces deux coniques ( n" 484).
En général, il y a trois pôles doubles formant un triangle conjugué commun, donc trois directions principales formant un trièdre trirectangle et «.le directions conjuguées. Si la quadrique est un paraboloïde, V est dégénérée: son point double est un pôle double; l'intersection des plans directeurs du paraboloïde est une direction principale. Si I" est bitangente à T en I et J [nous verrons que c'est la caractéristique des quadriques de révolution (n° 479)], le pôle p et tous les points de IJ sont des pôles doubles; donc, la direction p et toutes les directions perpendiculaires sont principales. Enfin, si la quadrique
est une sphère, T'est confondue avec V, tous les points du plan de l'infini sont des pôles doubles, toutes les directions de l'espace sont principales, ce qui est, du reste, bien évident du point de vue élémentaire.
471. Recherche analytique des directions principales. — Soienl y.. [3, y les paramètres directeurs d'une direction principale ()'/.. Le plan diamétral conjugué par rapport au cône
(i ) <?(#, y, z) = A.r2-4- k.'y2-+- A" z'1 + i B yz -+- iB' zx -+- ■>. B " xy = o a pour équation ( n" 163 I
rr-ry— .y-'-i— 5®y= O.
Pour qu'il soit perpendiculaire à Oà, il faut ri il suffit que l'on ail
en prenant pour inconnue auxiliaire S la moitié «le La valeur commune des trois rapports. Si S était connu, uous aurions, pour déterminer a, j. y, le système linéaire et homogène
ou
?;-sY = o
(A — S)*Tf-Bff(3 - U ■•; =o,
