BJ3 -»-(A'— S)y-o

Pour que ce système admette une solution autre que la solution nulle, il faut et il suffit que l'on ail

Cette équation du troisième degré porte le nom d'équation en S de la quadrique. Dès qu'on en connaîl une racine, on obtient une ou plusieurs directions principales par le système l ().

En Géométrie plane, l> s calculs sont analogues. Il suffit de faire, dans ce qui précède, A"= B = B' = y = ... Le >\ -tenu | j | se réduit à

<•( l'équation en S à l'équation du second degré 17. S| S)==(À — S) (A'— S) — B"2 = o.

i72. Discussion. — Il existe de nombreuses méthodes ( ' ) permettant de démontrer que l'équation en S a toujours toutes ses racines réelles et d'étudier en même temps la distribution des directions principales. Nous indiquerons seulement celle qui nous paraît à la fois la plus simple et la plus instructive.

Nous commencerons par établir le théorème suivant (2) :

Théorème. — Les racines de V équation en S sont des invariants pour tout changement de coordonnées rectangulaires.

Faisons seulement la démonstration pour l'espace. Elle s'applique au plan et même à un espace quelconque à n dimensions.

Ai S 1 n'est autre que le discriminant de la forme quadratique

Si x\ y', z' désignent les nouvelles coordonnées, on sait crue l'on a identiquement (n° 35)

Si donc s,(./'. y . -') désigne la forme transformée de 'six. y, z) et y, 1 x': y', z') la transformée de à(x, y. z ). on a

(9) M«'.yi*')a?i{*'i/>«')- 's(a^*+y«+^

Par conséquent, l'équation en S relative aux nouveaux axes s'obtient, en annulant le discriminant A, (S) de '|(. Or, on a identiquement (t.I, n°309) (10) A,(S) = A(S),

en se rappelant que le déterminant des neuf cosinus est égal à riz i . Par conséquent, les racines de l'équation en S sont les mêmes poulies deux systèmes d'axes | ; |. c. q. f. d.

(') Cf. Nui, a- 259 à 263.

(-) Cf. n° 494 et Tome I, Chapitre XXV, Exercice résolu n° 4.

(3) On peut aussi, sans faire appel au théorème du n° 309, remarquer simplement que toute racine S de la première équation rend 0 décomposable en moins de trois carrés, donc aussi tyt, ce qui exige que S soit aussi racine de la deuxième équation. Inversement, toute racine de celle-ci satisfait a la première.