Cela posé, envisageons d'abord le cas de la Géométrie
plane.
Si. danso(S l, nous substituons —ce. A, A'. +00, nous obtenons les signes -4-, — , — , -h. Donc, l'équation (7) .a toujours ses deux racines réelles et situées de part et d'autre de l'intervalle 1 V. V |. Soit S, l'une d'elles. 11 lui correspond au moins une direction principale. Prenons-la pour axe des x. Les équations (6) doivent alors être satisfaites pour S = S , . a = 1 , jii = o. Ceci exi^e
un A = S,, B"=o.
La deuxième racine de (- ) est alors S2— : \ .
\ ovons quelles directions principales correspondent à chaque racine. Nous avons deux cas à distinguer.
Premier cas : L'équation en S a deux racines distinctes. - Autrement dit. A V .
Pour S = Si = A, la première équation (6) esl satisfaite identiquement; la seconde se réduit à
c'est-à-dire à j = o. puisque A' — A - o. A la racine s, correspond donc l'axe des x pour direction principale unique. On verrail de
même qu'à S2 correspond seulement Or.
• Deuxième cas : U équation en S a une racine double. — autrement dit, A = A'.
Pour S = A = A', les deux équations 1 (i 1 sont vérifiées identiquement. Donc, toutes les directions du plan sont principales.
Remarque. — \\ec les nouveaux axes, les termes du second degré sont
Ceci nous prouve que la conique est un cercle dans le cas de la racine double et dans ce cas seulement, et aussi qu'elle esl du genre ellipse ou du genre hyperbole, suivant que les racine- sont de même signe ou de signes contraires.
57 ï. Passons maintenant à l'espace.
L'équation (5) est du troisième degré. Donc, elle a au moins une
racine réelle S:l, à laquelle correspond au moins une direction principale, que nous prenons pour axe des z.
Le système { \ (doit alors être vérifié pour S = S:t, a = {3 — o, y=r. Ceci exige
Dans ces conditions, les deux premières équations ( \ 1 se réduisent à (6) i la troisième à (A" — S)y = o. Celle-ci étant vérifiée pour v=o, on voit que les directions principales de la conique de section par le plan des xy sont aussi directions principales de la ciuadrique 1 ' |. D'après le cas précédent, nous pouvons choisir deux de ces directions pour axes des x et des y, ce qui nous donne. d'après 1 1 1 >. B'= o.
Le problème est maintenant très simplifié. Le déterminant A< S 1 se réduit à sa diagonale principale; les racines de l'équation en S sont donc A. V . A". Quant au système < \ 1. il se réduit à
La discussion est des plus faciles.
Premier cas : Trois racines distinctes. — Les trois coefficients A, A . A" sont tous différents.
A la racine S = V correspond la solution unique rp =*' = o, c'està-dire la direction principale Ox. De même, à S == A' correspond < ) r. et a S = V correspond O -.
Deuxième cas : L ne racine double et une racine simple . — On a,
par exemple.
A la racine double S=A=A' correspond la solution indéterminée définie par la seule condition y = o, c'est-à-dire n'importe quelle direction du plan des xy.
A la racine simple S=A" correspond, comme précédemment, Tunique direction principale O c.
(') C'est évident géométriquement, car le plan diamétral conjugué d'une telle direction 3 contient la direction perpendiculaire de xOy et aussi la direction O: ( n 464), Il est donc perpendiculaire à S.
Troisième cas : L ne racine triple. — On a A = A' = A".
Si L'on fait S = A = A.'= A" dans le système < i3 ), il est satisfait, quels que soient y.. (3, v; autrement dit, toutes les directions de L'espace sont principales.
En résumé, nous avons le théorème Minant :
Théorème. — i" L'équation en S a toutes ses racines réelles.
2° A une racine simple correspond toujours une seule direction principale.
3° A une racine double correspondent une infinité de directions principales, para Hèles à un même plan.
\" A une racine triple correspondent . comme directions principales, toutes les directions de l espace.
Y Deux directions principales correspondant à deux racines différentes sont rectangulaires.
6a On peut toujours trouver au moins un trièdre trirectangle constitué par trois directions principales. Si mi le prend pour trièdre de coordonnées, les termes du second degré »(#, y. «) dc\ iennent S, x- -+- S2y2-f- S3 s2.
D'après le théorème d'invariance du n" 172, toutes ces propriétés sont indépendantes du choix des axes. Revenons à des axes rectangulaires quelconques et appliquons au système | \ l les propriétés i "■ '> et î". D'après la théorie des équations linéaires et homogènes (t. I, n° *292 i, nous voyons que le déterminant principal esl d'ordre ». î ou o, suivant que la racine S est simple, double ou triple. Doue :
Théorème. — i° Toute racine simple de l'équation en S annule A(S), mais n'annule pas tous ses mineurs du second ordre.
2° Toute racine double annule tous les mineurs du second ordre, mais n'annule pas tous ceux du premier ordre.
3° Toute racine triple annule tous les mineurs du premier ordre.
\~o. Equations réduites. — Nous sommes maintenant en mesure de résoudre le problème posé au n° 469. Nous savons, en eiî'ct. trouver un trièdre trirectangle de directions principales, ce qui résoul la première partie du problème. Pour résoudre la seconde partie, il
n'\ a plus qu'à appliquer la méthode de la décomposition en carrés
exposée au Chapitre précédent. En effet, quand pn a pris des directions principales pour axes de coordonnées, les termes rectangles ont disparu. Dès lors, en appliquant la méthode de Gauss comme il expliqué au n° 149, on obtient des carrés dont chacun ne peut renfermer qu'une seule coordonnée. Par suite, les équations réduites auxquelles on aboutit se rapportent à des axes parallèles aux premiers, donc rectangulaires.
Ce raisonnement est impeccable tant qu'on obtient effectivement trois carrés dans la décomposition, c'est-à-dire quand l'équation en S n'a pas de racine nulle (cf. ()° du théorème du n" 17 i i. Si une racine est nulle, par exemple S,, on extrait un carré en y et un carré en z; il restera une expression linéaire en x ( ' ) : nos conclusions s'appliquent encore.
Si deux racines sont nulles, par exemple S, et Ss. on extrait un carré en y et il reste une expression linéaire en x. z (2). Le plan (Q) correspondant est perpendiculaire à xO z. On peut le prendre pour plan de coordonnées par une rotation des axes autour de Oy suivie d'une translation. Nos conclusions subsistent.
47(5. Cas ou il y a un cextue. — Lorsque la quadrique i ou conique) admet un centre, en aboutit plus simplement à l'équation réduite par la méthode suivante :
i" On transporte l'origine au centre. Cela ne change pas les termes du second degré et nous savons calculer le nouveau terme constant (n° 462).
2° On fait tourner les axes pour les rendre parallèles à tirs directions principales. Cela ne change pas le terme constant etnous savons calculer tout de suite les nouveaux termes du second degré, quand nous connaissons les racines de l'équation en S.
Finalement, on peut écrire a. priori 1 équation réduite sous la forme (i4.) S,^— S2iy2-i- S:i;2+ -f'o=°>
sans qu'il soit nécessaire d' utiliser aucune formule de change-
(') Si cette expression renferme effectivement x, la surface est un paraboloïde: m elle se réduit à une constante, la surface est un cylindre à centres.
(2) Si elle se réduit à une constante, la surface est un système de plans parallèles; sinon, c'est un cylindre parabolique.
ment de coordonnées^ ni même de connaître les nouveaux axes. Dans la première méthode, au contraire, on es! obligé de faire la transformation à cause des termes du premier degré.
177. Axes, plans principaux, sommets. — Les axes et plans de coordonnées qui, dans le Chapitre précédent, étaient des éléments de symétrie oblique, deviennent maintenant des éléments de symétrie droite.
Si l'on se reporte à la discussion laite aux n"" iijl à £58, on voit que l'ellipse et V hyperbole possèdent (leur axes, qui sont les diamètres conjugués des directions principales. Leurs extrémités son! les somme/s. Tous quatre -oui réels dans l'ellipse, deu\ seulement le sont dans l'hyperbole.
La parabole possède un seul axe, qui est le diamètre conjugué de la direction principale perpendiculaire à la direction asymptotique double. L'autre axe, diamètre conjugué «le celle direction asymptotique, est rejeté à l'infini. La parabole a aussi nu seul sommet.
L'ellipsoïde et les hyperboloïdes possèdent trois plans de symétrie, <jui sont les plans diamétraux conjugués des trois directions principales et sont appelés plans principaux. Ils possèdent aussi trois axes et six sommets. Les -i\ sommets sonl réels pour l'ellipsoïde, quatre sont réels pour l'hyperboloïjie à une nappe et deux seulement pour l'hyperboloïde à deux nappes.
Toutefois, lorsque l'équation eu S a une racine double^ nous savons qu'il va une infinité de directions principales; il \ a 'loinaussi une infinité de plans principaux, d'axes el de sommets'. Ceci s'explique aisément -i l'on se reporte à l'équation < i j't. qui nous montre que la quâdrique est de révolution autour de Oz (n° 360 . si l'on suppose, par exemple. S, = So. Les plan- principaux sonl alors les plans méridiens et les axe- les diamètres perpendiculaire-. L'axe de révolution et le plan ilu parallèle concentrique à la quâdrique correspondent à la racine simple de l'équation en S.
Les paraboloïdes on! deux plans principaux, qui sont les plans diamétraux conjugués des directions principale- perpendiculaires à l'intersection des plans directeurs. Le troisième esl rejeté à l'infini. Il v a un seul axe. intersection des plan- principaux et diamètre conjugué des plans perpendiculaires à l'intersection des plans directeurs. 11 v a aussi un seul sommet.
Lorsque les deux racines non nulles de Vé.quation en S sont égales^ le paraboloïde est de révolution. M esl évidemment elliptique. Il j a une infinité de plans principaux, qui sont les plans méridiens; mais il n'y a qu'un seul axe et un seul sommet.
Dans le cas des cylindres, les plans principaux, axes et ligue? de sommets se déduisent immédiatement des axes et sommets dune section droite.
i78. Equation aux carrés des demi-axes. — Une quadrique (ou conique; à centre est déterminée en grandeur quand on connaît les longueurs de ses axes. Il peut donc être utile de savoir les calculer directement, sans être obligé de former l'équation réduite.
Une première méthode consiste à se reporter à l'équation (i/j) et à remarquer que les carrés des demi-axes sont donnés par la formule
S devant être remplacé successivement par les racines de l'équation en S. En éliminant S entre cette dernière et (i5), on a une équation en z. qui est Y équation aux carrés des demi-axes.
Une autre méthode, dite méthode de Gallois, consiste à chercher les sphères (ou cercles) concentriques et hitangentes à la quadrique (ou à la conique) donnée. Les diamètres de contact de ces sphères (ou cercles) sont les axes demandés.
479. Condition pour qu'une quadrique soit de révolution. — D'après la discussion du n° -477, pour qu'une quadrique soit de révolution, il faut et il suffit que son équation en S ait une racine double n<ui nulle.
D'après un théorème du n" 474. nous savons que si S est cette racine, le déterminant A(S ) a tous ses mineurs nuls et réciproquement. Il en résulte que la forme quadratique
doit se réduire à un carré parfait (t. I, n° 305). Soit P- ce carré. L'équation du cône des directions asymptotiques peut s'écrire
(i6i S(^--r-jK2-+--2)-^p2= o.
Elle représente bien un cône de révolution, dont V axe est per-
4i)4 CHAPITRE X\XI.
pendiculaire au plan P = o (n" 360). L'axe de la quadrique est donc, lui aussi, perpendiculaire à ce" plan, qui donne, par suite, la direction des plans des parallèles.
On peut interpréter l'équation (16), en disant que le cône des directions asymptotiques est bitangent au cône isotrope le long des deux génératrices du plan (P) et réciproquement ( n° 507). Il est équivalent de dire que la conique de l'infini de la quadrique proposée doit être bitajigente au cercle de l'infini fl). La corde île contact est la trace des plans des parallèles et son pôle est la trace de l'axe de révolution (cf. n° 470).
£80. Plans cycliques. — On appelle ainsi les plans qui coupent la quadrique suivant des cercles.
On peut se borner à chercher les plans cycliques du cône C dedirections asymptotiques et seulement ceux de ces plans qui passenl à l'origine, car tout cela ne change pas les points à l'infini de la section. Or, un tel plan 1* doit couper C suivant deux isotropes. Autrement dit, il doit contenir deux des quatre génératrices d'intersection du cône C et du cône isotrope T. Nous sommes donc ramenés à chercher les plans sécants communs à ces deux eône> ( n 509). Ils sont obtenus en écrivant que le cône
(';) ?(#, y, ~) — SO^-f-jr5— z*) = o
dégénère en deux plans, c'est-à-dire en annulant le discriminant i\u premier membre. Nous retombons sur l'équation en S. Donc, les /dans cycliques sont, donnés par Véquation (17). où Von doit remplacer successivement S par les trois racines de Véquation en S. Chaque racine donne deux plans cycliques; il y a donc en tout six plans cycliques. Mais, deux seulement sont réels. On le voit immédiatement sur l'équation réduite, au moyen de laquelle l'équation (17) s'écrit
(S,-ë)a?«-h(S»— S).yi+(S3-S)s» = o.
En remplaçant successivement S par S(. S2, S3, on constate que l'on n'obtient deux plans réels que pour S = S2, en supposant, pour fixer les idées, S1>-S2>S3. Comme les racines de l'équation en S sont des invariants (n" 472 1. ce résultat est indépendant ^\r< axes et
(') L'équation en S n'est autre que l'équation en a de ces deux coniques i n 18
l'on peut affirmer que les deux plans cycliques réels sont fournis par la racine moyenne de V équation en S. Ils se coupent, d'ailleurs, suivant la direction principale correspondant à cette racine, ainsi cju'on le voit sur l'équation (18),
Dans le cas de la racine double, les plans cycliques réels se confondent suivant les plans des parallèles.
481. Tout ceci peut s'interpréter dans le plan de l'infini, au moyen de la conique de l'infini Y' et du cercle de l'infini Y.
Les traces des plans cycliques sont les sécantes communes à. ces deux coniques. Elles se groupent deux à deux suivant les coniques dégénérées du faisceau (Y1, F"), lesquelles sont données par l'équation en X (n° 483), qui n'est autre ici que l'équation en S. Deux sécantes associées se coupent en un pôle double; donc deux plans cycliques associés se coupent suivant une direction principale.
Les quatre points de base du faisceau sont imaginaires; donc, un seul couple de sécantes communes est réel'(n° 485, III), et, par suite, un seul couple de plans cycliques. Les trois pôles doubles sont réels, donc aussi les trois directions principales.
Lorsque les coniques sont bitangentes, les sécantes communes sont la corde de contact IJ et les tangentes en I et J. Les plans cycliques sont les plans des parallèles et les plans isotropes issus de l'axe de révolution de la quadrique.
482. Axes et plans principaux en coordonnées tangentielles. — Si une quadrique (ou conique) est définie par son équation tangentielle, on peut trouver ses plans principaux (ou axes) en partant d'un plan (ou droite) quelconque (u, v, w, r) et exprimant que son pôle est à l'infini dans la direction perpendiculaire. On reconnaît, le cas écbéant, que la quadrique est de révolution, au fait qu'il y a une infinité de plans principaux passant par une même droite.
Une fois connue la direction d'un plan principal (ou axe), on a les sommets de l'axe perpendiculaire en cherchant les points de contact des plans tangents (ou tangentes) parallèles.
