INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADRIQUES
483. Intersection de i»i-:i \ coniques. — Soient doux coniques S et S' définies par leurs équations ponctuelles
i S = o, Sf = o.
Le théorème de Bézout | u" i(» | nous apprend qu'elles se coupent en quatre points. Pour calculer leurs coordonnées, on pourrait
former l'équation aux x ou bien aux — ■ Voici une méthode plus élégante.
Considérons les coniques du faisceau (S. S' >. c'est-à-dire les coniques ï définies par l'équation
(2) S + ÀS' = o.
Quel que soit À, chacune d'elles passe par l'intersection des coniques proposées (cf. n° 504). On peut, dès lors, songera profiter du paramètre X pour simplifier le problème, et, pour cela, il suffit, évidemment, de s'arranger pour que la conique S se décompose en deux droites. A cet effet, nous annulons le discriminant Ai ai de S + )vS'; nous obtenons ainsi une équation du troisième degré :
cpii est appelée l'équation en a des deux coniqut s.
Avant unv racine a, de cette équation, nous décomposons la conique St correspondante en deux droites D, et 1), et nous cherchons l'intersection de chacune d'elles avec S ou S' : toutes ces opérations se traduisent analytiquement par la résolution de trois équations du second degré (').
(') Cf. Tome I, Chapitre XVIII, Exercice résolu n° 1.
dS , dS'
dS
. dS
r- Ai
dx
1 dx
dy ' dy
1 dz
INTERSECTION DES CONIQUES ET Ql'ADRlQEES. 497
i8i. Sécantes communes; pôles doubles. — Chacune des droites D, et D'( est appelée une sécante commune des coniques proposées, parce qu'elle les coupe aux mêmes points. Leur ensemble est un couple de sécantes communes. Il correspond un tel couple à chaque racine de (3 >; il y a donc trois couples de sécantes communes.
Soit P, le point de rencontre de D, et I),. C'est un point double de la conique -f. Ses coordonnées satisfont donc aux équations
Or. ces équations peuvent s'interpréter autrement. Elles expriment
ii »^* je
«pie les coefficients — :» — > ~ de la polaire de P, par rapport à S sont
proportionnels aux coefficients -.— , — , — de la polaire de P. par 1 l dx dy i)z r l
. c. • cn . àS dS' <)> - dS' rapport a o , et, par suite aussi, aux coeincients -r- —h -r- > -, a — ,
11 L dx '/./• dy dy
— — À — - de la polaire de P, parrapport à une conique 2l quelconque
du faisceau. Autrement dit. le point P, a même polaire par rapport à toutes les coniques du faisceau. Réciproquement, s'il a même polaire par rapport à deux coniques 1 différentes, on en déduit la proportionnalité ci-dessus, et, par suite, des égalités analogues à (4); d'où il résulte queP, est un point double d'une conique dégénérée du faisceau .
Un tel point est appelé pôle double et sa polaire polaire double.
Aux trois coniques dégénérées S,, -■,. ï3 correspondent trois pôles doubles P,. P2. P:t. La polaire de P, par rapport à -;, passe par Pj ; la polaire du même point par rapport à S3 passe par P3 ; comme ces deux droites coïncident, on voit que la polaire de P, par rapport à toute conique du faisceau est P^lV Autrement dit. le triangle P, P0P3 est conjugué par rapport à toutes les coniques -; c'est le triangle conjugué commun. {Cf. t. I. Chap. \X\ . Exercice résolu n° o.)
Toutes ces propriétés sont évidentes géométriquement. Soient a, b, c, d les quatre points de rencontre de S et de S'. Les trois couples de sécantes communes sont (ab. cd), (ac, bd ) et (ad, bc). La polaire de P,. intersection de ab et de cd, par rapport à n'importe quelle conique passant par «, b, c. d. est la droite P2P:{. en vertu de la construction du n° 440.
IIaa;. — Cours. II. 3>
485. Discussion. — • Toul ce qui précède s'applique au eu - généra] où les quatre points «, b, c, d sont distincts. Si deux ou plusieurs de ces points sont confondus, il se produit des modifications qu il est utile de faire ressortir.
Nous allons discuter tous les cas possibles de l'intersection, en nous occupant, en outre, des questions de réalité. Pour ce dernier point de vue, nous supposerons que les coniques S et S' sonl à coefficients réels, de sorte que si un point imaginaire appartient à l'intersection, le point imaginaire conjugué lui appartient aussi 1 n" 55).
I. Quatre points réels. - — - Les six sécantes communes, Les trois racines de l'équation en À el les trois pôles doubles sont réels et distincts.
II. Deux points réels a, b el deux points imaginaires conjugués c. d. — Les sécantes <d/. cd sont réelles el distinctes; la racine a, et le pôle double I', sont donc réels. Les sécantes ac, b,l sont imaginaires non conjuguées, car la droit»' imaginaire conjuguée de ac. par exemple, est ad; la racine X2 et le pôle double l'j sont donc imaginaires. On a une conclusion analogue pour le couple (ad, 6c), la racine X3 et le pôle double IV Les deux couples S2, S3 sont imaginaires conjugués, puisque '/'/ est conjuguée de ac <i bc de bd: donc X3 el P3 sont imaginaires conjugués de /.. H I'-...
III. Quatre points imaginaires. IU sont deux à Acu\ conjugués; par exemple, b esi conjugué de a et d de c. Les sécantes <il> et cd sont réelles 1 n" 7 ï), donc aussi X, el P, . Les sécantes ac et bd sont imaginaires conjuguées, pince qu'elles joignent deux couples conjugués de points imaginaires; donc, X2 et P2 sonl réels. On ;i une conclusion analogue pour \<td. bc), X3 et P3.
I\ . Deux points confondus <i. b etdeux points distincts c. d. — La sécante ab doit couper chaque conique du faisceau en deux points confondus; c'est donc une tangente el l'on voit que toutes les coniques ï sont tangentes au point \. où viennent coïncider a et b. Les deux autres points c, <f peuvent être réels ou imaginaires conjugués; dans les deux cas, la sécante cd esl réelle. Elle coupe la tangente ab au pôle double réel P, et la racine a, est réelle.
Les Jeux couples (ac, bd) et (ad, bc) sont confondus et composés
